尚甜甜
【摘要】縱觀近些年來的高考題,正、余弦定理并不是單一地出現在高考題中,而是和函數、向量、三角形等結合起來,本文主要探究它和三角形面積結合出現的兩種題型.
【關鍵詞】正弦定理;余弦定理;三角形面積公式
一、已知邊長和角度求三角形面積問題
例1 (2014·全國)已知a,b,c分別是△ABC的對應邊,a=2,且(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,求△ABC面積的最大值是多少.
分析 三角形的面積公式:S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,分析已知條件知道:要想求出面積,必須從已知條件推出另外一條邊的長度和一個角的正弦值,而要求三角形面積的最大值,很明顯看出與均值不等式有關.
解 ∵(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,∴(a+b)(a-b)=(c-b)c即:a2=b2+c2-bc,又∵a=2,由均值不等式可以得到bc≤4,當且僅當b=c時等式成立.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=12.又∵sin2A+cos2A=1,∠A為三角形的內角,∴sinA=32,∴Smax=12bcsinA=3.
反思 在知道一條邊的長度時要運用三角函數的誘導公式、正余弦定理來進行邊化角、角化邊來得到我們想要的條件,那如果已知的是三角形的一個角我們怎么來計算呢?是不是和已知邊的算法一樣呢?接下來我們來看:
例2 (2014·山東)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=3,cosA=63,B=A+π2.求:(1)b的值;(2)△ABC的面積.
分析 在解決第二問的時候,通常要用到第一問的結論為已知條件來解決第二問.
解 (1)由正弦定理很容易解得b=32.
(2)∵sinC=sin(A+B),∴asinA=csinC=csin(A+B),
又∵sinC=13,∴c=3,
∴S=12bcsinA=12·32·3·33=322.
(在求這個三角形面積的時候,重點是要注意隱藏條件:三角形的內角和是180度,所以sinC=sin(A+B))
總結 對比例1和例2我們知道:要求三角形的面積,需要用誘導公式、正余弦定理來進行邊化角、角化邊來得到想要的條件.邊角轉化一般有兩個途徑:一個是已知邊用正弦定理來化為角;另一個是已知角用余弦定理來化為邊;在選用三角形面積公式的時候,知道哪個角或者哪個角好求出來就用哪個公式.
二、已知面積求邊長、角度和周長
例3 (2017·全國)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為a23sinA求:(1)sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.
分析 當已知的面積里有二次項的時候,通常要對其進行降次處理,然后選擇合適的面積公式;要求三角形的邊長,即要化角為邊,在已知條件很少的時候,要恰當地運用第一問的結論.
解 (1)很容易解得:sinBsinC=23.
(2)∵6cosBcosC-sinBsinC=1-23,
∴cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.
又∵∠B,∠C為三角形內角,∴∠B+∠C=2π3,
∴∠A=π3.
又∵12bcsinA=a23sinA,其中a=3,解得bc=8,①
∴由a2=b2+c2-12bccosA,得b2+c2-bc=9.②
結合①②可得b+c=33,
∴三角形的周長C=a+b+c=3+33.
反思 在求周長的時候,我們運用了設而不求,整體代換來求得最后的答案,設而不求是解三角形周長常用的方法,那如果我們要求三角形的邊長呢?我們可以用這個方法嗎?求邊長和求周長之間有聯系嗎?下面我們來看例4:
例4 △ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.
(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.
分析 要求邊長,已知三角形的面積,運用三角形面積公式,還要把第一問的答案當作已知條件來運用.
解 (1)進行降冪處理后易得出:cosB=1517.
(2)由(1)知cosB=1517,所以sinB=817,
∴S=12acsinB=417ac=2,∴ac=172.
又∵b2=a2+c2-2accosB,
∴b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),得b=2.
(在解答過程中,我們也用了設而不求的方法,把ac和a+c當成一個整體代入余弦定理中,從而算出b的值)
總結 在求三角形的邊長或周長的時候都用到了設而不求、整體代換的方法;先用面積公式算出兩邊長的乘積,再運用余弦定理算出這兩條邊的和,再運用條件和已知結論求得結果.
【參考文獻】
[1]張一.正、余弦定理在解決三角形問題中的應用[J].教育教學論壇,2010(17):76-77.
[2]代潤達.與三角形面積有關的最值問題的求解策略[J].傳播力研究,2018(3):113-115.