莫娟

【摘 要】首先根據(jù)微課的特點(diǎn)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的現(xiàn)狀引出微課教學(xué)的必要性，然后以高等數(shù)學(xué)中的“方向?qū)?shù)的定義”這一知識點(diǎn)為例，闡述了大學(xué)數(shù)學(xué)微課的教學(xué)設(shè)計(jì)過程。

【關(guān)鍵詞】微課;大學(xué)數(shù)學(xué);方向?qū)?shù);教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號： G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）34-0085-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.34.036

Research on the Teaching Content Design of College Mathematics Micro-Class

MO Juan

（School of Science，Inner Mongolia University of Science﹠Technology，Baotou Inner Mongolia 014010，China）

【Abstract】Firstly，the necessity of micro-course teaching is derived from the characteristics of micro-course and the current situations of college mathematics curriculum. Then， the knowledge point of"definition of direction derivative"in higher mathematics is taken as an example to expound the teaching design process of college mathematics micro-course.

【Key words】Micro-course;College mathematics;Directional derivative;Teaching design

1 微課的特點(diǎn)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的現(xiàn)狀

隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，學(xué)生獲取知識的途徑也更加多樣化。除了傳統(tǒng)的課堂學(xué)習(xí)模式外，他們還可以通過互聯(lián)網(wǎng)獲得來自全球不同高校、不同學(xué)科的優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源，如網(wǎng)易公開課、慕課、微課等。相比于其他教學(xué)手段，微課具有如下特點(diǎn)[1]。第一，短小精悍，內(nèi)容針對性強(qiáng)。微課的時(shí)長約為10-15分鐘，主要圍繞一個(gè)知識點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，結(jié)合動(dòng)畫、圖片、文字等多種方式進(jìn)行講解。因此，相比于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，微課的教學(xué)內(nèi)容更加集中，更能吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。第二，不受時(shí)間空間的限制，學(xué)習(xí)方式更加靈活多樣。因?yàn)槲⒄n以視頻的方式呈現(xiàn)，所以學(xué)生可以借助手機(jī)、平板、電腦等設(shè)備隨時(shí)隨地進(jìn)行課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)，從而有效地提升學(xué)習(xí)效果。

大學(xué)數(shù)學(xué)作為高等學(xué)校理工科學(xué)生的公共基礎(chǔ)必修課之一，在培養(yǎng)大學(xué)生素質(zhì)和能力方面發(fā)揮著重要作用，也是后續(xù)課程的基礎(chǔ)。然而，一方面由于大學(xué)數(shù)學(xué)具有邏輯性強(qiáng)、概念抽象、計(jì)算復(fù)雜等特點(diǎn)。另一方面，在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，大學(xué)數(shù)學(xué)一般是大班授課的方式，統(tǒng)一的教學(xué)進(jìn)度難以滿足不同層次學(xué)生的需求，導(dǎo)致部分學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中問題不斷堆積，產(chǎn)生畏難情緒，學(xué)習(xí)積極性不高。因此，考慮到微課的特點(diǎn)和大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)所面臨的現(xiàn)狀，將大學(xué)數(shù)學(xué)微課作為一種有效的教學(xué)資源引入到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，必將對學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升起到積極的促進(jìn)作用。這其中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是針對所選的知識點(diǎn)，對大學(xué)數(shù)學(xué)微課進(jìn)行良好的教學(xué)設(shè)計(jì)。下面以高等數(shù)學(xué)中的“方向?qū)?shù)的定義”這一知識點(diǎn)為例，進(jìn)行探討和研究。

2 “方向?qū)?shù)的定義”教學(xué)設(shè)計(jì)過程

方向?qū)?shù)是高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)微分學(xué)中很重要的概念，是多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的拓展和深入。學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，學(xué)生已具備極限、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和向量代數(shù)等相關(guān)知識。通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，以期達(dá)到如下的教學(xué)目標(biāo)：（1）讓學(xué)生掌握方向?qū)?shù)的定義;掌握方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;理解方向?qū)?shù)的幾何意義。（2）使學(xué)生在原有知識的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)概念的同化和順應(yīng)。（3）培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，學(xué)會(huì)用辯證的思維理解數(shù)學(xué)概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。根據(jù)這一教學(xué)目標(biāo)，我們以問題教學(xué)為切入點(diǎn)[2]，按照提出問題、分析問題、解決問題的思路層層推進(jìn)，揭示方向?qū)虻亩x和內(nèi)涵;通過數(shù)形結(jié)合的方法給出方向?qū)?shù)的幾何意義;引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新舊知識對比，用辯證的思維理解方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;最后啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用方向?qū)?shù)的概念來解釋生活現(xiàn)象，培養(yǎng)運(yùn)用知識，解決實(shí)際問題的能力。具體的教學(xué)設(shè)計(jì)過程如下：

2.1 溫故知新

復(fù)習(xí)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，揭示其本質(zhì)為函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率，指出僅研究函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率是不夠的。

2.2 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

分別播放山洪暴發(fā)的視頻和天氣預(yù)報(bào)中衛(wèi)星云圖不斷變化的視頻，由表及里，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：在生產(chǎn)生活中，我們需要研究函數(shù)沿不同方向的變化率問題，由此引出本節(jié)課的研究內(nèi)容——方向?qū)?shù)。

2.3 層層推進(jìn)，揭示概念

按照提出問題、分析問題、解決問題的思路層層推進(jìn)，揭示方向?qū)虻亩x和內(nèi)涵[3]。（1）提出問題：如何刻畫函數(shù)在一點(diǎn)沿不同方向的變化率？（2）分析問題 要解決這個(gè)問題，需要明確兩個(gè)問題：①確定方向，②描述函數(shù)在一點(diǎn)的變化率。（3）解決問題：①由前面向量代數(shù)的知識可知，我們可以用有向線段（即射線方程）的指向來刻畫動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的方向。②確定了方向后，如何描述函數(shù)沿著指定方向的變化率呢？類比之前學(xué)過的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)在一點(diǎn)變化率的本質(zhì)為：函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值，當(dāng)自變量的增量趨向于零時(shí)的極限，即平均變化率的極限。由此給出方向?qū)?shù)的定義。

2.4 數(shù)形結(jié)合，化抽象為直觀

（1）提出問題：二元函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示平面y=y0與曲面z=f（x，y）的交線在對應(yīng)的空間點(diǎn)處的切線對x軸的斜率，那么方向?qū)?shù)的幾何意義是什么呢？（2）采用數(shù)形結(jié)合的方法，以動(dòng)畫的形式揭示方向?qū)?shù)在幾何上表示過射線L且垂直于xOy面的平面與曲面z=f（x，y）的交線Γ在點(diǎn)M0處的切線對L軸的斜率，化抽象為直觀，深化學(xué)生對方向?qū)?shù)的理解。

2.5 新舊知識對比，加深理解

引導(dǎo)學(xué)生思考方向?qū)?shù)和偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，用辯證的思維理解方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，最后得出結(jié)論：偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，函數(shù)沿著坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)一定存在;反之，函數(shù)的方向?qū)?shù)存在，并不能保證偏導(dǎo)數(shù)存在。2.6 應(yīng)用知識，拓展思維

列舉一些實(shí)際生活中的案例，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用已有知識解決實(shí)際問題的能力。

（1）列舉方向?qū)?shù)的實(shí)際應(yīng)用。如氣象學(xué)中對實(shí)時(shí)的衛(wèi)星云圖，利用方向?qū)?shù)可以分析氣壓形勢，從而為天氣預(yù)報(bào)提供依據(jù)。（2）利用方向?qū)?shù)解釋生活現(xiàn)象，如登山的時(shí)候，沿不同的路線攀登，陡峭程度不同，有的地方平緩，爬起來感覺輕松;有的地方陡峭，爬起來就會(huì)覺得累。其原因就是山地表面可以看作一個(gè)曲面，其高度函數(shù)沿不同方向的變化率（即方向?qū)?shù)）是不同的。沿著平緩的地方爬行，高度變化慢，爬起來就會(huì)覺得輕松，但是爬的也慢;相反，沿著比較陡峭的地方爬行，因?yàn)楦叨茸兓?，所以爬得很快，但人也?huì)感覺比較累。

2.7 內(nèi)容小結(jié)，課后思考

總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，鞏固知識點(diǎn);提出課后問題，引發(fā)學(xué)生思考。

3 結(jié)語

本文在分析了微課的特點(diǎn)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，以“方向?qū)?shù)的定義”這一知識點(diǎn)為例，展示了大學(xué)數(shù)學(xué)微課的教學(xué)設(shè)計(jì)過程，以期通過這種問題驅(qū)動(dòng)的模式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，變被動(dòng)為主動(dòng)，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量。

【參考文獻(xiàn)】

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