洪曉妹

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)建模是重要的教學(xué)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分. 在數(shù)學(xué)建模中關(guān)注學(xué)生的建模水平，并通過實(shí)證的方法去開展性質(zhì)研究，對于準(zhǔn)確把握學(xué)生的建模水平，以更好地設(shè)計(jì)建模教學(xué)來說，是有益的.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);實(shí)證;數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)建模水平

所謂實(shí)證研究，是指從大量的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)中通過科學(xué)歸納，總結(jié)出具有普遍意義的結(jié)論或規(guī)律，然后通過科學(xué)的邏輯演繹方法推導(dǎo)出某些結(jié)論或規(guī)律，再將這些結(jié)論或規(guī)律拿回現(xiàn)實(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)的方法論思想. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)證研究相對較少，更多的是教師基于自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及對經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)、概括而進(jìn)行的認(rèn)識方面的提升. 這種基于經(jīng)驗(yàn)的研究，優(yōu)點(diǎn)在于容易感知，指導(dǎo)性較強(qiáng)，而缺點(diǎn)在于過于感性，容易出現(xiàn)認(rèn)識模糊、指導(dǎo)偏移等情形. 相比較而言，在日常教學(xué)中進(jìn)行一定的實(shí)證研究，筆者以為是恰當(dāng)?shù)? 本文以初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模水平為研究對象，略談筆者的研究過程.

基于實(shí)證的數(shù)學(xué)建模水平研究思路

既然要研究初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的建模水平，那就要搞清楚學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力受哪些因素的影響. 研究表明，影響學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的4個(gè)因素是動機(jī)態(tài)度、知識經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知過程、元認(rèn)知. 根據(jù)這一判斷，研究者進(jìn)一步提出，培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略為：拓展“最近發(fā)展區(qū)”，強(qiáng)化“問題意識”，建構(gòu)“思維模式”，調(diào)用“監(jiān)控系統(tǒng)”.

顯然，從實(shí)證研究的角度來看，研究的對象很明確，那就是學(xué)生的四個(gè)因素水平，當(dāng)然，還要結(jié)合學(xué)生的具體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程. 在“二元一次方程”的教學(xué)中，建模過程主要體現(xiàn)在以二元一次方程為形式，以及在實(shí)際問題的解決過程中以二元一次方程組為工具進(jìn)行運(yùn)用的過程. 即，二元一次方程不僅是一個(gè)方程，還是一個(gè)解決問題的工具，是以模型的形式存在的. 在實(shí)證研究的思路下，筆者以為具體的研究過程可以分為這樣四個(gè)步驟：第一步，研究動機(jī)的激發(fā)水平. 這個(gè)水平通常取決于兩個(gè)因素，一是教師所創(chuàng)設(shè)的情境，二是學(xué)生解決問題的愿望. 而從有效建模的角度來看，教師的主要任務(wù)就是創(chuàng)設(shè)情境以激活學(xué)生的愿望，然后在此過程中判斷學(xué)生的動機(jī)水平. 第二步，研究原有的知識經(jīng)驗(yàn)水平. 從建構(gòu)主義的角度來看，學(xué)生構(gòu)建二元一次方程的知識基礎(chǔ)在于對方程以及一元一次方程的理解，能力基礎(chǔ)在于將已知知識在新情境中進(jìn)行遷移. 第三步，研究二元一次方程建立過程中學(xué)生的認(rèn)知水平. 有研究者指出，學(xué)生要學(xué)會用數(shù)學(xué)方法去理解與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的情境，從而提出解決方案，并認(rèn)清和判斷現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)問題. 基于這樣的理解去判斷學(xué)生的認(rèn)知水平是可以的. 第四步，判斷學(xué)生的元認(rèn)知水平. 元認(rèn)知是關(guān)于認(rèn)知的認(rèn)知，是學(xué)生關(guān)注自身學(xué)習(xí)行為并對影響學(xué)習(xí)過程的行為進(jìn)行矯正的能力水平. 其相對宏觀，且對數(shù)學(xué)建模影響明顯，通常情況下，只有在建模過程中注意力高度集中、思維對象完全明確的學(xué)生，才能順利地建立數(shù)學(xué)模型.

在數(shù)學(xué)建模的過程中開展實(shí)證研究

顯然，真正的實(shí)證所需的材料來源于具體的數(shù)學(xué)建模過程，下面筆者就從教學(xué)現(xiàn)場中尋找相關(guān)細(xì)節(jié)，來談?wù)劸唧w的實(shí)證研究開展.

1. 細(xì)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，觀察學(xué)生在情境中的探究動機(jī)

筆者曾經(jīng)作過對比. 一次，筆者給了學(xué)生一個(gè)問題情境：小華去看望爺爺，他花68元買了2斤蘋果與5斤香蕉，如果蘋果和香蕉每斤的價(jià)格分別是x元與y元，那可以列出什么式子？另一個(gè)情境是：我們班上現(xiàn)有45個(gè)同學(xué)，如果分兩個(gè)大組，其中一個(gè)大組分若干個(gè)小組，但必須每個(gè)小組3人;另一個(gè)大組也分為若干個(gè)小組，但每個(gè)小組必須2人. 這樣的分配方案能確保班上每個(gè)同學(xué)都能分配到小組嗎？

實(shí)踐證明，這兩個(gè)問題所激發(fā)出的學(xué)生的研究動機(jī)是不一樣的，前者容易出結(jié)果，但學(xué)生的動機(jī)較弱;后者的判斷過程較為復(fù)雜，但學(xué)生有較強(qiáng)的研究動機(jī). 且從后來的結(jié)果來看，雖然此處過程復(fù)雜、費(fèi)時(shí)較多，但對建構(gòu)二元一次方程的作用較大，學(xué)生形成的印象也較為深刻.

2. 細(xì)節(jié)二：浸入情境，觀察學(xué)生在情境中的建構(gòu)過程

這個(gè)過程中學(xué)生的反應(yīng)與情境密切相關(guān)，以上面的第二種情境為例，學(xué)生要理解“每個(gè)同學(xué)都能分配到小組”，他們本來的觀點(diǎn)還是比較模糊的，因?yàn)榇颂帉W(xué)生是有意識設(shè)未知數(shù)的（這是原有知識在發(fā)揮作用），盡管部分學(xué)生因?yàn)楦杏X問題中可能存在兩個(gè)未知數(shù)而不敢下手，但等到分別設(shè)出兩個(gè)大組中小組的個(gè)數(shù)時(shí)，他們會發(fā)現(xiàn)原來問題的解決過程也不過如此. 而等到二元一次方程建立之后，學(xué)生忽然發(fā)現(xiàn)，其實(shí)每個(gè)學(xué)生分配到小組就意味著方程的解必須是整數(shù)，這是判斷原問題能與否的關(guān)鍵. 這樣，學(xué)生的思維實(shí)際上貫穿了二元一次方程與求解兩個(gè)教學(xué)關(guān)鍵，客觀上也促進(jìn)了兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容的統(tǒng)一.

3. 細(xì)節(jié)三：數(shù)學(xué)探究，判斷學(xué)生在探究過程中的認(rèn)知水平

學(xué)生的認(rèn)知水平反映在面對問題時(shí)的分析水平與解決水平上. 對于上述第二個(gè)情境，學(xué)生的思維常常是倒著的，即從問題開始研究：從每個(gè)學(xué)生能夠分配到小組，到大腦中對兩個(gè)小組形成的想象表象——假設(shè)這邊一大組有多少個(gè)小組，那邊一大組有多少個(gè)小組，然后去配總?cè)藬?shù)，實(shí)際上，這一步就已經(jīng)完成了二元一次方程模型的建構(gòu);再到設(shè)未知數(shù)，使二元一次方程模型成型，此時(shí)學(xué)生所表現(xiàn)出來的認(rèn)知水平，應(yīng)當(dāng)說與預(yù)設(shè)是比較一致的.

4. 細(xì)節(jié)四：教學(xué)反思，判斷學(xué)生的元認(rèn)知水平

在教學(xué)反思中，筆者結(jié)合學(xué)生解決問題的過程，發(fā)現(xiàn)初中生在二元一次方程模型建立的過程中還是存在較強(qiáng)的自控、自糾能力的，不少小組內(nèi)的討論都發(fā)生了偏移，而組長都能及時(shí)進(jìn)行糾正. 即使是圍繞問題解決，他們也能下意識地圍繞問題進(jìn)行討論. 實(shí)際上，不少小組的學(xué)生都意識到了上述第二個(gè)情境中的分組結(jié)果并非唯一，這其實(shí)就是思維高度聚焦的結(jié)果，體現(xiàn)了較好的元認(rèn)知水平.

基于實(shí)證的數(shù)學(xué)建模水平研究思考

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分. 學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平究竟如何，除了基于經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷之外，還需要結(jié)合數(shù)學(xué)建模的具體過程，通過證據(jù)的收集去進(jìn)行實(shí)證研究. 從多個(gè)案例的研究中，筆者有下面兩點(diǎn)收獲.

其一，數(shù)學(xué)建模中的實(shí)證研究，通常需要從定性研究入手. 這是因?yàn)閷?shí)證研究對于大多數(shù)教師來說，都是一個(gè)新生事物，完全脫離經(jīng)驗(yàn)而進(jìn)行量化研究是不可行的. 而教學(xué)經(jīng)驗(yàn)原本就是一個(gè)好東西，基于經(jīng)驗(yàn)但不囿于經(jīng)驗(yàn)，是實(shí)證研究的重要基礎(chǔ).

其二，數(shù)學(xué)建模中的實(shí)證研究，要努力走向量化研究. 根據(jù)筆者所涉獵的相關(guān)理論研究，其實(shí)其中有些東西是可以做一些量化處理的，比如可以根據(jù)學(xué)生在建模過程中的認(rèn)知水平，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的要求去編制一個(gè)認(rèn)知水平表，然后結(jié)合學(xué)生的建模過程判斷其所處的水平，這有助于后面與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的教學(xué)中更準(zhǔn)確地判斷學(xué)生的可能水平. 但這個(gè)工作往往細(xì)致且工作量較大，不大可能成為日常研究的行為，所以只可擇一而行之.

總之，初中數(shù)學(xué)建模中開展實(shí)證研究是有意義的，能提升教師對學(xué)情的把握水平，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)努力讓自己走在實(shí)證的道路上.