江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué) 毛燕平

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論旨在為學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展建模，形成可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)進(jìn)階理論強(qiáng)調(diào)圍繞核心概念或研究主題，建構(gòu)一系列前后一致、邏輯連貫的思維序列，讓學(xué)生自主選擇合適的認(rèn)知路徑，循序漸進(jìn)，層層深入，逐步走向深度學(xué)習(xí)的高層次階段.

以教學(xué)改革為名而推出的評(píng)優(yōu)課、示范課、精品課自然吸引了很多人的關(guān)注，起到教學(xué)引領(lǐng)作用的示范課自然不能輕視，但師生雙方均會(huì)因?yàn)槁犝n者的出現(xiàn)而在注意力上有所分散.筆者以為，師生每天都會(huì)經(jīng)歷的常態(tài)課往往會(huì)因?yàn)閷W(xué)生所受限制較少而呈現(xiàn)出更加默契的師生交流.本文結(jié)合同一教材的示范課與常態(tài)課的教學(xué)片段進(jìn)行了對(duì)比分析與思考，依據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階理論在各自存在的問題上進(jìn)行分析并探尋了兩者之間的“平衡點(diǎn)”.

一、以“已有認(rèn)知”作為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)

以學(xué)生的已有認(rèn)知作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)并引導(dǎo)學(xué)生在分析思考、合作探究中獲取新知識(shí)，才能使學(xué)生的儲(chǔ)備知識(shí)得到激發(fā)和挖掘并以此為“生長(zhǎng)點(diǎn)”進(jìn)行新知識(shí)的探究.

情境1：示范課

某教師在數(shù)列復(fù)習(xí)示范課上設(shè)計(jì)出了如下兩個(gè)問題：

問題1：填寫以下表格.

學(xué)生很快得出：前n 個(gè)正奇數(shù)之和等于n2；重要不等式定理為：若a，b∈R+，則（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）.

師：大家想一想應(yīng)如何證明？

三分之二的學(xué)生在問題1 的鋪墊下順利進(jìn)行了證明，而且方法比較統(tǒng)一.

情境2：常態(tài)課

這是筆者推門聽課所聽的一節(jié)數(shù)列復(fù)習(xí)課，該執(zhí)教老師作出了以下不同設(shè)計(jì)：

這位教師在隨堂課上直接將上述問題拋給了學(xué)生，學(xué)生在沒有任何鋪墊的情況下陷入了思考僵局.

師：學(xué)生1，在此題的證明上你是如何思考的？

生1：我的思考還沒成熟，不過我想從左邊往右邊證明，好像不好做.

師：有哪位同學(xué)能補(bǔ)充一下？

生2：我準(zhǔn)備將其左邊看作數(shù)列來解題的，不過也沒解決.

（學(xué)生的思考明顯受阻了）

師：將式子左右兩邊割裂是上述兩位同學(xué)共同的想法，是否可以綜合起來呢？

（學(xué)生激烈討論起來，執(zhí)教老師擔(dān)心浪費(fèi)時(shí)間，開始了直奔目標(biāo)的啟發(fā)）

師：什么的和是n2？我們之前學(xué)過的？

生3：前n 個(gè)正奇數(shù)之和為n2.

師：不等式左邊的每一項(xiàng)是否可以變?yōu)槠鏀?shù)呢？

生4：嗯，不等式右邊有（n+1）2，則前n+1 個(gè)正奇數(shù)之和為（n+1）2，想法將左邊轉(zhuǎn)化成前n+1 個(gè)正奇數(shù)之和就行了.

生5：數(shù)學(xué)歸納法證明也是可行的.

師：很好，這是你根據(jù)自學(xué)內(nèi)容得到的證明方法，大家以后也都會(huì)運(yùn)用到的.

反思：情境1 的設(shè)計(jì)明顯是教師認(rèn)真準(zhǔn)備的，問題1 作出的鋪墊令課堂教學(xué)的目標(biāo)得以順利完成，但問題2 所具備的潛在價(jià)值卻并沒有得到充分地體現(xiàn).情境2忽略了學(xué)生的思維起點(diǎn)，學(xué)生探究的內(nèi)容雖然多，但其中的認(rèn)知跨度明顯是學(xué)生較難適應(yīng)的，這也直接導(dǎo)致了教師最后只能選擇直接告知的教學(xué)方式.筆者以為，教師應(yīng)認(rèn)清學(xué)生的已有認(rèn)知水平并依此進(jìn)行教學(xué)情境設(shè)計(jì)，引領(lǐng)學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上有效回顧和深入探索，這也是教師在課堂設(shè)計(jì)中必須探究、確立的示范課和常態(tài)課的一個(gè)“平衡點(diǎn)”.

二、以“問題引領(lǐng)”作為教學(xué)落腳點(diǎn)

教師圍繞知識(shí)目標(biāo)設(shè)計(jì)的問題與問題情境能使學(xué)生在認(rèn)識(shí)問題、解決問題的過程中獲得數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

情境3：示范課

某教師在教研活動(dòng)中的教學(xué)片段如下：

師：已知等差數(shù)列{an}：4，7，10，13，16，…，請(qǐng)大家觀察此數(shù)列并嘗試寫出其第100 項(xiàng)a100.

生1：a100=301.

師：怎樣算的呢？

生1：我正好預(yù)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，我將a1=4，n=100，d=3 代入公式計(jì)算了出來.

師：若沒預(yù)習(xí)過，這第100 項(xiàng)a100又應(yīng)該如何計(jì)算呢？

生1：一項(xiàng)一項(xiàng)推.

師：這是很煩瑣的過程了，能找到規(guī)律嗎？

生1：后一項(xiàng)減前一項(xiàng)正好都是3，其他就不懂了.

師：老師接下來就將每一項(xiàng)列出并寫出其改寫過程.

（這是教師擔(dān)心課堂教學(xué)任務(wù)不能完成作出的舉動(dòng)）

則a100=4+3×99=301.

師：從a100=4+3×99=301 的表示中，大家能猜出首項(xiàng)是a1、公差是d 的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)第n 項(xiàng)an嗎？如何證明？

生2：數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=a1+（n-1）d.不過我不會(huì)證明.

師：大家還記得等差數(shù)列的定義嗎？是否可從此處著手？

生3：可以的，從等差數(shù)列的定義可知，a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，將以上n-1 個(gè)等式相加可得an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d.

情境4：常態(tài)課

師：已知等差數(shù)列{an}：4，7，10，13，16，…，大家觀察一下，是否可以很快寫出其第100 項(xiàng)a100呢？

生1：我不會(huì).

師：請(qǐng)大家觀察以下各式并分別寫出其值.

生2：都等于3.

師：那么大家是否可以對(duì)上述n-1 個(gè)式子進(jìn)行整體考慮并推出第100 項(xiàng)的值呢？

生3：用疊加法可以求出.

師：那大家能否猜出首項(xiàng)是a1、公差是d 的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)an呢？怎么證明？

生4：能，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，把以上n-1 個(gè)等式相加可得an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d.

反思：情境3 中的執(zhí)教老師作出了“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的教學(xué)設(shè)計(jì)，不過因?yàn)閷W(xué)生沒有數(shù)列的類似知識(shí)導(dǎo)致教師的這一設(shè)計(jì)失敗了，最終教師只能自己給出改寫過程.情境4 中的執(zhí)教老師設(shè)計(jì)的問題情境較為簡(jiǎn)單，過于直接的問題設(shè)計(jì)并不能幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)形成深刻的理解.事實(shí)上，教師如果能抓住等差數(shù)列的概念本質(zhì)并設(shè)計(jì)問題情境，使學(xué)生能夠在以“問題引領(lǐng)”的教學(xué)中進(jìn)行思考與探究，必然能使我們獲得示范課與常態(tài)課的又一“平衡點(diǎn)”.

三、以“拓展變式”作為教學(xué)生長(zhǎng)點(diǎn)

以“拓展變式”作為教學(xué)生長(zhǎng)點(diǎn)能使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)均得到很好的發(fā)展，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)有針對(duì)性地進(jìn)行拓展變式訓(xùn)練并幫助學(xué)生更好地學(xué)會(huì)應(yīng)用.

情境5：示范課

師：誰(shuí)會(huì)解決此題？

（學(xué)生沒有表示，于是該執(zhí)教老師直接提問了生1）

生1：它明顯不是等差數(shù)列，所以用等差數(shù)列求和的方法是不行的，但式子看上去比較特別，應(yīng)該有特殊辦法，不過我不會(huì).

情境6：常態(tài)課

教學(xué)的第一步同情境5 中的問題1，問題解決之后隨即進(jìn)行了拓展與變式.

拓展1：已知等差數(shù)列{an}，an≠0，公差是d，化簡(jiǎn)

拓展3：如果數(shù)列{an}對(duì)一切正整數(shù)n 均滿足：，那數(shù)列{an}必然為等差數(shù)列嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，能舉出反例嗎？

反思：存在多處限制的情境5的教學(xué)相對(duì)呆板，學(xué)生的思維和能力生長(zhǎng)也因此喪失.情境6 的教學(xué)卻能擺脫各種限制并進(jìn)行拓展，新的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)因此形成，但教學(xué)容量相對(duì)過大，很多學(xué)生對(duì)拓展變式的理解與把握未必深入.事實(shí)上，教師若能在學(xué)生掌握“裂項(xiàng)求和”的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展1、拓展2 的訓(xùn)練，有效資源“生長(zhǎng)點(diǎn)”的有效應(yīng)用必然使示范課與常態(tài)課之間再獲新的“平衡點(diǎn)”.

總之，教師應(yīng)以“已有知識(shí)”為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)并進(jìn)行問題情境的設(shè)計(jì)與拓展變式的訓(xùn)練，使示范課與常態(tài)課之間處于平衡、穩(wěn)定的狀態(tài)并獲得課堂教學(xué)的理想效果.W