呂揚(yáng)

摘 要：文章圍繞無窮小量闡述了高職數(shù)學(xué)混合式教學(xué)的全過程，提出應(yīng)借助信息化教學(xué)手段幫助學(xué)生理解無窮小量的概念、性質(zhì)和應(yīng)用，有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)線下教學(xué)中不便解釋的難點(diǎn)問題，發(fā)揮高職數(shù)學(xué)混合式教育的優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：混合式教學(xué);MATLAB軟件;幾何畫板

中圖分類號：G434;G712 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2020-10-18 文章編號：1674-120X（2020）35-0028-02

無窮小量是高職學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)極限內(nèi)容時(shí)的一個重要概念，也是學(xué)生不易掌握的知識點(diǎn)。教師可以從學(xué)生課前線上預(yù)習(xí)測試中反饋的疑難問題入手，在線下課堂重點(diǎn)圍繞疑難問題展開教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生利用反證法、舉例法、比較法，借助幾何畫板、MATLAB軟件、微視頻等信息化手段，組織學(xué)生開展小組討論，幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識無窮小量。

一、混合式教學(xué)

混合式教學(xué)是將在線教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢結(jié)合起來的一種“線上”+“線下”的教學(xué)。國內(nèi)首次正式倡導(dǎo)混合式教學(xué)概念的是何克抗教授。他認(rèn)為，混合式教學(xué)模式把傳統(tǒng)教學(xué)方式的優(yōu)勢和網(wǎng)絡(luò)化教學(xué)的優(yōu)勢結(jié)合起來，既能發(fā)揮教師引導(dǎo)、啟發(fā)、監(jiān)控教學(xué)過程的主導(dǎo)作用，又能充分體現(xiàn)學(xué)生作為學(xué)習(xí)過程主體的主動性、積極性與創(chuàng)造性。

二、混合式教學(xué)的實(shí)施

（一）教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)分析

本課教學(xué)主題是無窮小量。授課對象是大一高職學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)極限的概念，初步掌握了MATLAB軟件的操作，但是對無窮小量的概念和性質(zhì)理解不清晰?？梢愿鶕?jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)情分析，確定本課的教學(xué)目標(biāo)。知識目標(biāo)：理解無窮小量的概念;掌握無窮小量的性質(zhì)及其應(yīng)用。能力目標(biāo)：能夠根據(jù)無窮小量的性質(zhì)計(jì)算極限。素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)。結(jié)合三維目標(biāo)，本課的教學(xué)重點(diǎn)為：無窮小量的概念和性質(zhì);教學(xué)難點(diǎn)為：理解無窮小量的性質(zhì)，學(xué)會應(yīng)用性質(zhì)計(jì)算極限。

（二）教學(xué)實(shí)施過程

1.課前導(dǎo)預(yù)習(xí)

課前，教師在學(xué)習(xí)通上發(fā)布小組學(xué)習(xí)任務(wù)。

任務(wù)1：預(yù)習(xí)本課內(nèi)容，并完成相應(yīng)習(xí)題（節(jié)選）。

習(xí)題1（單選題）：下列說法正確的是（? ?）

A.無窮小量是越來越小的量。

B.無窮小量是很小很小的數(shù)。

C.無窮小量是極限為零的量。

D.無窮小量是無限變小的量。

任務(wù)2：以小組為單位，調(diào)查收集一個生活中的無窮小量。教師分析學(xué)生的答題情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對無窮小量的概念認(rèn)識不清，于是可以提出兩個疑問：有界量乘無窮小量為什么是無窮小量？無限個無窮小量相加的結(jié)果是什么？

2.課中導(dǎo)學(xué)習(xí)

課中，為了幫助學(xué)生理解無窮小量的概念，明確無窮小量與很小很小的數(shù)以及越來越小的量的區(qū)別，教師可直接給出無窮小量的描述性定義，結(jié)合各組學(xué)生找到的生活中的無窮小量，引導(dǎo)學(xué)生說出無窮小量的數(shù)學(xué)定義。教師根據(jù)無窮小量是極限為零的量這一定義，指導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫板、MATLAB軟件分別從圖像、計(jì)算結(jié)果兩個方面，利用反證法推導(dǎo)出無窮小量不是很小很小的數(shù)，也不是越來越小的量。

（1）無窮小量的描述性定義：在變化過程中絕對值越來越小、趨近于零的量。比如，學(xué)生找到的無窮小量：打乒乓球時(shí)，乒乓球落地后，若不對它施加外力，那么在空氣阻力和摩擦力的作用下，乒乓球彈起的高度會越來越小，最終趨向于零，是一個無窮小量，極限為零。（數(shù)學(xué)定義）

（2）教師指導(dǎo)學(xué)生采用反證法把無窮小量與很小很小的數(shù)以及越來越小的量進(jìn)行區(qū)分，加深對無窮小量這一概念的理解。①假設(shè)無窮小量是很小很小的數(shù)，如0.000001。因?yàn)?.000001的極限是它本身，與“無窮小量極限為零”矛盾，因此假設(shè)不成立，即無窮小量不是很小很小的數(shù)，常數(shù)中只有零的極限是它本身，所以常數(shù)中只有零這一個無窮小量。②假設(shè)無窮小量是越來越小的量，如-n，利用MATLAB軟件計(jì)算-n，當(dāng)n趨向于正無窮大時(shí)的極限，程序如下：

結(jié)果是負(fù)無窮大量，與“無窮小量極限為零”矛盾，因此假設(shè)不成立，即無窮小量不是越來越小的量。

教師指導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫板理解“有界量乘無窮小量仍為無窮小量”的性質(zhì)。例如，計(jì)算當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)f（x）=的極限，教師可以指導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫板畫出函數(shù)的圖像，如圖1所示。

顯然，無論趨向于正無窮大（沿著x軸向右無限延伸）還是負(fù)無窮大（沿著x軸向左無限延伸），曲線f（x）=都無限趨向于x軸，函數(shù)極限為零，是無窮小量。

教師根據(jù)課前學(xué)生預(yù)習(xí)時(shí)提出的問題“無限個無窮小量之和是什么？”讓學(xué)生開展小組討論，借助微視頻、MATLAB軟件，利用舉例說明法解決問題。步驟如下：

（1）學(xué)生觀看視頻“芝諾悖論之阿基里斯悖論”。

（2）教師做視頻分析：假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，為了公平起見，阿基里斯讓烏龜先?00米（如圖2所示），即阿基里斯在A1處起跑，烏龜在W1處起跑，當(dāng)阿基里斯跑了100米到達(dá)W1處時(shí)，此時(shí)烏龜向前爬了10米到達(dá)W2處;當(dāng)阿基里斯到達(dá)W2處時(shí)，此時(shí)烏龜又向前爬了1米到達(dá)W3處;以此類推，每當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜所經(jīng)過的點(diǎn)Wi時(shí)，烏龜都會向前爬十分之一的路程。因此芝諾認(rèn)為阿基里斯追不上烏龜。

（3）教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何解釋這個悖論。

學(xué)生：通過計(jì)算阿基里斯追上烏龜要跑的路程除以阿基里斯的速度就可以得到阿基里斯追上烏龜?shù)臅r(shí)間。

教師進(jìn)一步引導(dǎo)：這位同學(xué)的思路非常好！在這個悖論中阿基里斯與烏龜之間的距離從100米到10米、1米……越來越小，向零趨近，是一個無窮小量，那么這無限個無窮小量相加的和就是阿基里斯追上烏龜要跑的路程S。

（6）評價(jià)：各組學(xué)生完成得都不錯，有的組利用數(shù)列的裂項(xiàng)相消法計(jì)算和，大部分組利用所學(xué)的極限知識計(jì)算出結(jié)果，有的用手工計(jì)算，有的借助幾何畫板，還有的利用MATLAB軟件。總的來說，大家用數(shù)列和極限兩種不同的方法都計(jì)算出阿基里斯追上烏龜要跑的路程約是111.11米，是一個常數(shù)，顯然可以追上。同時(shí)，也得到了一個結(jié)論：無限個無窮小量之和可能是一個常數(shù)。

（7）教師啟發(fā)學(xué)生思考：無限個無窮小量之和一定是一個常數(shù)嗎？通過列舉學(xué)生前面學(xué)習(xí)過的數(shù)列極限進(jìn)行說明：當(dāng)n趨向于正無窮大時(shí)，n個1/n相加、n的平方個1/n相加、個1/n相加，都表示無限個無窮小量相加，它們的結(jié)果依次為：1、無窮大量和0。因此，無限個無窮小量相加的結(jié)果沒有確定的結(jié)論，因情況而異，數(shù)學(xué)中將這類極限式稱為未定式，是極限計(jì)算的難點(diǎn)，以后會專門學(xué)習(xí)。

3.課后導(dǎo)鞏固

課后，教師可以布置線上線下課后練習(xí)題，考核學(xué)生對無窮小量概念的理解是否準(zhǔn)確及學(xué)生能否運(yùn)用無窮小量的性質(zhì)進(jìn)行極限計(jì)算。

（三） 教學(xué)效果

通過線上課前課后習(xí)題測試，學(xué)生對無窮小量概念的理解和性質(zhì)的應(yīng)用有了顯著提高。本課利用幾何畫板和MATLAB軟件，采用反證法、舉例說明等初等方法，借助微視頻有效地解決學(xué)生對無窮小量的疑問，解決了本課的重難點(diǎn)，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、結(jié)語

本課的混合教學(xué)模式具有代表性，可以推廣到函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)等概念的教學(xué)。教師應(yīng)把線上課前預(yù)習(xí)學(xué)生反饋的疑難問題作為線下課堂教學(xué)的重難點(diǎn)，結(jié)合高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的特點(diǎn)，弱化性質(zhì)和定理的推導(dǎo)過程，利用多種方法，借助信息化手段解決教學(xué)難點(diǎn)，充分發(fā)揮混合式教學(xué)的優(yōu)勢。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙書紅.基于超星泛雅平臺的混合式教學(xué)實(shí)踐與研究[J].中國信息技術(shù)教育，2018（12）：101-104.

[2]何克抗.從 Blending Learning 看教育技術(shù)理論的新發(fā)展[J].國家教育行政學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（9）：37-48，79.