林瑞記 鄭伊楠

[摘 ?要] 立體幾何是高考考查的重要模塊，它既能考查學生的數(shù)學知識水平，又能鍛煉學生的數(shù)學素養(yǎng). 文章依據(jù)高考閱卷場上學生作答的實際情況，評析了學生在解答立體幾何問題的常見方法，并就切身閱卷的反饋做了教學反思.

[關鍵詞] 立體幾何;解題評析;教學反思

從近幾年來看，立體幾何主要考查空間中線線、線面和面面位置關系的證明，求解出線面角、二面角的正弦、余弦值，以及空間向量的應用. 2018年的高考理科數(shù)學全國Ⅱ卷第20題主要考查學生對空間立體幾何圖形的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng). 立體幾何題型的考查，不僅能檢驗學生的知識水平，而且也是檢驗學生思維品質的試金石. 本文通過對該題的深度解析，結合考生的實際答題情況，反思我們中學一線教師課堂教學中存在的問題. 筆者拋磚引玉，望與君共勉.

（2018年全國Ⅱ卷第20題）如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O為AC中點.

（1）證明：PO⊥平面ABC;

（2）若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.

立體幾何解題的戰(zhàn)略點撥

（1）證明直線與平面垂直時，通常是通過證明直線與平面內的兩條相交直線垂直，而直線與直線垂直的證明可利用勾股定理、等腰三角形的三線合一等知識點來完成. 首先，利用等腰三角形的性質可得PO⊥AC，再利用勾股定理證明PO⊥OB，最后結合線面垂直的判定定理可證得結果. （2）處理空間直線與平面所成角、二面角的問題，通常是利用空間向量來解決. 可根據(jù)（1）中的垂直關系建立空間直角坐標系，設出點M（含有參量）的坐標，再依據(jù)已知條件求得此參數(shù)，最后求解即可.

考生解立體幾何題的方法評析

（1）證明：因為PA=PC=AC=4，所以△PAC是等邊三角形. 又因為O為AC中點，所以PO⊥AC. 在△ABC中，有AB2+BC2=AC2，且AB=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，連接BO，則BO=2. 又易知PO=2 ，則在△POB中，PO2+OB2=PB2=16，所以PO⊥OB.

PO⊥ACPO⊥OBAC∩OB=O？圯PO⊥平面ABC.

立體幾何的第一問被大多數(shù)高中老師看作是送分題，但是在實際的閱卷過程中，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學生第一問沒答出來，原因大都是在將線面垂直定理生搬硬套，而忘記了基本的勾股定理. 這應該引起高中數(shù)學教師在課堂教學中關于知識的系統(tǒng)性問題的反思.

（2）方法一：由（1）可知：AC⊥OB，PO⊥平面ABC，可建立如圖2的空間直角坐標系.

顯然，平面PAC的一個法向量為 =（2，0，0）. 依題意有

A=（0，-2，0），B=（2，0，0），C=（0，2，0），P=（0，0，2 ）， =（0，2，2 ）， =（0，2，-2 ），設點M=（a，2-a，0）（0

設平面PAM的一個法向量為n=（x，y，z）. 由 ·n=0， ·n=0，得2y+2 z=0，ax+（4-a）y=0. 令z=-a，得n=（ （a-4）， a，-a）. 由已知，cos〈 ，n〉= = ，解之得a=-4（舍），a= ，所以n=- ， ，- . 設PC與平面PAM所成角為θ，則sinθ=cos〈 ，n〉= = ，所以PC與平面PAM所成角的正弦值為 .

方法二：建立與方法一相同的空間直角坐標系，設平面PAC的一個法向量為 =（2，0，0）. 依題意有：A=（0，-2，0），B=（2，0，0），C=（0，2，0），P=（0，0，2 ）， =（2，2，0）， =（-2，2，0）， =（0，2， 2 ）， =（0，2，-2 ）.

設 =λ =（-2λ，2λ，0）（0≤λ<1），則 = +λ =（2-2λ，2+2λ，0）.

設平面PAM的一個法向量為n=（x，y，z），由 ·n=0， ·n=0，得2y+2 z=0，（2-2λ）x+（2+2λ）y=0.令z=1，得n= ，- ，1. 由已知，cos〈 ，n〉= = ，解之得λ=3（舍），λ= . 所以n=（2 ，- ，1），

設PC與平面PAM所成角為θ，則sinθ=cos〈 ，n〉= ，所以PC與平面PAM所成角的正弦值為 .

方法一與方法二被學生們尊稱為解立體幾何問題的“萬能鑰匙”，是絕大多數(shù)考生運用的方法，雖然它們看似所設的參量不同，但其本質殊途同歸. 閱卷中出錯的學生主要表現(xiàn)在計算能力弱、空間想象能力差和知識點錯誤. 在教授立體幾何相關知識時，教師應該反思是否曾有的放矢地培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學抽象等能力，讓學生真正做到心有猛虎的同時依然細嗅薔薇.

方法三：建立與方法一相同的空間直角坐標系，設AM與OB相交于點N=（λ，0，0）（0<λ≤2），具體如圖3所示.

依題意有：A=（0，-2，0）， C=（0，2，0），P=（0，0，2 ），則 =（0，2，-2 ）， =（λ，2，0）， =（0，2，2 ），平面PAC的一個法向量為 =（2，0，0）.

設平面PAM的一個法向量為n=（x，y，z），由 ·n=0， ·n=0，

得2y+2 z=0，λx+2y=0. 令z=1，得n= ，- ，1.

由cos〈 ，n〉= = ，解之得λ=-1（舍），λ=1. 所以n=（2 ，- ，1），設PC與平面PAM所成角為θ，則sinθ=cos〈 ，n〉= ，所以PC與平面PAM所成角的正弦值為 .

同樣是設參數(shù)求解問題，能運用方法三解決該問題的學生，體現(xiàn)了其較優(yōu)的空間想象的思維品質. 當點N在坐標軸上時，較之與方法一或方法二，大大地減小了計算的難度，用巧妙的思考置換復雜的運算. 這就要求教師在平時的知識講解中，應適時地點撥學生、引導學生舉一反三并不斷地鍛煉思維能力，畢竟每一堂精彩的數(shù)學課，總能讓學生深深地體會在山重水復之后依舊柳暗花明.

方法四：過點M作MN⊥AC于點N，作EN⊥PA于點E，作CD⊥PA于點D，

連接ME，并建立如圖4所示的空間直角坐標系，有A=（0，-2，0），C=（0，2，0），

P=（0，0，2 ），則 =（0，2，2 ）.

由MN⊥ACPO⊥MNAC∩PO=O？圯MN⊥平面PAC，所以MN⊥PA.

同理有EM⊥PA，所以∠MEN是二面角M-PA-C的平面角，則∠MEN=30°. 設MN=a，有△ANE∽△ACD，則 = ，得 = ，所以EN= . 又因為 =tan30°= ，即EN= MN= a，所以有 a= ，解之得a= ，故M= ， ，0. 設平面PAM的法向量為m=（x，y，z）. 因為m· =0，m· =0，得2y+2 z=0，x+2y=0. 令z=1，得m=（2 ， - ，1），設PC與平面PAM所成角為θ，則sinθ=cos〈 ，m〉= ，所以PC與平面PAM所成角的正弦值為 .

方法四的解法也就是所謂的綜合法，因為綜合法對空間幾何圖形中的點、線、面之間的關系理解程度、作圖能力和空間想象能力要求較高，所以在考場上能運用綜合法并且將題目做得全對的考生寥寥無幾. 這也體現(xiàn)出高中數(shù)學教師對向量法的“趨之若鶩”，而對于綜合法的教授“無人問津”的現(xiàn)象. 但是，綜合法能很好地培養(yǎng)學生的空間想象能力，這應該成為以后的高中數(shù)學老師教學中應當有意識加強的模塊.

方法五：設AM與OB交于點N，過點O作OD⊥PA并交PA于點D，連接DN，具體如圖5所示.

因為ON⊥ACON⊥POAC∩PO=O？圯ON⊥平面PAC，從而ON⊥PA，DN⊥PA.

所以∠ODN是二面角M-PA-C的平面角，故∠ODN=30°.

在等邊△PAC中，易求得OD= ，所以在Rt△ODN中，ON=1.

又因為 =cos30°，解之得S△PAN=4. 設點O到平面PAN的距離為d，則有 ·d·S△PAN= ·PO·S△AON，解之得d= . 取PA的中點為F，則OF∥PC，OF= PC=2. 設PC與平面PAM所成角為θ，所以PC與平面PAM所成角的正弦值為sinθ= = .

方法五是受到了方法三的啟發(fā)，而另辟蹊徑的一種解法. 這是一種相對討巧的綜合解法，它跳脫了向量法的計算和綜合法的繁雜，能運用該方法解決問題的考生，體現(xiàn)了其思維的可貴之處. 閱卷后不難發(fā)現(xiàn)向量法備受學生的鐘愛，這與高中數(shù)學老師的推崇密不可分，這也是高考應試的無奈之舉. 但是，如果想要讓學生能夠做到欲窮千里目，為今后學生的長遠發(fā)展做好鋪墊，恐怕還得要求教師先幫助學生在數(shù)學的大廈里更上一層樓.

方法六：過點C作CD⊥PA并交PA于點D，具體如圖6所示.

因為△PAC為等邊三角形，易得CD=2 . 設點C到平面PAM的距離為d，由二面角M-PA-C為30°，

所以sin30°= = = ，解之得d= . 設PC與平面PAM所成角為θ，

所以PC與平面PAM所成角的正弦值為sinθ= = .

能用方法六解決該問的考生的確值得贊賞，能夠將題目簡明扼要、抽絲剝繭，這是在深刻地理解了二面角的定義基礎上，實現(xiàn)思維上掙脫了常規(guī)的向量法和綜合法的束縛，體現(xiàn)了考生可貴的直觀想象素養(yǎng)和較強的邏輯推理能力，好似會當凌絕頂，回首一覽眾山小.

解立體幾何題的教學反思

立體幾何的考查方式主要是證明和計算，內容主要是垂直、平行關系和角度計算. 解決立體幾何問題的方法主要有綜合法和向量法，二者解決問題的思維路徑如圖7所示：

向量法解立體幾何問題的難點主要在于求法向量，對空間想象、作圖等能力要求不高，這也是備受考生青睞的主要原因. 向量法引入高中有助于學生感受數(shù)與形的聯(lián)系，也是學生以后學習高等代數(shù)等學科的重要紐帶. 綜合法與向量法相比較解決問題要更復雜，但對于訓練學生的直觀想象、數(shù)學抽象素養(yǎng)的效果要更好. 筆者以為，向量法的教授應該在綜合法之后，一方面，學習了幾何的基礎性知識對于學生學好向量法是有鋪墊作用的;另一方面，學生在高一物理學科學習了有關“矢量”的概念之后，對于向量的學習會更具有代入感，也更容易接受.

有一句被很多教師信奉的格言：老師要想給學生一碗水，前提是自己至少得有一桶水. 筆者認為教師應與時俱進，現(xiàn)在也許一桶水已遠遠不夠，學生需要的可能是一車水，抑或是教師秉持終身學習的教育理念，讓自己成為不斷產生活水的源泉.