江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué) 毛燕平
學(xué)習(xí)進(jìn)階理論旨在為學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展建模,形成可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)進(jìn)階理論強(qiáng)調(diào)圍繞核心概念或研究主題,建構(gòu)一系列前后一致、邏輯連貫的思維序列,讓學(xué)生自主選擇合適的認(rèn)知路徑,循序漸進(jìn),層層深入,逐步走向深度學(xué)習(xí)的高層次階段.
以教學(xué)改革為名而推出的評(píng)優(yōu)課、示范課、精品課自然吸引了很多人的關(guān)注,起到教學(xué)引領(lǐng)作用的示范課自然不能輕視,但師生雙方均會(huì)因?yàn)槁犝n者的出現(xiàn)而在注意力上有所分散.筆者以為,師生每天都會(huì)經(jīng)歷的常態(tài)課往往會(huì)因?yàn)閷W(xué)生所受限制較少而呈現(xiàn)出更加默契的師生交流.本文結(jié)合同一教材的示范課與常態(tài)課的教學(xué)片段進(jìn)行了對(duì)比分析與思考,依據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階理論在各自存在的問題上進(jìn)行分析并探尋了兩者之間的“平衡點(diǎn)”.
以學(xué)生的已有認(rèn)知作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)并引導(dǎo)學(xué)生在分析思考、合作探究中獲取新知識(shí),才能使學(xué)生的儲(chǔ)備知識(shí)得到激發(fā)和挖掘并以此為“生長(zhǎng)點(diǎn)”進(jìn)行新知識(shí)的探究.
某教師在數(shù)列復(fù)習(xí)示范課上設(shè)計(jì)出了如下兩個(gè)問題:
問題1:填寫以下表格.
學(xué)生很快得出:前n 個(gè)正奇數(shù)之和等于n2;重要不等式定理為:若a,b∈R+,則(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”).
師:大家想一想應(yīng)如何證明?
三分之二的學(xué)生在問題1 的鋪墊下順利進(jìn)行了證明,而且方法比較統(tǒng)一.
這是筆者推門聽課所聽的一節(jié)數(shù)列復(fù)習(xí)課,該執(zhí)教老師作出了以下不同設(shè)計(jì):
這位教師在隨堂課上直接將上述問題拋給了學(xué)生,學(xué)生在沒有任何鋪墊的情況下陷入了思考僵局.
師:學(xué)生1,在此題的證明上你是如何思考的?
生1:我的思考還沒成熟,不過我想從左邊往右邊證明,好像不好做.
師:有哪位同學(xué)能補(bǔ)充一下?
生2:我準(zhǔn)備將其左邊看作數(shù)列來解題的,不過也沒解決.
(學(xué)生的思考明顯受阻了)
師:將式子左右兩邊割裂是上述兩位同學(xué)共同的想法,是否可以綜合起來呢?
(學(xué)生激烈討論起來,執(zhí)教老師擔(dān)心浪費(fèi)時(shí)間,開始了直奔目標(biāo)的啟發(fā))
師:什么的和是n2?我們之前學(xué)過的?
生3:前n 個(gè)正奇數(shù)之和為n2.
師:不等式左邊的每一項(xiàng)是否可以變?yōu)槠鏀?shù)呢?
生4:嗯,不等式右邊有(n+1)2,則前n+1 個(gè)正奇數(shù)之和為(n+1)2,想法將左邊轉(zhuǎn)化成前n+1 個(gè)正奇數(shù)之和就行了.
生5:數(shù)學(xué)歸納法證明也是可行的.
師:很好,這是你根據(jù)自學(xué)內(nèi)容得到的證明方法,大家以后也都會(huì)運(yùn)用到的.
反思:情境1 的設(shè)計(jì)明顯是教師認(rèn)真準(zhǔn)備的,問題1 作出的鋪墊令課堂教學(xué)的目標(biāo)得以順利完成,但問題2 所具備的潛在價(jià)值卻并沒有得到充分地體現(xiàn).情境2忽略了學(xué)生的思維起點(diǎn),學(xué)生探究的內(nèi)容雖然多,但其中的認(rèn)知跨度明顯是學(xué)生較難適應(yīng)的,這也直接導(dǎo)致了教師最后只能選擇直接告知的教學(xué)方式.筆者以為,教師應(yīng)認(rèn)清學(xué)生的已有認(rèn)知水平并依此進(jìn)行教學(xué)情境設(shè)計(jì),引領(lǐng)學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上有效回顧和深入探索,這也是教師在課堂設(shè)計(jì)中必須探究、確立的示范課和常態(tài)課的一個(gè)“平衡點(diǎn)”.
教師圍繞知識(shí)目標(biāo)設(shè)計(jì)的問題與問題情境能使學(xué)生在認(rèn)識(shí)問題、解決問題的過程中獲得數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.
某教師在教研活動(dòng)中的教學(xué)片段如下:
師:已知等差數(shù)列{an}:4,7,10,13,16,…,請(qǐng)大家觀察此數(shù)列并嘗試寫出其第100 項(xiàng)a100.
生1:a100=301.
師:怎樣算的呢?
生1:我正好預(yù)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,我將a1=4,n=100,d=3 代入公式計(jì)算了出來.
師:若沒預(yù)習(xí)過,這第100 項(xiàng)a100又應(yīng)該如何計(jì)算呢?
生1:一項(xiàng)一項(xiàng)推.
師:這是很煩瑣的過程了,能找到規(guī)律嗎?
生1:后一項(xiàng)減前一項(xiàng)正好都是3,其他就不懂了.
師:老師接下來就將每一項(xiàng)列出并寫出其改寫過程.
(這是教師擔(dān)心課堂教學(xué)任務(wù)不能完成作出的舉動(dòng))
則a100=4+3×99=301.
師:從a100=4+3×99=301 的表示中,大家能猜出首項(xiàng)是a1、公差是d 的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)第n 項(xiàng)an嗎?如何證明?
生2:數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=a1+(n-1)d.不過我不會(huì)證明.
師:大家還記得等差數(shù)列的定義嗎?是否可從此處著手?
生3:可以的,從等差數(shù)列的定義可知,a2-a1=d,a3-a2=d,…,an-an-1=d,將以上n-1 個(gè)等式相加可得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.
師:已知等差數(shù)列{an}:4,7,10,13,16,…,大家觀察一下,是否可以很快寫出其第100 項(xiàng)a100呢?
生1:我不會(huì).
師:請(qǐng)大家觀察以下各式并分別寫出其值.
生2:都等于3.
師:那么大家是否可以對(duì)上述n-1 個(gè)式子進(jìn)行整體考慮并推出第100 項(xiàng)的值呢?
生3:用疊加法可以求出.
師:那大家能否猜出首項(xiàng)是a1、公差是d 的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)an呢?怎么證明?
生4:能,根據(jù)等差數(shù)列的定義可知a2-a1=d,a3-a2=d,…,an-an-1=d,把以上n-1 個(gè)等式相加可得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.
反思:情境3 中的執(zhí)教老師作出了“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的教學(xué)設(shè)計(jì),不過因?yàn)閷W(xué)生沒有數(shù)列的類似知識(shí)導(dǎo)致教師的這一設(shè)計(jì)失敗了,最終教師只能自己給出改寫過程.情境4 中的執(zhí)教老師設(shè)計(jì)的問題情境較為簡(jiǎn)單,過于直接的問題設(shè)計(jì)并不能幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)形成深刻的理解.事實(shí)上,教師如果能抓住等差數(shù)列的概念本質(zhì)并設(shè)計(jì)問題情境,使學(xué)生能夠在以“問題引領(lǐng)”的教學(xué)中進(jìn)行思考與探究,必然能使我們獲得示范課與常態(tài)課的又一“平衡點(diǎn)”.
以“拓展變式”作為教學(xué)生長(zhǎng)點(diǎn)能使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)均得到很好的發(fā)展,教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)有針對(duì)性地進(jìn)行拓展變式訓(xùn)練并幫助學(xué)生更好地學(xué)會(huì)應(yīng)用.
師:誰(shuí)會(huì)解決此題?
(學(xué)生沒有表示,于是該執(zhí)教老師直接提問了生1)
生1:它明顯不是等差數(shù)列,所以用等差數(shù)列求和的方法是不行的,但式子看上去比較特別,應(yīng)該有特殊辦法,不過我不會(huì).
教學(xué)的第一步同情境5 中的問題1,問題解決之后隨即進(jìn)行了拓展與變式.
拓展1:已知等差數(shù)列{an},an≠0,公差是d,化簡(jiǎn)
拓展3:如果數(shù)列{an}對(duì)一切正整數(shù)n 均滿足:,那數(shù)列{an}必然為等差數(shù)列嗎?如果是,請(qǐng)證明;如果不是,能舉出反例嗎?
反思:存在多處限制的情境5的教學(xué)相對(duì)呆板,學(xué)生的思維和能力生長(zhǎng)也因此喪失.情境6 的教學(xué)卻能擺脫各種限制并進(jìn)行拓展,新的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)因此形成,但教學(xué)容量相對(duì)過大,很多學(xué)生對(duì)拓展變式的理解與把握未必深入.事實(shí)上,教師若能在學(xué)生掌握“裂項(xiàng)求和”的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展1、拓展2 的訓(xùn)練,有效資源“生長(zhǎng)點(diǎn)”的有效應(yīng)用必然使示范課與常態(tài)課之間再獲新的“平衡點(diǎn)”.
總之,教師應(yīng)以“已有知識(shí)”為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)并進(jìn)行問題情境的設(shè)計(jì)與拓展變式的訓(xùn)練,使示范課與常態(tài)課之間處于平衡、穩(wěn)定的狀態(tài)并獲得課堂教學(xué)的理想效果.W