黃海燕

圓錐曲線(xiàn)與方程的內(nèi)容，主要是在直線(xiàn)和圓的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)與方程，了解圓錐曲線(xiàn)與二次方程的關(guān)系，掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.

一、教材中內(nèi)容特點(diǎn)

（一）明確解析幾何的基本思想方法

突出用方程研究曲線(xiàn)，用代數(shù)方法研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì);強(qiáng)調(diào)解析幾何解決問(wèn)題的程序性和普適性;自始至終貫穿曲線(xiàn)與方程、方程與曲線(xiàn)的關(guān)系.

（二）抓住軌跡問(wèn)題的本質(zhì)，建立軌跡的方程

軌跡是由動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的曲線(xiàn)（或幾何圖形），其特點(diǎn)是，動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，始終有保持不變的量，由此我們可以建立軌跡的方程.通過(guò)軌跡的方程，研究軌跡的幾何性質(zhì).橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)等圓錐曲線(xiàn)都是動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，保持某種“距離”不變.

（三）實(shí)例豐富，注重實(shí)際背景和應(yīng)用

實(shí)際上，圓錐曲線(xiàn)很早就與人類(lèi)生產(chǎn)、生活以及科研有著緊密的聯(lián)系.在章引言中，說(shuō)明三種圓錐曲線(xiàn)都是用不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐面得到的.改變截面與圓錐軸線(xiàn)的夾角，可以得到橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn).這種引入，目的是使學(xué)生了解“圓錐曲線(xiàn)”名稱(chēng)的由來(lái).另外在教材的正文中，還多次提到行星運(yùn)行軌道、發(fā)電廠(chǎng)冷卻塔的外形、拋物運(yùn)動(dòng)軌跡、探照燈的鏡面等等.在教材的拓展性欄目中，還安排了“探究與發(fā)現(xiàn)：為什么截口曲線(xiàn)是橢圓”“閱讀與思考：圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”（這些內(nèi)容非常有趣，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以給出嚴(yán)格的證明）等.安排大量的實(shí)例，注重實(shí)際背景和應(yīng)用的目的是讓學(xué)生感受圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用.

二、教學(xué)中主要方法

（一）引導(dǎo)學(xué)生自主探索

介紹三種圓錐曲線(xiàn)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索.如通過(guò)觀(guān)察橢圓的形狀，引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示距離，建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這種呈現(xiàn)方式，意在突出知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探索，既動(dòng)手又動(dòng)腦，獲得體驗(yàn).在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，把具體直觀(guān)的圖形“橢圓”抽象形式化（代數(shù)化）為“方程”，形成理性認(rèn)識(shí).雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的幾何特征雖然與橢圓不同，但其引入和標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，都是與橢圓相類(lèi)比展開(kāi)的.

（二）注意代數(shù)方法與幾何直觀(guān)相結(jié)合

在三種圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的研究中，從直觀(guān)入手，用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)，注意代數(shù)方法與幾何直觀(guān)相結(jié)合.如對(duì)橢圓離心率的研究，首先從直觀(guān)入手，讓學(xué)生觀(guān)察兩組扁平程度不一的橢圓，提出問(wèn)題“用什么量刻畫(huà)橢圓的扁平程度呢？”再讓學(xué)生思考，然后給出橢圓離心率的定義.這種方式，首先使學(xué)生對(duì)離心率有一個(gè)直觀(guān)的印象，然后對(duì)離心率的概念有更加深入的認(rèn)識(shí).這種處理方式可以從不同的角度，用不同的量刻畫(huà)橢圓的扁平程度.類(lèi)比橢圓離心率的概念，對(duì)雙曲線(xiàn)離心率的研究，我們首先直接給出雙曲線(xiàn)離心率的概念，然后提出問(wèn)題“橢圓的離心率可以刻畫(huà)橢圓的扁平程度，雙曲線(xiàn)的離心率刻畫(huà)雙曲線(xiàn)的什么幾何特征？”，讓學(xué)生思考.結(jié)合幾何直觀(guān)，以及a，c兩個(gè)量，可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線(xiàn)的離心率可以用來(lái)刻畫(huà)雙曲線(xiàn)“張口”的大小.

（三）幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性

加強(qiáng)不同知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系性，從不同角度看待同一數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生體會(huì)曲線(xiàn)與方程和函數(shù)與圖像之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)的整體性.曲線(xiàn)與方程、函數(shù)與圖像是兩類(lèi)不同的研究對(duì)象，它們之間有一定的聯(lián)系，也存在一定的區(qū)別.首先，方程、函數(shù)的外延和內(nèi)涵不盡相同.從外延來(lái)講，方程的概念很寬泛，函數(shù)的解析式都可以表示為方程的形式;從內(nèi)涵來(lái)說(shuō)，函數(shù)的內(nèi)涵非常豐富，方程不一定是函數(shù).

（四）重視信息技術(shù)工具的作用

信息技術(shù)工具在解析幾何的學(xué)習(xí)中有較大的支持作用，發(fā)揮的空間也較廣闊.在教材中，安排了很多“信息技術(shù)應(yīng)用”的內(nèi)容.如利用信息技術(shù)工具向?qū)W生演示平面截圓錐的過(guò)程，通過(guò)改變截面與圓錐軸線(xiàn)的夾角，得出不同的圓錐曲線(xiàn).信息技術(shù)工具的使用可以加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)的直觀(guān)認(rèn)識(shí).運(yùn)用信息技術(shù)工具的“運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中保持幾何關(guān)系不變”的特點(diǎn)，非常容易探索動(dòng)點(diǎn)軌跡的形狀.一方面，信息技術(shù)工具為我們創(chuàng)造了一個(gè)實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想的環(huán)境，在動(dòng)態(tài)演示中，觀(guān)察軌跡形成的原因、軌跡的形狀，發(fā)現(xiàn)結(jié)論、形成猜想;另一方面，當(dāng)我們求出軌跡的方程后，可以用信息技術(shù)工具幫助我們進(jìn)行直觀(guān)驗(yàn)證軌跡的形狀，加深對(duì)方程所表示的曲線(xiàn)形狀的理解.

總之，圓錐曲線(xiàn)與方程的內(nèi)容十分重要，在教學(xué)中需要我們仔細(xì)研究，認(rèn)真講解，加強(qiáng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生很好地掌握這部分內(nèi)容.