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        范德瓦爾登定理等比數(shù)列的推廣

        2020-02-14 05:49:17李安
        現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) 2020年5期
        關(guān)鍵詞:等比數(shù)列

        李安

        摘 要:“六人集會(huì)問題”將拉塞姆定理帶入眾人的視線。拉姆塞定理的內(nèi)容為:對于任意的正整數(shù)P、Q大于等于2,總存在正整數(shù)N0,使得任意一個(gè)至少有N0個(gè)點(diǎn)的圖G中或者含有P個(gè)兩兩有邊相連的點(diǎn),或有含有Q個(gè)兩兩都無邊相連的點(diǎn),針對上述拉塞姆定理的內(nèi)容,數(shù)學(xué)家們提出了很多其他理論。其中較為突出的是舒爾定理和范德瓦爾登定理。范德瓦爾登定理內(nèi)容為對任意給定的L,K屬于N,存在W屬于N,使得把{1,…,W}任意拆成K個(gè)部分后,其中必有一部分含有L項(xiàng)等差數(shù)列。通過參考舒爾定理有限形式的乘法形式的推廣過程,即利用指數(shù)函數(shù)包裝等差數(shù)列的方法,范德瓦爾登定理也可以進(jìn)行等比數(shù)列的推廣,最終得出結(jié)論:對于任意正整數(shù)L,K,可以找到一個(gè)對應(yīng)的N,使得對任意C:{1,2,3…,N}→K,都可以找到一個(gè)公比不為1,項(xiàng)數(shù)為L的等比數(shù)列。該結(jié)論使拉塞姆定理的推廣內(nèi)容更加完善,以及為進(jìn)一步的推廣提供了思路和方法。

        關(guān)鍵詞:拉姆塞定理;舒爾定理;范德瓦爾登定理;等比數(shù)列

        中圖分類號(hào):TB ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? ?doi:10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.05.101

        1 拉姆塞理論

        “任意367個(gè)人中,一定有二人生日相同”,類似這樣的結(jié)論,只要稍加思考,便會(huì)點(diǎn)頭稱是。我們把總結(jié)這類問題的原理稱為“抽屜原理”,又稱“鴿籠原理”。“抽屜原理”更概括的說法是:把多于K·N個(gè)東西任意分放進(jìn)N個(gè)空抽屜,那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少K+1個(gè)東西。

        通過“抽屜原理”我們可以了解到拉姆塞定理的遠(yuǎn)祖,而拉姆塞定理最簡單又不平凡的特例卻是“六人集會(huì)問題”:在任意六個(gè)人的集會(huì)上,或者有三個(gè)人以前彼此認(rèn)識(shí),或者有三個(gè)人以前彼此不認(rèn)識(shí)。這個(gè)問題簡單標(biāo)準(zhǔn)的證明是:在平面上任意做出A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)代表六個(gè)不同的人,若其中兩人認(rèn)識(shí)則用紅線將這兩人代表的點(diǎn)連接起來,反之則用藍(lán)線連接起來。那么原來問題的證明等價(jià)于證明連線后存在紅邊三角形或藍(lán)邊三角形。觀察其中某一點(diǎn),設(shè)為F,從F連出五條邊,易知,其中必有三條同色。不防設(shè)FA、FB、FC是紅邊,若AB是一條紅邊,則FAB是紅邊三角形;若AB是一條藍(lán)邊,則ABC是藍(lán)邊三角形(如圖1所示),證畢。通過“六人集會(huì)問題”的簡單證明,可以引出更為科學(xué)的定理—拉姆塞定理。

        下面我們介紹經(jīng)典的拉姆塞定理,首先我們需要了解完全圖的概念。一個(gè)圖G由兩部分組成,分別是點(diǎn)集V和邊集E,故可寫成G=(V,E)。而一個(gè)圖G如果滿足點(diǎn)集中的任意兩點(diǎn)都連邊,則稱G為完全圖,另外,若V中有n個(gè)點(diǎn),則稱G為Kn完全圖2。

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