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        利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)發(fā)展的實(shí)踐研究

        2019-12-26 06:23:40江蘇省海州高級(jí)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年23期
        關(guān)鍵詞:嘗試直線錯(cuò)誤

        江蘇省海州高級(jí)中學(xué) 陶 飛

        思維這一認(rèn)知的核心成份其實(shí)是人腦概括事物本質(zhì)及其中規(guī)律性關(guān)系的反映,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的突破和發(fā)展.學(xué)生在新知識(shí)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用等方面都會(huì)產(chǎn)生一定的“嘗試錯(cuò)誤”,教師應(yīng)抓住機(jī)會(huì)并借助教材的內(nèi)涵與本質(zhì)以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成和發(fā)展.

        一、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生深刻思維

        學(xué)生只有具備一定的思維抽象程度、邏輯水平、思維深度才能對(duì)問(wèn)題展開全面的思考并學(xué)會(huì)追根究底,教師應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)挖掘知識(shí)的本質(zhì)并促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深刻思維,借助學(xué)生的錯(cuò)解使其思維達(dá)到一定的深刻程度.

        兩種解法所得的結(jié)論不相同,這又是什么原因呢?學(xué)生的思維因?yàn)榇鸢傅牟煌钴S起來(lái).教師此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種解法中所運(yùn)用的運(yùn)算法則進(jìn)行思考,啟發(fā)他們發(fā)現(xiàn)運(yùn)算法則運(yùn)用時(shí)應(yīng)該滿足的條件,當(dāng)a>0時(shí),有(am)n=amn;而當(dāng)a<0或a是虛數(shù)時(shí),亂用法則就會(huì)使錯(cuò)解產(chǎn)生,因此,解法2顯然是對(duì)的.

        二、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生靈活思維

        學(xué)生能夠根據(jù)客觀事物的發(fā)展和變化及時(shí)調(diào)整思路并做出一定的改變,能使其獲得新的解題方法,這是學(xué)生具備靈活性思維的具體體現(xiàn).學(xué)生經(jīng)常會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)概念、法則、公式等理解的不夠而產(chǎn)生解題錯(cuò)誤,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生在判斷、推理論證、解題上的錯(cuò)誤進(jìn)行針對(duì)性的思維訓(xùn)練,使學(xué)生能夠在具體問(wèn)題中進(jìn)行靈活思維并及時(shí)調(diào)整思路,繼而正確解題.

        這是筆者在剛剛教完均值定理之后舉出的一個(gè)例子,考慮到了學(xué)生的習(xí)慣性思維并板書出了以下所示的錯(cuò)解:

        板書錯(cuò)解之后,筆者并未將正確答案公布出來(lái),而是對(duì)學(xué)生進(jìn)行了引導(dǎo)、啟發(fā)與討論,使其發(fā)現(xiàn)不等式x+成立的條件應(yīng)為x>0,但題中函數(shù)的定義域明顯是{x|x≠0},因此以上解題方法明顯是不對(duì)的.筆者在學(xué)生思考至此,又引導(dǎo)學(xué)生在此題的求解中是否可以運(yùn)用均值定理進(jìn)行了思考.很快有學(xué)生領(lǐng)會(huì)到了應(yīng)分x>0、x<0這兩種情況并運(yùn)用均值定理來(lái)求解.

        筆者又啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行了新解法的探尋,這是有意引導(dǎo)學(xué)生改變解題思路并促進(jìn)其靈活思維的啟發(fā),學(xué)生在點(diǎn)撥下很快想出了利用判別式求解函數(shù)值域的解法:

        因?yàn)棣?(-y)2-4×4=y2-16,所以y2-16≥0,解得y≤-4或y≥4.

        所以該函數(shù)的值域?yàn)椋?∞,-4]∪[4,+∞).

        學(xué)生思維的靈活性因此得到了很好的培養(yǎng),不僅如此,對(duì)均值定理這一知識(shí)的理解也因此加深.

        三、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生批判思維

        學(xué)生只有具備估計(jì)思維材料、檢查思維過(guò)程的品質(zhì)才會(huì)在解題中敢于質(zhì)疑,敢于批判.教師在具體教學(xué)中可以盡量暴露學(xué)生的錯(cuò)誤并啟發(fā)學(xué)生思考,培養(yǎng)學(xué)生敢于懷疑的意識(shí)與品質(zhì)并使其辨誤能力大大提升.

        例3 在△ABC中,b=11,a=25,∠B=30°,試求∠A的大小.

        這是一道教學(xué)正弦定理過(guò)程中的習(xí)題,學(xué)生有以下解答:

        筆者也曾告訴過(guò)學(xué)生,三角函數(shù)不是特殊值時(shí)可以運(yùn)用反三角函數(shù)對(duì)角進(jìn)行表示.因此,學(xué)生給出這一解法之后,筆者首先請(qǐng)學(xué)生對(duì)這一解法的正誤進(jìn)行了判斷.絕大部分的學(xué)生認(rèn)為解題沒(méi)錯(cuò),但有一名學(xué)生卻提出了0<sinA≤1的結(jié)論,但此題中的這樣的∠A顯然是沒(méi)有的.首先筆者對(duì)于學(xué)生敢于提出異議、善于思考與辨誤的勇氣進(jìn)行了肯定與贊賞,接著便組織學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)重新進(jìn)行了反思,其他學(xué)生也終于認(rèn)可了這位學(xué)生的答案.

        四、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生敏捷思維

        在正確解題的前提下迅速而簡(jiǎn)捷地進(jìn)行思維能使學(xué)生在解題中有效縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)與推理過(guò)程.教師應(yīng)有針對(duì)性地訓(xùn)練學(xué)生的解題速度與能力,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)快速解題的經(jīng)驗(yàn)并概括規(guī)律,使學(xué)生能夠在熟練、正確的解題鍛煉中獲得思維敏捷性的提高.

        例4 已知直線l過(guò)點(diǎn)A(0,1)并和拋物線y2=x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),試求直線l的方程.

        學(xué)生解題如下:

        解:設(shè)直線l的方程是y=kx+1,代入y2=x,可得k2x2+(2k-1)x+1=0.

        因?yàn)橹本€l和拋物線y2=x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),所以Δ=(2k-1)2-4k2=0,解得

        引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一解法進(jìn)行分析,可發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤如下:①在利用點(diǎn)斜式設(shè)直線l的方程時(shí)將斜率k不存在的情況忽略了,也就是忽略了直線l垂直于x軸的這種情況;②利用判別式研究一元二次方程的根時(shí),二次項(xiàng)系數(shù)k≠0,則在解題時(shí)必須考慮直線l和x軸平行這種情況.因此,上述解法明顯是不完整的,直線l應(yīng)有以下三條:y=

        事實(shí)上,啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題錯(cuò)誤,還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作圖來(lái)發(fā)現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生作出圖1即可發(fā)現(xiàn)解題中的漏解之處.這種解題不僅快捷而直觀,還能滲透數(shù)形結(jié)合的思想并令學(xué)生的思維敏捷性得到鍛煉和拓展.

        圖1

        五、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生獨(dú)創(chuàng)思維

        學(xué)生具備思維的獨(dú)創(chuàng)性能使其在獨(dú)立思考中尋得具有新意的思路或方法.學(xué)生在獨(dú)創(chuàng)思維中或許存在缺點(diǎn)與錯(cuò)誤,但這種不循常規(guī)、尋求變異、勇于創(chuàng)新的思維習(xí)慣與品質(zhì)卻往往能使學(xué)生的解題獨(dú)樹一幟.

        例5 某雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5,2),其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,0)、(6,0),試求其標(biāo)準(zhǔn)方程.

        很多學(xué)生面對(duì)此題時(shí)均想到了待定系數(shù)法,運(yùn)用此法解題需要解方程組并求出標(biāo)準(zhǔn)方程中的a2與b2,這一解法相對(duì)常規(guī)但不夠簡(jiǎn)捷.不過(guò)也有少數(shù)學(xué)生想到了以下具有一定特點(diǎn)的解法:

        這種解法與運(yùn)用待定系數(shù)法解題相比,顯然在計(jì)算上更加簡(jiǎn)捷.筆者對(duì)少數(shù)學(xué)生的這一獨(dú)創(chuàng)解法及時(shí)進(jìn)行了肯定與贊賞,并引導(dǎo)學(xué)生回顧解題并發(fā)現(xiàn)其中是否存在錯(cuò)誤,很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)a>0這個(gè)條件被忽略了,因此并不正確,解法也應(yīng)作出修改如下:

        上述解法雖然存在一定的錯(cuò)誤,但解題者的獨(dú)立思考、對(duì)相關(guān)知識(shí)的深刻領(lǐng)悟、獨(dú)創(chuàng)性思維卻在解題中得到了充分的展露.

        因此,學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤并以此為基礎(chǔ)作出的思維引導(dǎo),能使學(xué)生在“嘗試錯(cuò)誤”的辨析中獲得更好的審視、體驗(yàn)與反思,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)得到針對(duì)性的培養(yǎng)與鍛煉并獲得數(shù)學(xué)能力的提升.教師在利用學(xué)生的“嘗試錯(cuò)誤”進(jìn)行教學(xué)與訓(xùn)練時(shí),應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行新的審視與反思并使其能夠明辨是非,使學(xué)生能夠在更加深刻地理解、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念和定理與公式時(shí)獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的鍛煉和提升.W

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