胡敬衡

【摘要】數(shù)學(xué)知識(shí)有著自身的獨(dú)特性，其概念的種類較多，都屬于最基礎(chǔ)的內(nèi)容，學(xué)生們必須透徹地掌握才能在實(shí)踐中進(jìn)行更深入的探索，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去解決生活中的一些問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)課堂中，概念的教學(xué)是目前教師授課的重點(diǎn)部分，教師需投入較多的精力設(shè)計(jì)出多樣化的授課方案，營(yíng)造出愉悅的課堂氣氛，使學(xué)生更好地參與進(jìn)來(lái)，打開(kāi)思維空間吃透所學(xué)的概念，在面對(duì)問(wèn)題時(shí)能找準(zhǔn)切入點(diǎn)并順利地解決問(wèn)題，并在腦中形成更為系統(tǒng)的知識(shí)框架.學(xué)生經(jīng)教師的點(diǎn)撥能夠獲得自身的進(jìn)步，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);概念教學(xué);提升實(shí)效;策略

數(shù)學(xué)的概念與學(xué)生的成績(jī)及解題的能力等有著較為直接的關(guān)系，是學(xué)生在腦中構(gòu)建理論體系的前提，故被教師視為授課的重點(diǎn)，也是優(yōu)化教學(xué)的方向.數(shù)學(xué)概念是學(xué)生在面對(duì)眾多問(wèn)題時(shí)能夠輕松完成解題的工具，能夠使其帶著自信去探究更多的知識(shí)，提升其主動(dòng)性.新時(shí)期下的高中數(shù)學(xué)課堂中，教師憑借先進(jìn)的理念，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)授課的方案和點(diǎn)撥的手段等進(jìn)行調(diào)整，重視數(shù)學(xué)概念的掌握，將知識(shí)以多種形式傳遞給學(xué)生，然后在學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)上從多角度引導(dǎo)、強(qiáng)化其思維，避免概念的混淆，使新舊知識(shí)得到融合，形成愈發(fā)完善的知識(shí)體系，進(jìn)而構(gòu)建高效課堂.

一、輕松引入概念，燃起學(xué)習(xí)熱情

高中生對(duì)概念所體現(xiàn)的表面含義能夠較為輕松地解讀，但不能掌握其所蘊(yùn)含的深意，教師就會(huì)占用課上時(shí)間進(jìn)行講解，進(jìn)而沒(méi)有多余時(shí)間讓學(xué)生對(duì)重難點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行獨(dú)立思考，導(dǎo)致授課效率停滯不前.面對(duì)這種情況，教師應(yīng)重視課前的預(yù)習(xí)，布置相應(yīng)的導(dǎo)學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生利用課下的時(shí)間來(lái)完成對(duì)新知識(shí)的預(yù)習(xí).學(xué)生可以帶著預(yù)習(xí)時(shí)產(chǎn)生的疑問(wèn)，有針對(duì)性地去搜集有用的信息，滿足自身的求知欲.課前預(yù)習(xí)也是教師能夠輕松引入概念的先決條件，教師能夠借助預(yù)習(xí)在全新的授課模式下燃起熱情，提升探索新知識(shí)的技能，體現(xiàn)授課的實(shí)效性.

例如，在講解函數(shù)的單調(diào)性前，教師可以給出相應(yīng)的預(yù)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生用自身喜愛(ài)的方式去完成.

1.當(dāng)看到f（x）=x2這樣的函數(shù)時(shí)，我們假設(shè)這個(gè)x值會(huì)逐漸增加，而此時(shí)的f（x）所對(duì)應(yīng)的值將發(fā)生什么樣的變化？

2.假設(shè)x1

3.根據(jù)以上2個(gè)問(wèn)題的解讀，你能夠得出一些什么結(jié)論或者新的發(fā)現(xiàn)，嘗試以數(shù)學(xué)語(yǔ)言的方式來(lái)表達(dá).

該導(dǎo)學(xué)方案所出示的三個(gè)問(wèn)題間有著一定的引導(dǎo)效用，學(xué)生在預(yù)習(xí)時(shí)應(yīng)有針對(duì)性地在教材中尋找與單調(diào)函數(shù)相關(guān)的概念，接著思考前2個(gè)問(wèn)題，同時(shí)產(chǎn)生新的疑問(wèn)“如果x1f（x2）？”這些質(zhì)疑為后續(xù)課堂中的探究和有目的性的聽(tīng)講埋下伏筆，也將學(xué)生的好奇心轉(zhuǎn)換為迫切的求知欲，使之更認(rèn)真地聽(tīng)課，繼而加深對(duì)增函數(shù)定義的記憶.教師可在后續(xù)作業(yè)中布置相關(guān)題目對(duì)所學(xué)知識(shí)加以鞏固，提升授課的實(shí)效性.

二、尊重個(gè)體差異，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維

高中生因家庭環(huán)境、性格和接受能力等方面的不同，而在課堂上呈現(xiàn)出不同的個(gè)性化，有著獨(dú)立的思維并付諸行動(dòng).大多高中生在面對(duì)眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)并沒(méi)有完整的思路，解題遇到困難時(shí)極易放棄而使知識(shí)的系統(tǒng)性有所缺失，這正是概念不清所導(dǎo)致的.對(duì)于此，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的個(gè)體差異表示出一定的尊重，并根據(jù)其課堂的表現(xiàn)和失誤進(jìn)行有方向性的點(diǎn)撥，使之正視自身的優(yōu)缺點(diǎn)，在對(duì)比和嘗試中尋找到適合自己的方式，掌握概念，并將其視為解題的工具，使自身的短板得到相應(yīng)的彌補(bǔ)，拉近與同學(xué)間的差距，突顯授課的實(shí)效性.

例如，在解讀雙曲線概念時(shí)，學(xué)生都能夠輕松地理解字面的意思，為此，教師將該概念從另一個(gè)角度進(jìn)行講解，提出“平面內(nèi)與已知的兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（<│F1F2│）的點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是什么？”學(xué)生轉(zhuǎn)換思考的角度，結(jié)合雙曲線的概念繼而回答出“雙曲線”.為了加深對(duì)該概念的認(rèn)識(shí)，教師提出另一個(gè)問(wèn)題與之進(jìn)行對(duì)比“若上述F1和F2兩點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（>│F1F2│）的點(diǎn)的軌跡又是什么？”學(xué)生迅速與雙曲線的概念進(jìn)行對(duì)比，回答出“橢圓”.在這種變式的概念訓(xùn)練下，每名學(xué)生都能盡快地掌握橢圓和雙曲線概念間的區(qū)別和聯(lián)系，加深了對(duì)兩個(gè)概念的理解和記憶，構(gòu)建課堂的實(shí)效性.

三、展現(xiàn)概念本質(zhì)，形成清晰認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)的概念多有著精煉的表達(dá)方式，用準(zhǔn)確的語(yǔ)言來(lái)總結(jié)，蘊(yùn)含著一定的內(nèi)涵，學(xué)生在解讀時(shí)會(huì)感到吃力.這就需要教師向?qū)W生透徹地講解概念表達(dá)中每一個(gè)詞所包含的意思，并設(shè)計(jì)多樣化的授課方式將概念以不同的形式傳遞給學(xué)生，使之看到其中的本質(zhì)，形成清晰的認(rèn)識(shí)而不易混淆.

例如，講解等差數(shù)列的概念時(shí)，教師應(yīng)注意其中的“一個(gè)數(shù)列需從第二項(xiàng)起，而不是第一項(xiàng)”，同時(shí)講解每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的關(guān)系，讓學(xué)生了解什么是等差數(shù)列并掌握相應(yīng)的通項(xiàng)公式.隨之，教師可設(shè)計(jì)較為典型的例題“當(dāng)首項(xiàng)是23，公差是整數(shù)的前提下，該等差數(shù)列從第7項(xiàng)的位置出現(xiàn)負(fù)數(shù)，那么其公差d應(yīng)為（? ）.”將學(xué)生分為幾個(gè)小組對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的討論.互動(dòng)中，組員間相互分享自己的看法，尋找概念間的聯(lián)系并熟練、靈活地運(yùn)用概念，找準(zhǔn)切入點(diǎn)解決問(wèn)題.在這一過(guò)程中，學(xué)生的思維得以打開(kāi)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升.

四、重視概念理解及正確應(yīng)用

教師應(yīng)在訓(xùn)練中將概念變成真正的解題工具，貫穿于數(shù)學(xué)問(wèn)題的始終，突顯其效用.

例1 函數(shù)f（x）=x3-sin x+2，若f（a）=1，求f（-a）的值.

解 令f（x）-2=x3-sin x為奇函數(shù)，

∵f（a）=1，

∴f（a）-2=a3-sin a，a3-sin a=-1，

∴f（-a）-2=（-a）3-sin（-a）=-（a3-sin a）=1，

∴f（-a）=3.

這一題目考查的重點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性.主要是了解學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題的理解程度.

例2 已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，-1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

解 ∵y2=4x，

∴p=2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）.

依題意可知當(dāng)P，Q和焦點(diǎn)三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在中間時(shí)，距離之和最小，如圖所示.

故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1，代入拋物線方程求得x=1[]4，故答案為1[]4，-1.

點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離可利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線之間的距離，體現(xiàn)數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，經(jīng)?？疾檫@種數(shù)學(xué)思想.

例3 已知：a>0，b>0，a+b=1，求a+1[]a2+b+1[]b2的最小值.

錯(cuò)誤解法? a+1a2+b+1b2=a2+b2+1a2+1b2+4≥2ab+2ab+4≥4ab·1ab+4=8，

∴a+1a2+b+1b2的最小值是8.

分析 解答中兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=12，第二次等號(hào)成立的條件是ab=1ab，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此，8不是最小值.

正確解法

a2+b2+1a2+1b2+4[ZK（]=（a2+b2）+（1a2+1b2）+4=[（a+b）2-2ab]+1a+1b2- 2ab+4

=（1-2ab）1+1a2b2+4，[ZK）]

由ab≤a+b22=14，得

1-2ab≥1-12=12，且1a2b2≥16，1+1a2b2≥17，

∴原式≥12×17+4=252 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)，等號(hào)成立），∴（a + 1a）2 + （b + 1b）2的最小值是25[]2.

五、提升解題策略

數(shù)學(xué)是一門(mén)很高深的學(xué)科，其解題思路多樣化.因此，在解答數(shù)學(xué)題的時(shí)候，要避免慣性思維與固化思維.根據(jù)題目的內(nèi)容，變化思維方式靈活解答，才是正確的解題之道.

（1）學(xué)會(huì)仔細(xì)認(rèn)真地進(jìn)行觀察

觀察是人類知覺(jué)的一種比較高級(jí)的狀態(tài).這種狀態(tài)更是一種有目的并且是十分持久的知覺(jué).因此，我們?cè)诿鎸?duì)問(wèn)題的時(shí)候，首先要學(xué)會(huì)仔細(xì)認(rèn)真地觀察，才能為后續(xù)解決問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ).

不管是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題還是復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，已知條件間都會(huì)存在著某種聯(lián)系.因此，如果想要解答出這類問(wèn)題，還需要根據(jù)題目自身的具體情況進(jìn)行深入的觀察和分析，通過(guò)分析來(lái)看透題目背后的本質(zhì)，從而找到合理的解題思路.

舉例說(shuō)明：

例4 求和11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1）.

這道題看似十分復(fù)雜，若能觀察到第n項(xiàng)的特征1n（n+1）=1n-1n+1，將原式化為1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1的形式，問(wèn)題很快就解決了.

例5 當(dāng)3x2+2y2=6x，那么x2+y2的最大值是什么？

解 由3x2+2y2=6x，可知，

y2=-32x2+3x.

∵y2≥0，∴-32x2+3x≥0，∴0≤x≤2.

∴當(dāng)x等于2時(shí)，x2+y2存在最大值，最大值為-12（2-3）2+92=4.

運(yùn)用固式思維進(jìn)行解題的同學(xué)，其步驟大多如下：

知道 3x2+2y2=6x可以變換為 y2=-32x2+3x，

∴x2+y2=x2-32x2+3x=-12（x-3）2+92，

∴當(dāng)x為3時(shí)，x2+y2有最大值是92.

這種計(jì)算方式其實(shí)忽略了題目中給出的一些條件，因此導(dǎo)致最終的結(jié)果出現(xiàn)偏差.我們?cè)诮忸}之前，要注意題目中可能存在的一些“陷阱”以及一些隱藏起來(lái)的條件.上述可見(jiàn)，審題是十分重要的，故解題前要認(rèn)真審題，注意題目中所給出的所有條件，再進(jìn)行解題.

（2）善于思考題目之間的關(guān)系

在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)會(huì)聯(lián)想也是一種不錯(cuò)的方式.有些問(wèn)題看起來(lái)十分復(fù)雜和困難，但是通過(guò)抽絲剝繭的聯(lián)想后，會(huì)發(fā)現(xiàn)它可能僅僅是許多基礎(chǔ)題混雜在一起而已，解答起來(lái)并不困難.所以，在解題的時(shí)候，可以通過(guò)聯(lián)想的方式進(jìn)行解答.

例6 求解下列方程組x+y=2xy=-3.

分析 題干中已知條件為：兩數(shù)的和以及兩數(shù)的積.因此通過(guò)韋達(dá)定理我們可以知道，x，y是一元二次方程 t2-2t-3=0的兩個(gè)根，

得知x=-1，y=3或x=3y=-1.此題通過(guò)合理的聯(lián)想能夠把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例7 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，

證明2y=x+z.

分析 此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證.但是，如果注意觀察已知條件，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似.于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證明.

證明 當(dāng)x-y≠0時(shí)，等式 （z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，可看成關(guān)于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有等根的條件，再進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1，根據(jù)韋達(dá)定理有y-zx-y=1，即 2y=x+z.

（3）學(xué)會(huì)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)變

曾經(jīng)有一個(gè)十分知名的數(shù)學(xué)家表達(dá)過(guò)這樣一個(gè)觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)的解題實(shí)際上就是數(shù)學(xué)命題不斷轉(zhuǎn)換的一個(gè)過(guò)程.我們通過(guò)這種轉(zhuǎn)化，可以更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)解答.

例8 已知a+b+c=1a+1b+1c=1，求證a，b，c中至少有一個(gè)等于1.

分析 結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示，我們應(yīng)先將結(jié)論轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式.a，b，c中至少有一個(gè)為1，也就是說(shuō)a-1，b-1，c-1中至少有一個(gè)為零，這樣，問(wèn)題就容易解決了.

證明 ∵1a+1b+1c=1，

∴bc+ac+ab=abc.

∴（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+ac+bc）-1+（a+b+c）=0.∴a-1，b-1，c-1中至少有一個(gè)為零，即a，b，c中至少有一個(gè)為1.

六、結(jié) 語(yǔ)

概念教學(xué)在新時(shí)期背景下成為高中數(shù)學(xué)課堂的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是貫穿數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶，學(xué)生在概念的積累下形成扎實(shí)的基礎(chǔ)，為后續(xù)的探究和多種實(shí)踐活動(dòng)帶來(lái)動(dòng)力，其自身的潛能也得到了激發(fā)，技能也得到了提升，情感上也收獲了歡樂(lè).在新課標(biāo)指引下，教師應(yīng)充分尊重高中生的個(gè)性特點(diǎn)，從其角度出發(fā)設(shè)計(jì)多樣化的授課方案并給予高中生更多的關(guān)注，使其在愉悅的氣氛下對(duì)概念有全新的認(rèn)識(shí)，有意識(shí)地做到重點(diǎn)記憶，整體提升其掌握程度，進(jìn)而在有限的時(shí)間內(nèi)提升授課的效率.

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