蔡振樹

【摘要】導數(shù)是高中數(shù)學學習的一個重要組成部分，是研究函數(shù)、方程、不等式等問題的有力工具.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，會涉及函數(shù)與方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、有限與無限等重要數(shù)學思想和分析法、綜合法、換元法、構(gòu)造法等常用數(shù)學方法.是考查數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體.

【關鍵詞】函數(shù);突破策略;核心素養(yǎng)

【基金項目】本文是福建省“十三五”中學名師培養(yǎng)人選立項課題《基于核心素養(yǎng)下的差異數(shù)學實踐研究》（課題編號：13MS009）的研究成果之一.

一、高考試題中利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的作用

有關函數(shù)的壓軸題，多涉及以ex，lnx為背景的一些恒等式、不等式等問題，這需要以導數(shù)為工具來解決，這也是涉及函數(shù)導數(shù)試題命制的熱點和難點.

例如，2018年高考（Ⅰ）卷第16題：已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.利用導數(shù)研究函數(shù)最值，實際是研究單調(diào)性，進而得到最值.

2018年高考（Ⅰ）卷第21題：已知函數(shù)f（x）=1x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明f（x1）-f（x2）x1-x2

縱觀歷年高考試題，函數(shù)中的雙變量問題是一直是高考試卷中的“熱門”試題之一，這類試題不僅形式多樣，而且聯(lián)系到的知識面較廣，技巧性強，構(gòu)造思維和推理能力要求較高，因此，這類試題往往被設置成高考的壓軸試題.解決這類問題的方法也是多種多樣的，有必要針對具體問題具體分析，但實際上解決這類問題也有規(guī)律可循，要依據(jù)試題題設和待求問題的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系選擇適當?shù)慕鉀Q方法，關鍵在于構(gòu)造出適當?shù)暮瘮?shù)，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進而利用導數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì)來求解.

二、構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)突破的三種策略

突破策略1：單調(diào)性法.利用結(jié)構(gòu)，變量對稱輪換，構(gòu)造單調(diào)函數(shù).

壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)一類以不等式為背景考查函數(shù)單調(diào)性的定義、應用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的問題.此類問題設計新穎，既考查函數(shù)單調(diào)性的定義，又考查導數(shù)的應用，是兩個知識點的交匯融合;既考查函數(shù)方程的思想，又考查轉(zhuǎn)化化歸的思想，是數(shù)學思想方法的應用提升，可謂一舉多得.求解此類問題時，一定要進行合理的轉(zhuǎn)化化歸，把問題轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)值的大小問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題，最后利用導數(shù)進行突圍，使問題得以求解.

例1 已知函數(shù)f（x）=12x2-2alnx+（a-2）x，a∈R.

（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）圖像在點（1，f（1））處的切線方程;

（2）當a<0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（3）是否存在實數(shù)a，對任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有f（x2）-f（x1）x2-x1>a恒成立？若存在，求出a的取值范圍;若不存在，說明理由.

分析與解 （1）（2）略.

（3）題干所給的條件中含有x1，x2兩個變量，同時具有輪換對稱的特征，因此，考慮進行變量分離，等式的特征轉(zhuǎn)化為“比較兩函數(shù)值大小的問題”，進而把問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的單調(diào)性問題”，最后應用導數(shù)進行求解.

為了把f（x2）-f（x1）x2-x1>a的分母進行移項.不妨設x10，

由f（x2）-f（x1）x2-x1>a可知，f（x2）-ax2>f（x1）-ax1在區(qū)間（0，+∞）上恒成立.

構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-ax（x>0），則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

下面應用導數(shù)進行求解.

g（x）=12x2-2alnx-2x（x>0），

g′（x）=x-2ax-2（x>0）.

由g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，得2a≤x2-2x在（0，+∞）上恒成立.

令φ（x）=x2-2x=（x-1）2-1（x>0），

所以當x=1時，φ（x）取得最小值-1.

故2a≤-1，a≤-12.故存在這樣的實數(shù)a滿足題意，其范圍為-∞，-12.

突破策略2：主元法.把一個變量當成定值，構(gòu)造成另一個變量的函數(shù)來研究，屬于通性通法.比起對結(jié)構(gòu)要求高的題型來講，更具一般性.

函數(shù)中的雙變量問題是近年高考試卷中的“熱門”試題之一，這類試題不僅形式多樣，而且聯(lián)系到的知識面較廣，技巧性強，構(gòu)造思維能力要求較高，是多個知識點的交匯融合;既考查函數(shù)方程的思想，又考查化歸轉(zhuǎn)化的思想，是數(shù)學思想方法的應用提升，是落實數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體.

這類以指數(shù)型（對數(shù)型）函數(shù)為背景的導數(shù)、不等式交匯的試題時，我們觀察到，不等式含有雙元變量x1，x2，當x1=x2時，原不等式一端分式為00型，或0=0或左端=右端等形式.此時，可以將其中一個變量x1當成定值，另一個x2作為變量構(gòu)造一端為零的不等式，從而實現(xiàn)減元.令x=x2，構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導數(shù)求解g（x）的最值，從而證明求解.

在求解一類以指數(shù)型（對數(shù)型）函數(shù)為背景的導數(shù)、不等式交匯的試題時，我們觀察到，不等式含有雙元變量x1，x2，通過等價轉(zhuǎn)化后可以構(gòu)造差值x1-x2（或比值x1x2）而后進行換元（令t=x1-x2或t=x1x2），從而實現(xiàn)減元，進而把問題轉(zhuǎn)化為關于t的問題，然后通過構(gòu)造關于t的函數(shù)，以導數(shù)為工具進行證明求解.

三、立足差異關注核心素養(yǎng)落地的重要載體

注重應試實戰(zhàn)與數(shù)學素養(yǎng)的培育，利用函數(shù)導數(shù)作為載體，掌握構(gòu)造函數(shù)的幾種策略，不僅幫助學優(yōu)生突破解高考的壓軸題瓶頸問題，還可以為中等生增加有效解題步驟分，有利于提高高考的應試成績.同時，更能關注到學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，如對分析問題、解決問題的能力的培養(yǎng)，是提升數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的有力實踐.這需要我們正視學生學習差異，確實落實核心素養(yǎng)，實踐差異數(shù)學.

構(gòu)造函數(shù)解決一類雙元變量問題的策略，題型特征明顯，易于觀察，解法規(guī)律性強，簡單易操作，適用范圍較廣，能讓不同學習層次的學生得到不同的發(fā)展，更好地體現(xiàn)差異數(shù)學，能讓學生體會知識學會識別題型、掌握解題規(guī)律，又能讓學生靈活遷移應用.構(gòu)造函數(shù)的策略既能讓學生感受知識發(fā)生、發(fā)展的過程，又能讓學生從中領悟數(shù)學本質(zhì)，提升數(shù)學素養(yǎng)，具有十分重要的意義.

【參考文獻】

[1]宿晶.構(gòu)造函數(shù)在解決導數(shù)問題中的運用策略和技巧[J].數(shù)理化解題研究，2016（16）：15-17.

[2]萬兆峰，賈奉美.構(gòu)造輔助函數(shù)，解決一類導數(shù)問題[J].數(shù)學教學通訊：中學生版高三卷，2005（2）：85-87.