陳佳娜

【摘要】數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.這就是對(duì)數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)人的描述，這就是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).在本質(zhì)上，數(shù)學(xué)的眼光就是數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)的思維就是邏輯推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)很多，知識(shí)本身固然重要，但是，教會(huì)學(xué)生如何去辨別這些知識(shí)，如何去學(xué)習(xí)，如何去思考是更加重要的.變中不變思想是與抽象有關(guān)的數(shù)學(xué)思想;類(lèi)比思想是與推理有關(guān)的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想的引入，使得學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，形成數(shù)學(xué)抽象和推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);牛吃草問(wèn)題;數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”如果把基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能看作計(jì)算機(jī)的硬件設(shè)備，那么基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)便是其軟件支持，優(yōu)良的硬件設(shè)備可以讓計(jì)算機(jī)的運(yùn)行順暢不卡頓，而靈活的軟件支持才是計(jì)算機(jī)能夠可持續(xù)發(fā)展的定海神針.史寧中教授也曾講過(guò)：“在基礎(chǔ)教育階段，一個(gè)好的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)更多地傾向于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣：會(huì)在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中把握本質(zhì)，進(jìn)而抽象能力強(qiáng);會(huì)在雜亂無(wú)章的事物中理清頭緒，進(jìn)而推理能力強(qiáng);會(huì)在千頭萬(wàn)緒的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而建模能力強(qiáng).”

我結(jié)合牛吃草問(wèn)題中涉及的“變中不變”和“類(lèi)比”兩種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行淺析.

一、審時(shí)度勢(shì)，變中不變思想的多維思考

英國(guó)著名的物理學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道題目：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快.這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，其間一直有草生長(zhǎng).如果供給25頭牛吃，可以吃多少天？這種類(lèi)型的題目就叫作牛頓（牛吃草）問(wèn)題，亦叫作消長(zhǎng)問(wèn)題.在實(shí)際教學(xué)中，我通常鼓勵(lì)學(xué)生先獨(dú)立讀題.可是，精讀本題過(guò)后，多數(shù)學(xué)生仍如丈二的和尚摸不著頭腦.究其原因是題中“無(wú)”的條件多且“有”的條件少，如何無(wú)中生有、化虛為實(shí)？這就需要師生共同觀其經(jīng)脈、庖丁解牛了.由于牛吃草的過(guò)程中，草不斷生長(zhǎng)，所以要想辦法從變中找到不變的量.牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)的草量也可看作是“不變”的.下面對(duì)比本題中的兩種吃法（如圖1）.正是由于這個(gè)不變量，使牛吃草問(wèn)題沖云破霧、豁然開(kāi)朗.

下面整理出本題的解題思路（如圖2）：

數(shù)學(xué)是思維的體操，比運(yùn)算結(jié)果更重要的是思考問(wèn)題的過(guò)程，下面給出兩種解題思路供參考.

思路一：可以派出5頭牛去吃每天的新生草，剩下的牛吃不變的原有草.

110÷（25-5）=5.5（天）

思路二：數(shù)學(xué)有公平之美，若每天只讓5頭牛吃新生草，稍顯不公平，要想讓群牛平等，也可以這樣操作：25頭牛每天吃草的需求量是25份，大家齊心協(xié)力先吃每天的5份新生草，沒(méi)吃飽，然后再一起分享原有草25-5=20份，共享數(shù)學(xué)之公平美.

110÷（25-5）=5.5（天）

即可供25頭牛吃5.5天.兩種思路雖算式相同，但思維過(guò)程卻不同，這就是數(shù)學(xué)思維其樂(lè)無(wú)窮的關(guān)鍵所在.

變中有不變思想，用一句俗話說(shuō)則為“萬(wàn)變不離其宗”.在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)的概念、法則、性質(zhì)、定理、數(shù)量關(guān)系式（包含各種公式）等都廣泛應(yīng)用了變中不變思想.

二、觸類(lèi)旁通，類(lèi)比思想解決相似問(wèn)題

如果兩類(lèi)事物具有許多相同的屬性，那么可以通過(guò)一類(lèi)事物具有的性質(zhì)，聯(lián)想另一類(lèi)事物也具有相同的性質(zhì)，這種解決問(wèn)題的思維方法叫類(lèi)比思想.

下面列舉一些與牛吃草問(wèn)題有異曲同工之妙的可用類(lèi)比思想解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

【檢票問(wèn)題】某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)排隊(duì)的人數(shù)一樣多，并且每分鐘檢票完成的人數(shù)相同.若同時(shí)開(kāi)放5個(gè)檢票口，則需30分鐘檢完票;若同時(shí)開(kāi)6個(gè)檢票口，則需20分鐘檢完票.那么，第一個(gè)排隊(duì)的人需等待檢票多少分鐘？

在牛吃草問(wèn)題中，我們把草分成原來(lái)的草和勻速生長(zhǎng)的新草兩個(gè)部分.在檢票問(wèn)題中，恰好也可以把人分成原來(lái)的人和勻速增多的新人兩個(gè)部分，故我們可以把排隊(duì)檢票的人看作牛吃草問(wèn)題中的“草”，而每分鐘檢票人數(shù)相同的檢票口恰好可以看作每天吃草份數(shù)同樣多的“牛”.

本題解答過(guò)程如下：

設(shè)每個(gè)檢票口每分鐘可檢票1個(gè)人.

人的增長(zhǎng)速度： （30×5-20×6）÷（30-20）

=30÷10

=3（人/分）.

原來(lái)的人：30×5-30×3=60（人）或20×6-20×3=60（人）

意味著第一個(gè)排隊(duì)的人需要等到第60個(gè)人前來(lái)排隊(duì)時(shí)，才能開(kāi)始檢票.

等待時(shí)間：60÷3=20（分）.

【抽水問(wèn)題】一個(gè)水池，池底有一泉眼，水不斷涌出.如果用了7臺(tái)抽水機(jī)來(lái)抽，20小時(shí)可以把水抽干;如果用8臺(tái)抽水機(jī)來(lái)抽，15小時(shí)可以把水抽干.那么，泉眼每小時(shí)涌出多少水？

不難發(fā)現(xiàn)本題抽水機(jī)即是“牛”，而不斷涌出的水即是“生長(zhǎng)的草”.與抽水問(wèn)題特別類(lèi)似的還有排水管問(wèn)題及船漏水問(wèn)題.

本題解答過(guò)程如下：

設(shè)抽水機(jī)每小時(shí)抽1份水.

涌水速度： （20×7-15×8）÷（20-15）

=20÷5

=4（份/時(shí)）.

【扶梯問(wèn)題】扶梯勻速地由一樓向二樓行駛著，甲、乙兩人同時(shí)由二樓逆行去一樓.甲每秒鐘走3級(jí)臺(tái)階，乙每秒鐘走2級(jí)臺(tái)階，甲100秒到一樓，乙300秒到一樓，扶梯有多少級(jí)臺(tái)階？

這種“熊孩子”的題型難道也可以類(lèi)比“牛吃草”問(wèn)題？當(dāng)然了！勻速增加的臺(tái)階相當(dāng)于勻速生長(zhǎng)的“草”，甲、乙兩人可以比作“?！?，那么問(wèn)題就迎刃而解了.

本題解答過(guò)程如下：

臺(tái)階增長(zhǎng)速度： （2×300-3×100）÷（300-100）

=300÷200

=1.5（級(jí)/秒）.

原來(lái)的臺(tái)階：2×300-1.5×300=150（級(jí)）或3×100-1.5×100=150（級(jí)）.

【多人追及】有一個(gè)人步行從某地出發(fā)，過(guò)了一段時(shí)間之后，又有甲、乙、丙三個(gè)人同時(shí)從該地出發(fā)騎車(chē)追趕步行人.甲、乙、丙三人的速度分別是12千米/時(shí)，16千米/時(shí)，28千米/時(shí).步行人的速度始終不變，也不會(huì)中途停下來(lái)，甲追上步行人花了6小時(shí)，乙追上步行人花了4小時(shí)，那么丙追上步行人需要多長(zhǎng)時(shí)間？

這雖然是行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題，但與牛吃草問(wèn)題本質(zhì)相同.類(lèi)比牛吃草問(wèn)題的解法，嘗試根據(jù)甲、乙追上步行人花的時(shí)間算出步行人的速度（相當(dāng)于草的生長(zhǎng)速度），進(jìn)而求出剛出發(fā)時(shí)甲、乙、丙與步行人的距離（相當(dāng)于原有草量），最后解答丙追上步行人花的時(shí)間.

本題解答過(guò)程如下：

步行人的速度： （12×6-16×4）÷（6-4）

=8÷2

=4（千米/時(shí)）.

剛出發(fā)時(shí)甲、乙、丙與步行人的距離：12×6-4×6=48（千米）或16×4-4×4=48（千米）.

丙追及的時(shí)間： 48÷（28-4）

=48÷24

=2（小時(shí)）.

除了以上列舉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題也可類(lèi)比牛吃草問(wèn)題.理解了數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識(shí)自然水到渠成.正可謂“萬(wàn)變不離其宗”，這里不再一一贅述.

三、去偽存真，抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題精髓

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要把握知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，抓住教學(xué)的契機(jī)，在相關(guān)的教學(xué)環(huán)節(jié)，適當(dāng)滲透或點(diǎn)撥這些數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)思想如春雨般浸潤(rùn)學(xué)生的心田.我經(jīng)常看到很多學(xué)生整日在題海戰(zhàn)術(shù)中，被搞得精疲力盡，小小年紀(jì)便對(duì)學(xué)習(xí)望而生畏.“思想”教學(xué)迫在眉睫，長(zhǎng)春市吉大附中力旺實(shí)驗(yàn)小學(xué)溫劍校長(zhǎng)經(jīng)常教導(dǎo)我們：“做有根的教育.”我想溫校長(zhǎng)所說(shuō)的“根”就是根植于學(xué)生內(nèi)心深處的思想教育.作為一線教師，一定要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行歸類(lèi)發(fā)現(xiàn)，抓住知識(shí)的本質(zhì)，任題目千變?nèi)f化，只要掌握了駕馭知識(shí)的思想方法，便可見(jiàn)微知著，源頭活水不斷涌來(lái).

【參考文獻(xiàn)】

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