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        圓錐曲線中的一類有關(guān)切線的問題

        2018-02-03 06:16:46陳華
        考試周刊 2017年79期
        關(guān)鍵詞:圓錐曲線切線數(shù)學(xué)

        摘 要:新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容,給解析幾何增加了新穎的題型,圓錐曲線中與切線有關(guān)的問題在高考中也頻繁出現(xiàn),對圓錐曲線的一類切線問題進(jìn)行探索,體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一性和和諧性。

        關(guān)鍵詞:圓錐曲線;切線;數(shù)學(xué)

        在高中數(shù)學(xué)中,解析幾何所涉及的數(shù)學(xué)知識多,數(shù)學(xué)思想豐富,計(jì)算量大而成為高考得分率偏低的主要原因。如何對解析幾何的學(xué)習(xí)形成有效的措施,是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的師生不可回避的問題。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容,給解析幾何增加了新穎的題型,圓錐曲線中與切線有關(guān)的問題在高考中也頻繁出現(xiàn)。本文主要對高考中出現(xiàn)的有關(guān)圓錐曲線的切線的問題探討本人的一點(diǎn)認(rèn)識。

        一、 知識回顧

        (一) 過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程

        1. 過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程:

        xx0+yy0=r2

        2. 設(shè)P(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2=1上的點(diǎn),則過該點(diǎn)的切線方程為:

        xx0a2+yy0b2=1

        3. 設(shè)P(x0,y0)為雙曲線x2a2-y2b2=1上的點(diǎn),則過該點(diǎn)的切線方程為:

        xx0a2-yy0b2=1

        4. 設(shè)P(x0,y0)為拋物線y2=2px上的點(diǎn),則過該點(diǎn)的切線方程為:

        yy0=p(x+x0)

        (二) 圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程

        1. 設(shè)P(x0,y0)為圓x2+y2=r2外一點(diǎn),則切點(diǎn)弦的方程為:

        xx0+yy0=r2

        2. 設(shè)P(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2=1外一點(diǎn),過該點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B則弦AB的方程為:

        xx0a2+yy0b2=1

        3. 過P(x0,y0)為雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條作兩條切線,則切點(diǎn)弦方程為:

        xx0a2-yy0b2=1

        4. 設(shè)P(x0,y0)為拋物線y2=2px開口外一點(diǎn),則切點(diǎn)弦的方程為:

        yy0=p(x+x0)

        對切線方程和切點(diǎn)弦方程的推導(dǎo)可用隱函數(shù)求導(dǎo)或用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等方法推理,在此不再累述。

        例1 過橢圓C:x24+y2=1的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)為A、B.求證:直線AB恒過一定點(diǎn)。

        【解】(1)設(shè)M-(434)(t∈R),A(x1,y1),B(x2,y2),則AM的方程為x1x4+y1y=1

        ∵點(diǎn)M在MA上 ∴33x1+ty1=1① 同理可得33x2+ty2=1②

        由①②知AB的方程為33x+ty=1,即x=3(1-ty)③

        易知右焦點(diǎn)F(3,0)滿足③式,故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F(3,0)。

        二、 類比推理

        1. 已知拋物線y2=2py的焦點(diǎn)為F,A,B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且AF=λFB(λ>0),過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,則FM⊥AB,并且點(diǎn)M在準(zhǔn)線上。

        2. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦點(diǎn)為F2,A,B為橢圓的兩動(dòng)點(diǎn),且AF2=λF2B(λ>0),過A,B兩點(diǎn)分別作橢圓的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,則F2M⊥AB,并且點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上。

        3. 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)右焦點(diǎn)為F2,A,B為雙曲線的兩動(dòng)點(diǎn),且AF2=λF2B(λ>0),過A,B兩點(diǎn)分別作雙曲線右支的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M,則F2M⊥AB,并且點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上。

        由此,我們可以得出,過圓錐曲線的焦點(diǎn)F,任作一直線,與曲線交于AB兩點(diǎn),曲線在這兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為M,則M在這焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線上,且FM⊥AB。

        作者簡介:

        陳華,福建省南平市光澤二中。endprint

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