鮑科臻

【摘要】數學思想在我們的學習過程中扮演著重要的角色，它是將課堂理論知識轉化為數學能力的橋梁.在數學概念中，函數主要描述了變量的變化情況，方程則主要反映了一個或多個變量之間的數值關系.學會運用這類思想是我們在高中數學學習階段的重要任務目標，不僅可以提高我們的數學認知水平，對邏輯思維能力的養(yǎng)成也是有很大幫助的.為此，本文首先對什么是函數和方程進行了簡要介紹，并分析了其思想的重要作用.其次，分別從解不等式問題、解析幾何問題、數列以及隨機變量分布問題等多個角度分析了其在各種類型的高中數學題中的實踐.最后，本文提出了幾點建議和策略，以期為同學們的學習和實踐提供指導意義.

【關鍵詞】函數與方程;高中數學;解題實踐

數學思想是數學知識學習的精華和靈魂，其中函數和方程是數學思想的重中之重.它能夠提高我們的數學素養(yǎng)，培養(yǎng)我們良好的思維習慣，也是教育改革的重要內容.因此，學生如何養(yǎng)成函數和方程的思想并在解題中加以運用成為廣大教師和同學熱切關注的話題.本文針對高中階段的一些經典數學問題做了整理，敬請讀者批評改正.

一、函數與方程思想的概念及意義

數學思想是我們將一些數學觀念從書本內容上或者學習數學課程的過程中提煉出來，從而更加熟練和深刻地理解數學規(guī)律和本質.數學思想主要包括函數方程思想、數形結合的思想、化歸的思想、極限的思想、歸納推理的思想以及分類討論的思想等多種方式.其中，函數和方程思想是重中之重，在高中階段的數學學習中占據了很大的比重.方程是根據我們所提出的問題找出其隱藏的數量關系，然后通過建立一定的模型來尋找問題的答案[1].函數與方程密切相關.一個函數具有奇偶性、周期性、單調性等特點.實際上，當我們在利用函數方法解決問題時，通常都是利用它的這些性質進行分析和解答的.

加強函數和方程方法在高中數學解題中的實踐能力對高中階段的學生來講是十分有必要的.首先，有助于優(yōu)化我們對數學結構的認知，更加深刻和清晰的進行邏輯推理，從而能夠積極主動地對腦海中的知識結構進行梳理和重組.[2]其次，有助于良好的思維方式和嚴密的邏輯思維的養(yǎng)成，對以后的工作和生活也會有潛移默化的影響.最后，同樣的數學思想能夠解決多種數學問題，一種數學問題也可能包含多種的思想，能激發(fā)我們的學習興趣和探索欲望，增強分析解決問題的能力.

二、函數方程思想在高中數學解題中的應用

（一）在不等式解題過程中的應用與實踐

在高中數學中，不等式的證明和求解是高中數學中的常見問題.對這類問題，應用函數與方程的數學思想是解決問題的一個有效途徑.通常我們首先經過一些變換建立函數或方程關系式，結合自變量和因變量的取值范圍，通過函數的性質來解決問題.[3]

例1 已知a，b，c為實數，且絕對值均小于等于1，證明：ab+bc+ca+1≥0.

分析 對此，如果我們只看已知條件的話往往感覺無從下手，因此，不妨運用函數的思想換一個角度來思考，由于a的取值范圍在[-1，1]之間，因此，構造自變量a的一次函數f（a）=ab+bc+ca+1，這時只需證明f（-1）和f（1）均大于或等于0就可以了.

（二）在解析幾何解題過程中的應用

由于一般的幾何圖形如圓、橢圓、直線、雙曲線等都可以由一個函數解析式來表示，因此，在求解幾何問題時，運用此類方法也是歷年高考或競賽的重點，[4]可以判斷幾何圖形的位置關系，求解定點、取值范圍以及面積等問題.其解題思路大致由引參—構造方程組—消參—求值等步驟來完成.[7]下面由一個實例來具體體會一下其在解析幾何中的應用.

例2 已知是橢圓C的解析式為x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦點的坐標為F（1，0），右頂點為A，且|AF|=1.

（1）試求橢圓C的標準方程;

（2）假設有一條動直線l：y=kx+m，其與橢圓C有一個交點P，與直線x=4的交點為Q，求定點M（t，0），使MP·MQ=0.

每一種數學思想和數學方法都不是獨立產生的，它們之間相互聯系相輔相成，是不可分割的整體.尤其是當我們在解決相對比較復雜的數學問題時，往往需要采取多種數學方法運用多種數學思想來共同完成解答.[6]例如，在解決二次函數的最值、指對數函數的單調性等問題時需要我們結合分類討論的思想按照一定的方法將研究對象進行討論，然后在運用歸納與總結的方法對每一種情況得到的結論進行綜合，從而得到最終的答案.方程的思想還可以與函數的思想、數形結合的思想相結合，能夠根據函數圖像的單調性、極值、周期性等特征更加直觀快速地找到問題的答案.

例4 求解方程2-x+x2=3的實數解的個數.

分析 直接求解方程的解對本題來說是行不通的，將方程的思想與函數的思想以及數形結合的思想結合起來能夠使問題簡單化.因此，觀察方程的特點，構造一個指數函數f（x）=12x以及一個二次函數g（x）=-x2+3，做出兩個函數的圖像如圖所示，于是該題目將復雜的方程的求解問題轉化為求兩個函數的交點，問題就迎刃而解了.從圖2中可以看出，一共有兩個交點，因此，本題的答案為原方程有兩個實數解.

三、加強函數方程思想在高中數學解題實踐的策略

經過上面多種類型題目的解答過程，我們不難看出函數和方程思想在解題過程中的重要地位，從上述例子中可以體會到不同的方法在解題過程中所花費的時間和精力是不一樣的.正確的解題思想和有效的解題辦法能夠大大提高我們的解題效率和正確率.因此，如何有效加強數學思想的運用引起了越來越多的學生和教師的重視.本文根據在高中階段學習數學的經驗以及在解題過程中的體會，提出了以下幾點值得我們注意的地方.

首先，經過大量的數學習題的練習是提高解題能力的必經之路.所謂見多識廣，我們要建立正確的解題觀念，通過接觸不同類型的經典習題，并仔細揣摩其出題者的意圖、題目所考查的知識點.