許少華

函數(shù)與導數(shù)是永恒的高考熱點，看看2019年全國（1）卷數(shù)學題，其中，客觀性試題4道20分，主觀性試題一道12分，共32分.這五道題中高、中、低檔一應俱全、應有盡有.再看看全國（2）卷、（3）卷及其它省市的試卷，那一份不是如此？可以說，函數(shù)與導數(shù)是全國范圍內(nèi)任何一位考生都無法逃避的內(nèi)容，要想真正在高考中取得好成績，這一內(nèi)容必須過關(guān). 那么我們在進行高考復習時，從哪些方面入手就有可能獲得較為理想的效果呢？本文和你慢慢聊一下.

一、圖像類問題

面對函數(shù)的解析式，從已知圖像中選出與已知函數(shù)較為相符的圖像是此類試題的重要特征，請看：

例1 （1）函數(shù)f（x）=■的圖像大致是（ ?????）

（2）函數(shù)y=■在[-6， 6]的圖像大致為（ ?????）

（3）如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x. 將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大致為（ ?????）

解析 （1）B.該函數(shù)為奇函數(shù)，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，故排除選項A中的圖像;當x>0時，ex-e-x，f（x） > 0，故排除選項D中的圖像;取特殊值，當x=1時，e-■>2，而不接近函數(shù)值1，故排除選項C中的圖像.

（2）B. 由y= f（x） = ■在[-6， 6]，知f（-x） = ■=■=-f（x），

∴ f（x）是[-6， 6]上的奇函數(shù)，因此排除C;又f（4）=■>7，因此排除A，D.

（3）B. 由已知得，當點P在BC邊上運動時，即0≤x≤■時，PA+PB=■+tanx;當點P在CD邊上運動時，即■≤x≤■，x≠■時， PA+PB=■+■，當x=■時，PA+PB=2■;當點P在AD邊上運動時，即■≤x≤？仔 時，PA+PB=■-tanx，從點P的運動過程可以看出，軌跡關(guān)于直線x=■對稱，且f（■）>f（■），且軌跡非線型，故選B.

點評 建立在解析式的基礎(chǔ)上尋找圖像問題，往往較為靈活，處理方法：由粗變細. 往往先看奇偶性，然后，再看圖像中的特殊點、單調(diào)性等，在看單調(diào)性時，不排除利用導數(shù).本例中的第（3）題，難度明顯要大一點，它必須要求先產(chǎn)生解析式，再尋找圖像.

跟蹤練習1.（1）函數(shù)y=-x4+x2+2的圖像大致為（ ??????）

（2）函數(shù)y=2x2-e|x| 在[-2， 2]的圖像大致為（ ??????）

答案 （1）D. 當x=0時，y=2，可以排除A、B選項;又因為y′=-4x3+2x=-4x（x+■）（x-■），則 f′（x）>0的解集為（-∞， ?-■）∪（0， ■），f（x） 單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞， -■），（0， ■）;f′（x）<0的解集為（-■， 0）∪（■， +∞），f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（-■， 0），（■， +∞）. 結(jié)合圖像，可知D選項正確.

（2）B. f（2）=8-e2=8-2.82>0，排除A;f（2）=8-e2<8-2.72<1，排除B;

當x>0時，f（x）=2x2-ex，f′（x）=4x-ex，當x∈（0， ■）時，

f′（x） <■×4-e0=0.

因此，f（x）在（0， ■） 單調(diào)遞減，排除C，故選D.

二、函數(shù)性質(zhì)類問題

結(jié)合函數(shù)性質(zhì)設(shè)計試題隨處可見，這些題的結(jié)合點與聯(lián)系點往往較為豐富，試題形式也多彩多樣.

例2 （1）已知f（x）是定義域為（-∞， +∞）的奇函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x）. 若f（1）=2，則f（1） + f（2） + f（3） + …+f（50）=

（ ????）

A. -50 ??????????B. 0 ??????????C. 2 ??????????D. 50

（2）已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=2-f（x），若函數(shù)y=■與y=f（x）圖像的交點為（x1， y1）， （x2， y2），…，（xm， ym），則■（xi ， yi）=（ ????）

A. 0 ??????????B. m ??????????C. 2m ??????????D. 4m

（3）設(shè)函數(shù)f（x）=■（a<0）的定義域為D，若所有點（s， f（t）） （s， t∈D）構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則a的值為

（ ????）

A. -2 ????????B. -4 ????????C. -8 ????????D. 不能確定

解析 （1）C. 因為函數(shù)f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，f（1-x） =f（1+x），所以f（0）=0，T=4，由題意可知：f（4）=f（2）=f（0）=0，f（3） =-f（1）=-2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0所以2≡50mod4，所以f（1）+f（2）+f（3） + … + f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2.

（2）B. 由f（x）=2-f（x）得f（x）關(guān)于（0， 1）對稱，而y=■=1+■ 也關(guān)于（0， 1）對稱，∴對于每一組對稱點xi+xi′=0，yi+yi′=2，∴ ■（xi +yi）=■xi +■yi =0+2·■=m.

（3）B. 由 |x1-x2|=fmax（x），■=■，|a|=2■，a=-4.

點評 這三道題很精干、很優(yōu)美，它們的聯(lián)系也很廣泛，可以看出，這類試題沒有基本模式、沒有規(guī)范，隨機性很大，因此，想讓它難度有多大，完全在命題操作之中.

跟蹤練習2.（1）函數(shù)y=■的圖像與函數(shù)y=2sin ？仔x，（-2≤x≤4）的圖像所有交點的橫坐標之和等于（ ????）

A. 2 ??????????B. 4 ??????????C. 6 ??????????D. 8

（2）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+1）=2f（x），且當x∈（0， 1]時，f（x）=x（x-1）. 若對任意x∈（-∞， m]，都有f（x）> -■，則m的取值范圍是（ ????）

A. （-∞， ■] ????B. （-∞， ■] ????C. （-∞， ■] ????D. （-∞， ■]

答案 （1）D. 函數(shù)y=■的對稱中心是（1， 0），同時也是y=2sin ？仔x（-2≤x≤4）的中心，-2≤x≤4他們的圖像在x=1的左側(cè)有4個交點，則x=1右側(cè)必有4個交點. 不妨把他們的橫坐標由小到大設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，則x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，故選D .

（2）B. 由f（x+1）=2f（x）及x∈（0， 1]時，f（x）=x（x-1）∈[-■， 0]可知，當x<0時，f（x）>-■恒成立.

當x∈（1， 2]時，f（x）=2（x-1）（x-2）∈[-■， 0]，此時f（x）> -■恒成立.

當x∈（2， 3]時，f（x）=4（x-2）（x-3）∈[-1， 0]，此時由4（x-2）（x-3）=-■得x=■或x=■，于是m≤■.

三、大小比較問題

大小比較問題一直都存在于各級各類考試的試卷之中，而這是一類容易被人們忽視之題，其實，大小比較對基本函數(shù)性質(zhì)的考查力度相當大，它應用的隱藏性與靈活性也是其它試題難以比擬的.

例3 （1）設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（ ????）

A. 2x<3y<5z ???B. 5z<2x<3y ???C. 3y<5z<2x ???D. 3y<2x<5z

（2）若a>b>1，0

A. ac

解析 （1）取對數(shù)：x ln 2= y ln 3= z ln 5. ■=■>■，∴ 2x>3y，x ln 2= z ln 5，則■=■<■，∴ 2x<5z，∴ 3y<2x<5z，故選D.

（2）C. 由于0b>1？圳acb>1？圳ac-1

要比較a log b c和b log a c，只需比較■和■，只需比較■和■，只需b ln b 和a ln a.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=x ln x （x>1），則f′（x）=ln x+1>1>0，f（x）在（1， +∞）上單調(diào)遞增，因此f（a）>f（b）>0？圳a ln a>b ln b>0？圳■<■，又由0

∴ ■<■？圳 a log b c

要比較log a c和log b c，只需比較■和■，而函數(shù)y= lnx 在（1， +∞）上單調(diào)遞增，故a>b>1？圳ln a>ln b>0？圳■<■. 又由0■？圳log a c>log b c，D錯誤.

點評 可以看出大小比較并非一定是基礎(chǔ)題或簡單題，有的難度明顯較大. 對于本例中的第（2）題也可以取特殊值，比如令a=3，b=2，c=■直接代入分析，過程會簡單很多.

跟蹤練習3.（1）設(shè)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（ ????）

A. f（log 3 ■）>f（2■）>f（2■）

B. f（log 3 ■）>f（2■）>f（2■）

C. f（2■）>f（2■）>f（log 3 ■）

D. f（2■）>f（2■）>f（log 3 ■）

（2）設(shè)a=log 0.2 0.3，b=log 2 0.3，則（ ????）

A. a+b

（3）設(shè)a=log 3 6，b=log 5 10，c=log 7 14，則（ ????）

A. c>b>a ??????B. b>c>a ??????C. a>c>b ??????D. a>b>c

答案 （1）C. 因為f（x）是偶函數(shù)，所以 f（log 3 ■）= f（log 3 4），因為2■<2■<1f（2■）>f（log 3 ■）.

（2）B. ?∵ a= log 0.2 0.3，b= log 2 0.3，∴ ■= log 0.3 0.2，■=

log 0.3 2，

∴ ■+■=log 0.3 0.4，∴ 0<■+■<1即0<■<1.

又∵ a>0，b<0，∴ ab

（3）D. 根據(jù)公式變形，a=■=1+■，b=■=1+■，c=■=1+■. 因為lg 7>lg 5>lg 3，所以■<■<■，即c

四、借助導數(shù)處理函數(shù)性質(zhì)問題

在客觀性試題中設(shè)計導數(shù)在函數(shù)中的應用問題非常常見，此類題往往難度較大，無論是試題結(jié)構(gòu)還是試題類型都很漂亮，值得研究與欣賞.

例4 （1）若函數(shù)f（x）=（cos x-sin x）（cos x+sin x）+3a（sin x -cos x）+（2a+1）x 在上（-■， 0）單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（ ????）

A. [-1， ■] ????B. [-1， ■] ????C. [-1， ■] ????D. [-■， 1]

（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）<0，則a的取值范圍是（ ????）

A. [-■， 1） ????B. [-■， ■） ????C. [■， ■） ????D. [■， 1）

（3）已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍為（ ????）

A. （2， +∞） ???B. （-∞， -2） ???C. （1， +∞） ???D. （-∞， -1）

解析 （1）D. 由于f′（x）=-2sin2x+3a（cos x+sin x）+2a+1.

=-2（cos x+sin x）2+3a（cos x+sin x）+2a+3≥0恒成立.

由于cos x+sin x=■sin（x+■），因為x∈（-■， 0），得-1 ≤cos x+sin x≤1.

令g（t）=-2t+3at+2a+3（-1≤ t ≤1），欲使g（t）≥0恒成立，只需g（-1）≥0，g（1）≥0，即-2（-1）2+3a×（-1）+2a+3≥0，-2+3a+2a+3≥0？圯-5≤a≤1.

（2）設(shè)g（x）=ex（2x-1），y=ax-a，由題意，存在唯一的整數(shù)x0，使得g（x0）在直線y=ax-a的下方. 因為g′（x）=ex（2x+1），所以當x<-■時，g′（x）<0，當x>-■時，g′（x）>0，所以當x=-■時， [g（x）]min=-2e■，當x=0時，g（0）=-1，g（1）=e>0，直線y=ax-a恒過（1， 0）斜率且a，故-a>g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1>-a-a，解得■≤a<1，故選D.

（3）由已知a≠0，f（x）=ax3-3x2+1有唯一的正零點，等價于a=3·■-■有唯一的正零根. 令t=■，則問題又等價于a=-t3+3t有唯一的正零根，即y=a與y=-t3+3t有唯一的交點且交點在在y軸右側(cè)記f（t）=-t3+3t，f′（t）=-3t2+3. 由f′（t）=0，t= ±1，t∈（-∞， -1），f′（t）<0;t∈（-1， 1），f′（t）>0;t∈（1， +∞），f′（t）<0，要使a=-t3+3t有唯一的正零根，只需a

選B.

點評 做一做這些“小題”，確實會感覺這些試題的構(gòu)造相當巧妙，不一定很難，但每一道題都十分靈活、從分析到求解都有可圈可點之處，都是不可多得的好題.

跟蹤練習4. （1）已知函數(shù)f（x）=ln ?x+x2+x. 正實數(shù)x1， x2滿足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，則下述結(jié)論中正確的一項是（ ????）

A. x1+x2≥■ ??????B. x1+x2<■

C. x1+x2≥■ ??????D. x1+x2<■

（2）已知平行于x軸的直線分別交兩曲線y=e2x+1與y=■于A，B，則 |AB| 的最小值為（ ????）

A. ■ ?????B. ■ ?????C. ■ ?????D. ■

（3）若函數(shù)f（x）=（x2-ax+a）ex-x2（a∈R）在x=0處取得極小值，則a的范圍為（ ????）

A. a≥1 ???????B. a>0 ???????C. a<0 ???????D. a≤0

答案 （1）A. 設(shè)g（x）=x-ln x （x>0），g′（x）=1-■=■，

易知g（x）在（0， 1）上單調(diào)遞減，在（1， +∞）上單調(diào)遞增，故g（x）min =f（1）=1.

由f（x1）+f（x2）+x1x2=0得ln x1 +x1 2+ln x2+x2 2+x1+x2=0，

∴ （x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2）. 由于g（x）≥1，從而x1x2-ln（x1x2）≥1，

∴ （x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥■.

（2）A. 由■？圯x1=■（ln a-1），而x2滿足a=■？圯x2=■（a2+1），

|AB|=x2-x1=■（a2+1）-■（ln a-1）.

令f（a）=■（a2+1）-■（ln a-1）？圯f′（a）=■=

■.

易得當a=■時，|AB|min =f（■）=■.

（3）. 由f′（x）= xex（x+2-■-a），令f′（x）=0得x=0或x+2-■-a=0.

令g（x）=x+2-■即x=0或g（x）=a.

由于g（x）在（-∞， +∞）上單調(diào)遞增，且值域為R，故存在唯一零點x0，使得g（x0）=0.

①若x0>0，則x∈（-∞， 0）時，g（x） < a，此時，f′（x）>0;當x∈（0， x0）時，g（x） < a，此時，f′（x）<0. 因此，f（x）在x=0處取得極大值，與題意不符.

②若x0=0，f（x）在x=0處不取極值，與題意不符.

③若x0<0，則x∈（x0， 0）時，g（x） > a，此時，f′（x）<0;當x∈（0， +∞）時，g（x） > a，此時，f′（x）>0. 因此，f（x）在x=0處取得極小值.

綜上，知x0<0，于是a=g（x0）

故a的范圍為a<0，選C.

責任編輯 ??徐國堅