李賢應(yīng)

[摘 ?要] 高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，借助圖形計(jì)算器可以幫學(xué)生有效地構(gòu)建函數(shù)知識(shí)，理解函數(shù)思想，同時(shí)也可以提升學(xué)生的思維品質(zhì). 圖形計(jì)算器本質(zhì)上是教學(xué)手段的使用，其是要服務(wù)于教師的教，并最終服務(wù)于學(xué)生的學(xué)的.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);圖形計(jì)算器;函數(shù)教學(xué)

圖形計(jì)算器是一種集數(shù)值計(jì)算、函數(shù)圖像顯示、編程、數(shù)據(jù)分析等功能于一身的掌上計(jì)算器. 作為一種新型的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具，它具備符號(hào)代數(shù)系統(tǒng)、幾何操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)等，可以直觀地繪制各種圖形，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示、軌跡跟蹤.很顯然，圖形計(jì)算器可以成為輔助教學(xué)的重要手段，尤其是在高中數(shù)學(xué)中，當(dāng)遇到一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，借助于圖形計(jì)算器來輔助教學(xué)，可以化解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，為學(xué)生的思維發(fā)展提供臺(tái)階. 眾所周知，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)極為重要的內(nèi)容，同時(shí)也是最為復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)之一，函數(shù)幾乎貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，數(shù)、式、方程、不等式、數(shù)列、極限、導(dǎo)數(shù)與微分等內(nèi)容與函數(shù)有密切的聯(lián)系，同時(shí)還滲透到三角、立體幾何、解析幾何中，更有內(nèi)容豐富的函數(shù)實(shí)際應(yīng)用性問題，跨學(xué)科的綜合應(yīng)用是函數(shù)的鮮明特征，所以，學(xué)好函數(shù)知識(shí)是學(xué)好整個(gè)高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 而根據(jù)筆者多年教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，以及從近年來的高考考查來看，函數(shù)知識(shí)的重要性更體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)函數(shù)相關(guān)知識(shí)的深度理解與綜合運(yùn)用上，而這某種程度上恰恰對(duì)學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的構(gòu)建與應(yīng)用提出了更高的要求. 從教學(xué)的角度看，利用圖形計(jì)算器來降低學(xué)生的思維坡度，也是有效的選擇之一.

基于圖形計(jì)算器的基本功能幫學(xué)生構(gòu)建函數(shù)知識(shí)

圖形計(jì)算器的基本功能之一就是函數(shù)功能、圖形功能，使用圖形計(jì)算器能實(shí)現(xiàn)制作圖形、動(dòng)態(tài)演示、跟蹤軌跡等功能. 利用這些基本功能，可以讓學(xué)生在建構(gòu)函數(shù)知識(shí)的時(shí)候跨越許多障礙.

例如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的時(shí)候，常常需要讓學(xué)生作指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的圖像. 如學(xué)指數(shù)函數(shù)的時(shí)候，需要讓學(xué)生作y=2x的圖像，又或者作y= ?的圖像等. 由于這些函數(shù)與簡單的函數(shù)不同，用描點(diǎn)法作圖往往會(huì)出現(xiàn)描點(diǎn)、連線的困難，學(xué)生的注意力大多集中在如何作出圖像上面，通過對(duì)這兩個(gè)圖像的比較去發(fā)現(xiàn)y=ax和y= ?（a>0，且a≠1）的性質(zhì)，而要化解這一矛盾，讓學(xué)生將注意力集中到函數(shù)性質(zhì)的探究上來，就可以借助圖形計(jì)算器（可以是單機(jī)版，也可以是在線圖形計(jì)算器）來生成圖形，并在圖像生成的過程中觀察圖像的形狀，判斷兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系（如圖1），進(jìn)而認(rèn)識(shí)兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì).

很顯然，根據(jù)圖形計(jì)算器生成的圖形，可以發(fā)現(xiàn)y=2x跟y= ?是關(guān)于y軸對(duì)稱的，而這個(gè)時(shí)候?qū)W生自然的猜想就是：y=ax和y= ?（a>0，且a≠1）是不是也是關(guān)于y軸對(duì)稱的. 此時(shí)學(xué)生可以自己通過對(duì)圖形計(jì)算器的處理，同時(shí)生成y=ax和y= ?（a>0，且a≠1）的圖像，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一般結(jié)論. 同時(shí)為了加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解，生成圖像的過程中，還可以通過對(duì)a進(jìn)行不同的賦值，從而去發(fā)現(xiàn)a值對(duì)指數(shù)函數(shù)的影響. 同理，在對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，也可以采用類似的思路.

這樣的教學(xué)的最大價(jià)值在于，學(xué)生所獲得的函數(shù)圖像的信息是準(zhǔn)確的，而用圖形計(jì)算器來生成函數(shù)圖像，實(shí)際上也是讓學(xué)生建立基于更精確的圖像分析得出函數(shù)性質(zhì)的思路. 當(dāng)然，考慮到高中學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的認(rèn)知，教師可以在用圖形計(jì)算器呈現(xiàn)圖形之前先讓學(xué)生在方格紙上自己描點(diǎn)作圖，然后將自己所作的圖形與圖形計(jì)算器生成的圖形進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圖形計(jì)算器在生成函數(shù)圖像方面獨(dú)特的作用，進(jìn)而可以讓學(xué)生自己接納這一圖像生成方式，理解其準(zhǔn)確性與合理性. 這可以保證學(xué)生在理解函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候有形可依，從而讓學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的表象比較準(zhǔn)確，所建立起來的對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解也就比較清晰.

如上所說，函數(shù)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的知識(shí)，在這個(gè)過程中借助圖形計(jì)算器不只是為了提高教學(xué)的效率，更是為了幫學(xué)生形成清晰的圖像表象，及不同函數(shù)圖像之間的關(guān)系（通常就是對(duì)稱等）. 有了這樣的認(rèn)識(shí)，圖像的性質(zhì)的建立過程往往是順利的，所認(rèn)識(shí)到的性質(zhì)往往也不會(huì)顯得過于抽象，這是傳統(tǒng)教學(xué)所不及的.

利用圖形計(jì)算器的動(dòng)態(tài)功能幫學(xué)生體會(huì)函數(shù)思想

圖形計(jì)算器的另一個(gè)基本功能，就是可以給學(xué)生提供動(dòng)態(tài)的畫面，這對(duì)于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)包括圖像在內(nèi)的函數(shù)的性質(zhì)來說，具有其他教學(xué)手段所無法替代的作用. 利用這一功能，讓學(xué)生理解函數(shù)思想及其應(yīng)用，具有不俗的“功效”. 函數(shù)思想的應(yīng)用，就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù). 運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，可以使問題獲得順利的解決.

比如說函數(shù)圖像的變換，可以借助圖形計(jì)算器，讓學(xué)生看到同一類型不同參數(shù)的函數(shù)的圖像之間的關(guān)系，并建立動(dòng)態(tài)表象. 這樣的教學(xué)可以遵循由易及難的思路來進(jìn)行，比如說可以先給學(xué)生提供他們熟悉的簡單函數(shù)的圖像，如反比例函數(shù)f（x）= ，然后變換到f（x+2）與f（x-2）（如圖2）. 然后再給學(xué)生提供更復(fù)雜的圖像，如f（x）=2x以及f（x+2）與f（x-2）（如圖3）.

這樣的變換，對(duì)于學(xué)生來說，就是在眼前有一個(gè)清晰的一組圖像可供加工，且圖像的生成過程如果設(shè)置成動(dòng)態(tài)的，那學(xué)生就可以在觀察動(dòng)態(tài)圖像生成過程中，感悟到函數(shù)隨著自變量的變化而變化的關(guān)系，從而理解某一具體函數(shù)的變化趨勢. 然后在此基礎(chǔ)上再生成不同參數(shù)的其他圖像，則就可以順利地在大腦中完成圖像的變換，這種變換的過程，就是動(dòng)態(tài)的圖像形成的過程，也是學(xué)生對(duì)同一類型、不同參數(shù)的函數(shù)關(guān)系的更生動(dòng)、形象的認(rèn)識(shí)形成的過程.

在這個(gè)過程中，學(xué)生對(duì)函數(shù)的思想的理解是比較深刻且有效的. 尤其是其中的動(dòng)態(tài)變化觀念的形成，是其他教學(xué)手段難以起到作用的. 在實(shí)際教學(xué)中，利用圖形計(jì)算器幫學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)思想，還可以采用一個(gè)小的教學(xué)技巧，那就是在使用圖形計(jì)算器之前，先讓學(xué)生自己猜想、探究參數(shù)變化之后可能的圖像是什么樣的，猜想得越細(xì)致越好，既可以猜想圖像的形狀，也可以猜想?yún)?shù)變化之后與原圖像的間隔大小等，然后再用圖形計(jì)算器生成準(zhǔn)確的圖像，以讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比. 這個(gè)對(duì)比的過程，其實(shí)就是強(qiáng)化學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)知的過程，這些細(xì)節(jié)方面感覺越準(zhǔn)，那學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的理解也就越準(zhǔn)確.

利用圖形計(jì)算器的計(jì)算功能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)

圖形計(jì)算器的最大功能就是過程形象、結(jié)果直觀. 從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，這樣的特點(diǎn)是可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)的.

眾所周知，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)作為支撐，而學(xué)習(xí)品質(zhì)的形成往往來自學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維加工過程. 也就是說，有什么樣的思維加工過程，就有什么樣的學(xué)習(xí)品質(zhì).利用圖形計(jì)算器，學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中，思維加工的對(duì)象更準(zhǔn)確，思維空間也更大. 上面所舉的例子中，學(xué)生不僅能夠看到直觀的函數(shù)圖像，還能在這些函數(shù)圖像生成之前、生成過程中、生成之后有充分的想象空間，而有了猜想的過程，學(xué)生就自然地會(huì)將自己的猜想結(jié)果與圖形計(jì)算器生成的圖像進(jìn)行比較，然后進(jìn)行自我評(píng)價(jià). 不要小瞧這個(gè)自我評(píng)價(jià)過程，其是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中完善自身思維方式、提升思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要環(huán)節(jié). 只有學(xué)生有明顯的自我評(píng)價(jià)意識(shí)并進(jìn)行有效的自我評(píng)價(jià)，他們才能在不知不覺當(dāng)中有完善自身學(xué)習(xí)品質(zhì)的潛意識(shí).

總的來說，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用圖形計(jì)算器，一個(gè)重要的思路就是要將圖形計(jì)算器這一軟件的使用視作教學(xué)手段的使用，而教學(xué)手段又是要服務(wù)于教師的教，進(jìn)而服務(wù)于學(xué)生的學(xué)的. 而服務(wù)于學(xué)生的學(xué)的最后指向，其實(shí)就是學(xué)生的思維品質(zhì)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì). 我們認(rèn)為，只有指向?qū)W習(xí)品質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)，才是有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，只有指向?qū)W習(xí)品質(zhì)的提升，也才是包括圖形計(jì)算器在內(nèi)的一切教學(xué)手段使用的最終目標(biāo).從這個(gè)角度講，圖形計(jì)算器在函數(shù)教學(xué)中的最大價(jià)值，就在于讓學(xué)生在明晰思維對(duì)象與思維過程中，明白了函數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)面向哪些客觀具體的圖像，明白了不同圖像之間存在的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而將不同函數(shù)知識(shí)更好地組織在一起形成一個(gè)大的知識(shí)組塊，強(qiáng)化了記憶，增強(qiáng)了理解，促進(jìn)了認(rèn)知，提升了品質(zhì).