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        正、 余弦定理與三角形面積結(jié)合的兩種題型

        2019-11-30 13:09:33尚甜甜
        關(guān)鍵詞:正弦定理余弦定理

        尚甜甜

        【摘要】縱觀近些年來(lái)的高考題,正、余弦定理并不是單一地出現(xiàn)在高考題中,而是和函數(shù)、向量、三角形等結(jié)合起來(lái),本文主要探究它和三角形面積結(jié)合出現(xiàn)的兩種題型.

        【關(guān)鍵詞】正弦定理;余弦定理;三角形面積公式

        一、已知邊長(zhǎng)和角度求三角形面積問(wèn)題

        例1 (2014·全國(guó))已知a,b,c分別是△ABC的對(duì)應(yīng)邊,a=2,且(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,求△ABC面積的最大值是多少.

        分析 三角形的面積公式:S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,分析已知條件知道:要想求出面積,必須從已知條件推出另外一條邊的長(zhǎng)度和一個(gè)角的正弦值,而要求三角形面積的最大值,很明顯看出與均值不等式有關(guān).

        解 ∵(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,∴(a+b)(a-b)=(c-b)c即:a2=b2+c2-bc,又∵a=2,由均值不等式可以得到bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等式成立.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=12.又∵sin2A+cos2A=1,∠A為三角形的內(nèi)角,∴sinA=32,∴Smax=12bcsinA=3.

        反思 在知道一條邊的長(zhǎng)度時(shí)要運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正余弦定理來(lái)進(jìn)行邊化角、角化邊來(lái)得到我們想要的條件,那如果已知的是三角形的一個(gè)角我們?cè)趺磥?lái)計(jì)算呢?是不是和已知邊的算法一樣呢?接下來(lái)我們來(lái)看:

        例2 (2014·山東)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=3,cosA=63,B=A+π2.求:(1)b的值;(2)△ABC的面積.

        分析 在解決第二問(wèn)的時(shí)候,通常要用到第一問(wèn)的結(jié)論為已知條件來(lái)解決第二問(wèn).

        解 (1)由正弦定理很容易解得b=32.

        (2)∵sinC=sin(A+B),∴asinA=csinC=csin(A+B),

        又∵sinC=13,∴c=3,

        ∴S=12bcsinA=12·32·3·33=322.

        (在求這個(gè)三角形面積的時(shí)候,重點(diǎn)是要注意隱藏條件:三角形的內(nèi)角和是180度,所以sinC=sin(A+B))

        總結(jié) 對(duì)比例1和例2我們知道:要求三角形的面積,需要用誘導(dǎo)公式、正余弦定理來(lái)進(jìn)行邊化角、角化邊來(lái)得到想要的條件.邊角轉(zhuǎn)化一般有兩個(gè)途徑:一個(gè)是已知邊用正弦定理來(lái)化為角;另一個(gè)是已知角用余弦定理來(lái)化為邊;在選用三角形面積公式的時(shí)候,知道哪個(gè)角或者哪個(gè)角好求出來(lái)就用哪個(gè)公式.

        二、已知面積求邊長(zhǎng)、角度和周長(zhǎng)

        例3 (2017·全國(guó))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為a23sinA求:(1)sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).

        分析 當(dāng)已知的面積里有二次項(xiàng)的時(shí)候,通常要對(duì)其進(jìn)行降次處理,然后選擇合適的面積公式;要求三角形的邊長(zhǎng),即要化角為邊,在已知條件很少的時(shí)候,要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用第一問(wèn)的結(jié)論.

        解 (1)很容易解得:sinBsinC=23.

        (2)∵6cosBcosC-sinBsinC=1-23,

        ∴cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.

        又∵∠B,∠C為三角形內(nèi)角,∴∠B+∠C=2π3,

        ∴∠A=π3.

        又∵12bcsinA=a23sinA,其中a=3,解得bc=8,①

        ∴由a2=b2+c2-12bccosA,得b2+c2-bc=9.②

        結(jié)合①②可得b+c=33,

        ∴三角形的周長(zhǎng)C=a+b+c=3+33.

        反思 在求周長(zhǎng)的時(shí)候,我們運(yùn)用了設(shè)而不求,整體代換來(lái)求得最后的答案,設(shè)而不求是解三角形周長(zhǎng)常用的方法,那如果我們要求三角形的邊長(zhǎng)呢?我們可以用這個(gè)方法嗎?求邊長(zhǎng)和求周長(zhǎng)之間有聯(lián)系嗎?下面我們來(lái)看例4:

        例4 △ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.

        (1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.

        分析 要求邊長(zhǎng),已知三角形的面積,運(yùn)用三角形面積公式,還要把第一問(wèn)的答案當(dāng)作已知條件來(lái)運(yùn)用.

        解 (1)進(jìn)行降冪處理后易得出:cosB=1517.

        (2)由(1)知cosB=1517,所以sinB=817,

        ∴S=12acsinB=417ac=2,∴ac=172.

        又∵b2=a2+c2-2accosB,

        ∴b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),得b=2.

        (在解答過(guò)程中,我們也用了設(shè)而不求的方法,把a(bǔ)c和a+c當(dāng)成一個(gè)整體代入余弦定理中,從而算出b的值)

        總結(jié) 在求三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的時(shí)候都用到了設(shè)而不求、整體代換的方法;先用面積公式算出兩邊長(zhǎng)的乘積,再運(yùn)用余弦定理算出這兩條邊的和,再運(yùn)用條件和已知結(jié)論求得結(jié)果.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]張一.正、余弦定理在解決三角形問(wèn)題中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇,2010(17):76-77.

        [2]代潤(rùn)達(dá).與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題的求解策略[J].傳播力研究,2018(3):113-115.

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