李衛(wèi)華

【摘要】直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化.在初中數(shù)學教學中，具備直觀想象素養(yǎng)的學生，能夠將復雜的言語信息圖像化，也能夠從幾何圖形中找到不變量及變量，數(shù)學學習成績突出.因此，發(fā)展初中生直觀想象能力的教學實踐研究很有必要.筆者選取現(xiàn)行人教版八年級下冊教材與直觀想象能力直接相關的“菱形的判定”這一節(jié)內容，就初中數(shù)學教學對學生直觀想象能力的培養(yǎng)提出自己的思考和教學建議.

【關鍵詞】直觀想象;初中數(shù)學;教學實踐

一、問題的提出

直觀想象內涵的解讀，可以將其分為幾何直觀與空間想象兩部分.幾何直觀對初中生來說，主要是指“數(shù)形結合”.空間想象包含圖形變換、圖形識別、圖形折疊、圖形展開、圖形推理、圖形與計算.從最近幾年各地區(qū)學業(yè)評價試題可以發(fā)現(xiàn)，考查直觀想象的題目占比越來越大，而學生的作答情況并不樂觀.筆者以“菱形的判定”這一節(jié)課為例，就初中數(shù)學教學對學生直觀想象能力的培養(yǎng)提出自己的思考和教學建議.

人教版數(shù)學八年級下冊第十八章第二節(jié)“菱形的判定”這節(jié)課的內容，在編寫時，采用探索與證明相結合的方式展開相關內容，引導學生類比矩形的判定，探索菱形的常用判定方法，并對探索得到的結論進行證明和應用，讓學生經(jīng)歷“類比—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明—應用”的過程.如果長期這樣，勢必造成初中生幾何直觀意識的缺乏：對于所給圖形，缺乏將其與一定數(shù)量關系或情境相聯(lián)系的意識;對于所給問題情境，缺乏借助圖形進行表征的意識.筆者嘗試在教學中讓學生經(jīng)歷“具體—抽象—具體”的思維轉化過程，從而提升其直觀想象素養(yǎng).筆者以“菱形的判定”為例，在問題情境、數(shù)學問題、數(shù)學結論、結論運用等環(huán)節(jié)中設計了通過直觀想象感知、直觀想象分析、直觀想象構建，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

二、 對“菱形的判定”新授課的創(chuàng)新設計

在設計理念上，秉持“數(shù)學教育要以理性思維育人”的教育思想，崇尚“數(shù)學教學要為思維而教”的教學觀，情境和經(jīng)驗是實現(xiàn)直觀想象的兩大條件.將教學過程分為四個步驟：

環(huán)節(jié)一 問題引入

活動1（復習）：菱形的定義與性質.（設置動態(tài)圖形）

設計意圖：通過圖形運動直觀感知圖形變化，在幾何變換中感受概念的關鍵條件.通過圖形的變化，進行圖形識別的訓練，從圖形變換中理解概念的內涵，發(fā)展直觀想象能力.

問題1：你能指出其中菱形特有的性質嗎？

設計意圖：對圖形的性質的復習，特別指出：此處一定要結合圖形.通過圖形與數(shù)學語言的轉換，加深學生對圖形的認識，提升學生對圖形的直觀感知.

活動2（操作）：折紙游戲：將一張矩形紙片如圖1這樣對折后，沿圖1中的虛線AB剪下，將△ABO完全展開得到圖2.

問題2：猜想圖2中四邊形ABCD是什么特殊的四邊形，你能說明自己猜想的正確性嗎？

設計意圖：通過學生動手實踐，思考圖形變換中的不變量，提出問題，引出課題.通過創(chuàng)設學生直觀想象核心素養(yǎng)發(fā)展的教學情境，使抽象問題變得直觀化，便于學生理解.

環(huán)節(jié)二 定理探索

活動3：回憶矩形有哪些判定方法？

問題3：矩形的判定與性質之間有什么關系？

問題4： 矩形的判定除了用矩形的定義之外，另兩個判定的條件就是矩形的特有性質，那么菱形的判定情況又是怎樣的呢？

活動4（探索）： 菱形有哪些判定方法呢？

活動5（操作探究）：

（1）學生用尺規(guī)作圖作出菱形，師生交流總結畫法.

（2）通過畫圖和說圖的過程，學生交流討論：為什么剛才畫的四邊形就是菱形呢？并寫出你自己的猜想.

（3）你能證明你的猜想嗎？請根據(jù)猜想，嘗試寫出證明的全過程.

學生在學習矩形的判定時，積累了通過矩形的性質去探索矩形的判定，此時很容易根據(jù)菱形性質去猜想 “對角線互相垂直的四邊形為菱形”.以畫圖實驗，否定了對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形的直觀判斷過程，發(fā)展了學生的直觀想象能力，也滲透了運用直觀的價值.

設計意圖：此時教學過程中建構直觀圖，通過圖形來直觀解決問題.學生通過畫圖，將抽象的數(shù)學問題可視化，將探索菱形的判定方法直觀化，使得圖形語言與文字語言較好地互換.學生從性質出發(fā)，以直觀感覺入手，探索菱形的判定定理，發(fā)展了學生的直觀想象能力.

活動6：教師用幾何畫板演示活動5作圖.

設計意圖：本環(huán)節(jié)設計流程為“操作—觀察—猜想—驗證”.運用幾何畫板將問題轉化為可視化圖形，直觀呈現(xiàn)圖形的動態(tài)過程，無論是教師黑板粉筆作圖，還是學生紙筆作圖，都很難得出動點的位置變化情況.讓學生用眼睛觀察、用頭腦去想象，挖掘問題里的源泉，親歷點的變化過程，對提升學生直觀想象能力有不可忽視的作用.

活動7：學生完成文字概括，并依據(jù)條件畫出圖形進行幾何推理，然后用填空的形式完成數(shù)學語言的轉換.

設計意圖：學生畫圖，一個定理對應著相應圖形，一個圖形反映某個定理，讓條件和結論落實到圖形上，有助于幾何直觀能力的培養(yǎng).

環(huán)節(jié)三 類比建構定理

活動8：建構菱形的判定定理.

問題5：你能類比矩形的性質與判定畫出菱形的性質與判定的思維導圖嗎？

設計意圖：使知識網(wǎng)絡直觀化.建構矩形與菱形的性質和判定的關系，對關系的建構過程也是發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的過程.

環(huán)節(jié)四 例題教學

活動9（應用）

問題6：你能證明活動2的猜想了嗎？

設計意圖：對剛學的菱形判定方法及時鞏固，與前面的課題引入相呼應，讓學生知道學有所用.

問題7：在剛才的矩形紙片中，連接四條邊的中點得到的這個四邊形是菱形嗎？

例1： 如圖3，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點，請猜想四邊形EFGH是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.

問題8：對矩形紙片ABCD，除了活動2那樣的操作，你還能用其他對折展開的方法得到菱形嗎？

例2：如圖4，把矩形ABCD紙片沿直線BD對折，使點C與點E重合，BE與AD交于點F，再將折疊的圖形展開，點F與BC邊上的點G重合，連接DG，求證：四邊形BGDF是菱形.

例3：如圖5，把矩形ABCD紙片沿直線EF對折，使點A 與點C重合， 直線EF與AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，連接CE，AF，求證：四邊形AFCE是菱形.

問題9：若將例3中的矩形紙片換成平行四邊形紙片，還能有上述的結論嗎？

變式1：如圖6，將平行四邊形紙片ABCD進行對折，使A點與C點重合，折痕與AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，求證：四邊形AFCE是菱形.

問題10：將變式1中的平行四邊形紙片換成梯形紙片呢？

變式2：如圖7，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，將它進行對折，使A點與C點重合，折痕與AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，猜想：四邊形AFCE是什么特殊的四邊形？并證明你的猜想.

設計意圖：學生在活動中體會圖形變化，學會用直觀圖形解決幾何問題，在變式討論中，利用直觀想象解決問題，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)能力.

環(huán)節(jié)五 拓展延伸

問題11：你還能用其他方法將一張矩形紙片進行折疊，得到一個菱形嗎？

問題12：將四邊形紙片ABCD如上面進行折疊或剪開，四邊形紙片ABCD滿足什么條件時還能是菱形？

設計意圖：本題是一道開放性問題.學生通過抓住圖形變換中不變量和對圖形折疊、展開等變換的綜合操作，發(fā)展學生的直觀想象能力.這種發(fā)展是幾何教學作用于發(fā)展關鍵期的結果.

三、“初探”的自我認識

1.重視活動經(jīng)驗的積累，加強實踐操作

學生通過對圖形的變換或畫圖以及合作交流等活動，不僅為學習圖形的性質與判定奠定了基礎，也積累了數(shù)學活動的經(jīng)驗，發(fā)展了直觀想象素養(yǎng).如“菱形的判定”中，筆者沒有像其他老師一樣，證明猜想是否成立時把圖直接畫在黑板上，然后讓學生直接進行證明，而是將時間重點安排在畫圖探究環(huán)節(jié)，充分調動每一名學生參與畫圖.看似多余的環(huán)節(jié)，實則已經(jīng)為學生建構了菱形的判定知識，學生通過經(jīng)歷過程，累積學習經(jīng)驗，完全符合直觀想象素養(yǎng)水平描述中提到的水平三的評價之一，即在交流中，能夠利用直觀想象探討問題的本質及其與數(shù)學的聯(lián)系.

2.運用幾何畫板，給學生提供“直觀想象”的機會

教師運用幾何畫板等現(xiàn)代信息手段，向學生展示數(shù)學圖形的運動變化，讓學生在變化過程中找到不變的量和變化的量，把握問題的本質，產生解決問題的思路.幾何畫板的動態(tài)演示，架設直觀與想象的橋梁， 不僅有圖形， 還讓這些圖形根據(jù)題中的條件動起來，將原本難以想象的畫面形象地擺在學生面前，為直觀與想象架設橋梁.

3.教學內容的拓展，引導學生掌握直觀想象的方法

在教學過程中，教師應該針對內容進行變式訓練或一題多解訓練，給學生一個思維的外延導向.學生通過觀察、類比、猜想、畫圖驗證等活動，構建出相應圖形的特征，鍛煉直觀想象能力.

4.文字圖像化， 為直觀想象提供載體

初中學生往往對含數(shù)學術語的文字和符號有畏懼心理，尤其是大段的，長篇幅的更是如此. 數(shù)學問題圖形化，為學生直觀想象提供可視材料，讓數(shù)學問題變得形象，有親和力，更加符合學生的認知心理特征.將數(shù)學問題用圖形語言表述，使得問題變得更加直觀，學生更容易理解，降低問題復雜性.因此，在開展數(shù)學教育工作過程中，教師應考慮文字圖像化， 為直觀想象提供載體，培養(yǎng)學生直觀想象能力.

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