江蘇省海門中學(xué) 李乃洋

圓錐曲線問題在高考或者競賽初賽試題中出現(xiàn)頻率較高，究其原因是其豐富的幾何特性與其解法的無窮魅力.在解決問題時，有時我們還需更多思考命題者的命題源頭或者背景是什么，往往在一番探索之后，會對圓錐曲線理解更深一層.最近筆者在解決一道數(shù)學(xué)初賽試題時，嘗試思考出題人出于何種命題的“依據(jù)”，于是帶著這個思考做了如下探索.

一、試題呈現(xiàn)

二、解法探究

方案一：利用直線的參數(shù)方程簡化計算.

解法1：因為焦點F（c，0），設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），且A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線的參數(shù)方程代入雙曲線的方程得：

化簡為（c2cos2α-a2）t2+（2b2ccosα）t+b4=0，

因為｜OF｜｜AB｜=｜FA｜｜FB｜，所以c｜t1-t2｜=｜t1｜t2｜，將上述結(jié)果代入化簡得2ac=b2，依據(jù)雙曲線中b2=c2-a2，可知e2-2e-1=0，又e＞1，所以e=

方案二：利用雙曲線的極坐標(biāo)方程簡化計算.

解法2：以雙曲線的右焦點F為極點，x軸正方向為極軸建立極坐標(biāo)系，則雙曲線的右支方程為（ρ＞0），左支方程為，其中p為該焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距）.如下圖（考慮兩種情形）

圖1-1

圖1-2

（1）在圖1-1中，交點位于右側(cè)同支，設(shè)點A（ρ，θ），則

（2）在圖1-2中，如果交點位于兩側(cè)不同支，如交點A在右支，而B在左支，則（此時e2cosθ2＞1）.

代入｜OF｜｜AB｜=｜FA｜｜FB｜得：

以下同解法1，結(jié)果可知e2-2e-1=0，又e＞1，所以e=

解法反思：上述解法均是建立在圓錐曲線中焦半徑不同表示方式基礎(chǔ)之上，依據(jù)圓錐曲線第二定義（統(tǒng)一定義）解題.試題中條件“|OF|·|AB|=|FA|·|FB|”包含了焦半徑｜FA｜，｜FB｜，以及焦點弦長｜AB｜和半焦距｜OF｜這些幾何量，探究其與曲線離心率e的數(shù)量關(guān)系，自然讓我們思考試題命制的背景是什么？

三、試題背景

事實上，對于等式｜OF｜AB｜=｜FA｜｜FB｜做一變形，即｜OF｜·（｜FA｜+｜FB｜）=｜FA｜·｜FB｜可得而對于表達(dá)式，其含義我們熟悉表示圓錐曲線共線焦半徑的倒數(shù)和，通常其和為定值為焦準(zhǔn)距，e為離心率），于是我們以拋物線為例論證其關(guān)系（焦點在x正半軸，如圖2）.

圖2

結(jié)論1：已知拋物線頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在x正半軸上，過焦點F的直線交拋物線于點A，B，則

類比拋物線，我們也可以得到橢圓中結(jié)論.

（證明略）

一般在圓錐曲線中，很多性質(zhì)具有統(tǒng)一性，自然思考上述結(jié)論在雙曲線中是否成立？在解法2中，事實上我們已經(jīng)得到如下兩種情形：

比較三種圓錐曲線上述結(jié)論形式，我們一定思考，如何將具有和諧統(tǒng)一的圓錐曲線結(jié)論統(tǒng)一，于是從產(chǎn)生異化的雙曲線入手，其實，但是要考慮拋物線的離心率e=1，故我們可以把上述關(guān)系再整理，得到

定理：已知焦點在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標(biāo)原點），過x正半軸上的焦點F的直線l與曲線交于不同兩點A，B，焦準(zhǔn)距為p，離心率為e，則焦點弦長｜AB｜與焦半徑 ｜FA｜，｜FB｜滿足關(guān)系

由上述定理，不難發(fā)現(xiàn)開頭這道試題的命題背景即為探索圓錐曲線中焦點弦與焦半徑之間的關(guān)系，利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義我們可以有多種解法，但基于雙曲線的兩支情形，需要關(guān)注焦點弦的特殊性，在文1等文獻中，都出現(xiàn)了在圓錐曲線中這種定值結(jié)論，但對于雙曲線來說，過焦點的直線形成的兩個焦半徑倒數(shù)和是不確定的（只有焦點F內(nèi)分線段AB時，結(jié)論正確）.基于上述分析，再結(jié)合極坐標(biāo)方程，我們?nèi)菀椎玫饺缦峦普?

推論1：已知焦點在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標(biāo)原點），過x正半軸上的焦點F的直線l與曲線交于不同的兩點A，B，圓錐曲線的離心率為e，焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為p.若直線的傾斜角為θ，則焦點弦長公式為｜AB｜=

推論2：已知焦點在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標(biāo)原點），過x正半軸上的焦點F的直線l與曲線交于不同兩點A，B，圓錐曲線的離心率為e，焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為p.若則焦點弦長公式為

且由圓錐曲線極坐標(biāo)公式（雙曲線兩支符號不同），可得，推論1得證.

四、結(jié)束語

通過對一道試題的探究，我們發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線中一共性性質(zhì)，并通過解法探究及結(jié)論的論證，進一步理解解析幾何的核心“用代數(shù)的方法研究幾何問題”，這正是我們解決問題需要掌握的策略，也是命題者更深的用“意”.數(shù)學(xué)家哈爾斯說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，在平時解題中我們要養(yǎng)成“提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，解決問題”的研究手段，提升讀懂、理解數(shù)學(xué)命題的能力.