李清華 葛君琰

摘 ?要：“新工科”建設(shè)旨在培養(yǎng)多元化、創(chuàng)新型卓越工程人才，線性代數(shù)是培養(yǎng)工程人才的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。文章介紹了“新工科”背景下線性代數(shù)教育教學(xué)現(xiàn)狀，在分析大學(xué)生學(xué)習(xí)心理以及教學(xué)范式改革的基礎(chǔ)上，針對(duì)培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，提出將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)的現(xiàn)代教育理念和實(shí)踐路徑，并列舉了創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的案例。

關(guān)鍵詞：新工科;心理認(rèn)知;數(shù)學(xué)建模思想;線性代數(shù)

作者簡(jiǎn)介：李清華，煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)槟：負(fù)鋵W(xué)、模糊凸結(jié)構(gòu)等;葛君琰，煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)生。（山東 煙臺(tái) 264000）

基金項(xiàng)目：本文系煙臺(tái)大學(xué)2017年度教改項(xiàng)目“在應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的研究與探析”（編號(hào)：jyxm2017001）和2018年度山東省本科教改重點(diǎn)項(xiàng)目“新工科背景下線性代數(shù)教學(xué)改革的研究與實(shí)踐”（編號(hào)：Z2018S049）的研究成果。

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1671-0568（2019）24-0036-04

一、“新工科”建設(shè)及線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀分析

“新工科”是基于國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，高等教育迎來(lái)新挑戰(zhàn)而提出的教育改革新方向，其目標(biāo)是培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力、高素質(zhì)的適應(yīng)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的卓越工程人才?！靶鹿た啤苯ㄔO(shè)要求提高教育教學(xué)質(zhì)量，并提出新的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，即工程人才培養(yǎng)質(zhì)量要面向未來(lái)。新工科必須通過人才培養(yǎng)理念的升華、體制機(jī)制的改革以及培養(yǎng)模式的創(chuàng)新應(yīng)對(duì)現(xiàn)代社會(huì)的快速變化和未來(lái)不確定的變革挑戰(zhàn)。[1]

作為“新工科”建設(shè)的重要內(nèi)容，線性代數(shù)課程作為普通高校理工、經(jīng)濟(jì)和管理等專業(yè)的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)必修課，對(duì)數(shù)學(xué)文化的普及、學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)等具有不可替代的作用。隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，線性代數(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用到金融、經(jīng)濟(jì)、信息等領(lǐng)域。

受傳統(tǒng)教學(xué)習(xí)慣的影響，目前線性代數(shù)課程主要圍繞知識(shí)信息的傳授，對(duì)理論背后思想及其實(shí)際背景意義講授較少。對(duì)于課時(shí)少、抽象難懂的線性代數(shù)教學(xué)而言，如何通過改進(jìn)教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生能夠輕松接受所學(xué)內(nèi)容，并且能夠運(yùn)用其解決實(shí)際問題，為新工科建設(shè)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)顯得尤為重要。

二、基于學(xué)習(xí)心理需求的教學(xué)模式改革

社會(huì)越來(lái)越關(guān)注教育質(zhì)量，大學(xué)生學(xué)習(xí)行為的投入與學(xué)業(yè)成就息息相關(guān)，大學(xué)生學(xué)習(xí)心理是影響其學(xué)習(xí)的主要因素之一。大學(xué)生學(xué)習(xí)心理是指大學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中受各種內(nèi)在與外在的、智力與非智力因素影響或刺激而形成的心理反應(yīng)。探究大學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力、改善教學(xué)方法具有重要作用。

當(dāng)前大學(xué)生學(xué)習(xí)方面出現(xiàn)了一些困擾問題，體現(xiàn)出復(fù)雜性、矛盾性、變化性、消極性的特點(diǎn)，主要表現(xiàn)在以下方面：①缺乏學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，學(xué)習(xí)目的不明確。學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)過于功利化，只停留在滿足愿望的層面。學(xué)習(xí)內(nèi)容多關(guān)于社會(huì)實(shí)惠性、功利性方面，只是為了考試而學(xué)習(xí)，仍傾向于應(yīng)試教育。②缺乏學(xué)習(xí)興趣，對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容最多只能應(yīng)付考試，并不能將其應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中。③學(xué)習(xí)內(nèi)容浮淺，缺乏自學(xué)能力。受應(yīng)試教育的影響，學(xué)生一味地等待教師灌輸知識(shí)，缺乏自己動(dòng)手探索新知識(shí)的精神。[2]

新工科背景下以培養(yǎng)人才為目的的線性代數(shù)教學(xué)改革，通俗而言是教學(xué)范式的根本轉(zhuǎn)型，即從“知識(shí)傳遞型”教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸R(shí)建構(gòu)型”教學(xué)。作為一種行為主義教學(xué)觀的“知識(shí)傳遞型”教學(xué)，知識(shí)主要靠練習(xí)獲得，教師的作用主要是傳遞知識(shí)，學(xué)生只是程序性地獲得知識(shí)，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)主要靠外部強(qiáng)化;“知識(shí)建構(gòu)型”教學(xué)是一種認(rèn)知主義教學(xué)觀，習(xí)得知識(shí)主要靠自主建構(gòu)，學(xué)生要結(jié)合自身已掌握知識(shí)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)框架來(lái)獲取新知識(shí)，教師的作用轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)。在科技發(fā)達(dá)、信息量巨大的當(dāng)下，教育方式必須轉(zhuǎn)變，才能適應(yīng)新工科背景下應(yīng)用型人才培養(yǎng)的新要求。因此，在新工科背景下，結(jié)合大學(xué)生的學(xué)習(xí)心理認(rèn)知，將數(shù)學(xué)建模新思想融入線性代數(shù)中具有很強(qiáng)的實(shí)際意義。

三、數(shù)學(xué)建模思想與線性代數(shù)教學(xué)融合路徑

理論聯(lián)系實(shí)際，知識(shí)緊扣應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模不僅使學(xué)生掌握抽象的代數(shù)知識(shí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析、解決問題的能力，兩者的融合可從以下三個(gè)路徑開展：

1.結(jié)合實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。線性代數(shù)本質(zhì)是實(shí)際問題抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，要想增強(qiáng)對(duì)這門課的理解就需要適當(dāng)?shù)鼗貧w到實(shí)際問題中，厘清每個(gè)概念定理的背景，自然而然地引入每個(gè)知識(shí)點(diǎn)。引入最新科技前沿的案例，引導(dǎo)學(xué)生挖掘線性代數(shù)的豐富內(nèi)涵，讓學(xué)生體會(huì)到線性代數(shù)的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的實(shí)踐應(yīng)用能力。如在講解矩陣的乘法時(shí)，可以結(jié)合圖像的變換。隨著電子科技的不斷發(fā)展，圖形的幾何變換應(yīng)用在動(dòng)畫片制作、仿真模擬設(shè)計(jì)、電子游戲開發(fā)等諸多領(lǐng)域，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等都能由矩陣實(shí)現(xiàn)，這能夠讓學(xué)生很好地理解矩陣乘法概念及其在實(shí)際生活中的用處;再如講授矩陣的逆時(shí)，教師可以結(jié)合密碼的編譯，說明矩陣的破譯過程就是求逆的過程，讓學(xué)生深刻掌握這一概念。

2.通過模型建立，引入理論知識(shí)。在線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，促進(jìn)理論知識(shí)與實(shí)際問題的結(jié)合，利用講解一道數(shù)學(xué)建模問題引出所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，更加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的印象與理解。例如，可以通過網(wǎng)絡(luò)流模型引出線性方程組求解問題的講解。在交通、電力、運(yùn)輸、通訊、城市規(guī)劃、任務(wù)分配以及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等諸多領(lǐng)域，網(wǎng)絡(luò)流模型得到廣泛應(yīng)用，給工程問題的解決帶來(lái)諸多便利，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)由一個(gè)點(diǎn)集以及連接部分或全部點(diǎn)的直線或弧線構(gòu)成，大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流模型中的方程組包含數(shù)百個(gè)線性方程，要確定每一分支的流量就是解線性方程組，利用矩陣的一些特性，自然而然地引入線性方程組的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

3.加強(qiáng)建模訓(xùn)練，培養(yǎng)動(dòng)手能力。僅僅通過教師的講解，學(xué)生可能只是一時(shí)豁然開朗，并不能自己去解決實(shí)際問題，還需多加訓(xùn)練。因此，課后作業(yè)可以不再只布置一些與考試有關(guān)的內(nèi)容，而應(yīng)增加學(xué)生自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，布置一些貼近生活實(shí)際的問題，讓學(xué)生自主動(dòng)手動(dòng)腦研究思考，課上交流心得收獲，并鼓勵(lì)學(xué)生充分利用現(xiàn)代科技軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析研究，最終達(dá)到學(xué)生思維活躍敏捷、動(dòng)手能力強(qiáng)的效果。

四、“新工科”背景下線性代數(shù)教學(xué)案例

數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)是利用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問題，即將問題簡(jiǎn)化，根據(jù)簡(jiǎn)化后的問題尋找基本規(guī)律，在對(duì)客觀規(guī)律進(jìn)行分析后，通過表象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力。以應(yīng)用實(shí)例來(lái)說明。

1.數(shù)學(xué)建模思想在矩陣計(jì)算方面的應(yīng)用。計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)快速發(fā)展，信息化以及網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)化已經(jīng)是大勢(shì)所趨。上網(wǎng)者主要靠搜索引擎獲取信息，獲得滿意結(jié)果的背后主要是PageRank算法在起作用，PageRank算法的搜索結(jié)果主要按照網(wǎng)頁(yè)的重要性來(lái)排序，可以通過網(wǎng)頁(yè)的投票數(shù)這一概念來(lái)界定網(wǎng)頁(yè)的重要性，網(wǎng)頁(yè)投票數(shù)可以理解為網(wǎng)頁(yè)的鏈接數(shù)。PageRank的核心思想是：①若某一網(wǎng)頁(yè)的投票數(shù)即鏈接網(wǎng)頁(yè)多就說明這個(gè)網(wǎng)頁(yè)相對(duì)重要，即PageRank值較高;②網(wǎng)頁(yè)的pagerank值會(huì)隨著鏈接到其他網(wǎng)頁(yè)的pagerank值大小變化而變化。簡(jiǎn)而言之，通過PageRank可以大體計(jì)算上網(wǎng)者在各個(gè)網(wǎng)頁(yè)上的概率，上網(wǎng)者先隨機(jī)打開一個(gè)網(wǎng)頁(yè)，然后在網(wǎng)頁(yè)上的跳轉(zhuǎn)滿足隨機(jī)性?，F(xiàn)假定網(wǎng)頁(yè)鏈接是一個(gè)有向圖，網(wǎng)頁(yè)是結(jié)點(diǎn)，網(wǎng)頁(yè)間的鏈接用箭頭表示，如圖1所示：

求上網(wǎng)者最終在網(wǎng)頁(yè)1，2，3，4上的概率。

（1）模型假設(shè)。

①假設(shè)可訪問網(wǎng)頁(yè)總數(shù)為[n]，網(wǎng)頁(yè)[W]能鏈接到[m]個(gè)網(wǎng)頁(yè)，網(wǎng)絡(luò)鏈接矩陣定義為[P=pij∈Rn×n]，其中

[Pij=1m，若網(wǎng)頁(yè)j有一鏈接跳轉(zhuǎn)到網(wǎng)頁(yè)i0，否則（i，j=1，2，3，4）]

②假設(shè)網(wǎng)頁(yè)W的投票數(shù)越多，則網(wǎng)頁(yè)W越重要;

③假設(shè)指向網(wǎng)頁(yè)W的質(zhì)量越高，則W越重要。

（2）模型建立：

本例中含有4個(gè)網(wǎng)頁(yè)，假設(shè)上網(wǎng)者目前在瀏覽網(wǎng)頁(yè)1，則此上網(wǎng)者分別有[13]的概率鏈接到網(wǎng)頁(yè)2，3，4，其中[13]中的分母3表示網(wǎng)頁(yè)1可鏈接到其他3個(gè)網(wǎng)頁(yè)，即若一個(gè)網(wǎng)頁(yè)能連接到m個(gè)網(wǎng)頁(yè)，則隨機(jī)轉(zhuǎn)到其他任一網(wǎng)頁(yè)的概率為[1m]，其他網(wǎng)頁(yè)的跳轉(zhuǎn)概率也可由此方法得到，由此可得上圖對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣為：

[P=0 ?12 ?1 ?013 ?0 ?0 ?1213 ?0 ?0 ?1213 12 ?0 ?0]

（3）模型求解。

初始時(shí)上網(wǎng)者在每一網(wǎng)頁(yè)的概率假設(shè)相等即為[1n]，所以最開始的概率分布為所有值都為[1n]的n維列向量，此例中列向量[Q0=14141414]，則可通過公式[Q1=PQ0]得到跳轉(zhuǎn)一次后的概率分布向量[Q1]：

[Q1=PQ0=][0 ?12 ?1 ?013 ?0 ?0 ?1213 ?0 ?0 ?1213 12 ?0 ?0][14141414]=[924524524524]

可見[Pij≠0]表示有一鏈接從網(wǎng)頁(yè)j指向網(wǎng)頁(yè)i，則[q11]表示所有網(wǎng)頁(yè)到網(wǎng)頁(yè)1的概率為[924];以此類推，可以求出跳轉(zhuǎn)任意次的概率分布向量，當(dāng)跳轉(zhuǎn)無(wú)窮次時(shí)[Q]會(huì)收斂，即[Qn=PQn-1]，通過不停地迭代，最終可以得到

[Q=][39292929]

即最終上網(wǎng)者停留在網(wǎng)頁(yè)1的概率為[39]，在網(wǎng)頁(yè)2，3，4的概率為[29]。

此例講解的是最簡(jiǎn)單的PageRank模型，讓學(xué)生初步了解了搜索引擎背后的原理，在今后的學(xué)習(xí)中能夠知道所學(xué)習(xí)的矩陣的用處，靈活運(yùn)用理論知識(shí)。PageRank算法還可運(yùn)用在城市交通軌道站點(diǎn)選址、基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)等問題中，可提高選址的準(zhǔn)確性與有效性。

2.數(shù)學(xué)建模思想在逆矩陣方面的應(yīng)用。在科技發(fā)達(dá)、信息技術(shù)不斷發(fā)展的今天，信息安全問題時(shí)有發(fā)生，保密通信工作提上日程，保密通信模型是實(shí)現(xiàn)信息安全的一種有效方法。矩陣是線性代數(shù)課程中的重要內(nèi)容，是工科中常用的有效工具，其在保密通信模型中有著突出貢獻(xiàn)。下面主要介紹融入數(shù)學(xué)建模思想的可逆矩陣加密技術(shù)。[3]

（1）保密通信數(shù)學(xué)模型。保密通信模型的兩個(gè)重要組成部分是發(fā)送方的明文串和接收方的密文串，加密信息傳輸過程主要包括發(fā)送方將需要傳輸?shù)男畔⑼ㄟ^某種自定義算法轉(zhuǎn)換成密文發(fā)送給接收方，經(jīng)過相應(yīng)的算法，接收方再將接收到的密文轉(zhuǎn)換為明文信息。簡(jiǎn)要的通信技術(shù)模型如圖2：

顯然要使信息傳輸有效，密文串必須能被翻譯成明文串。假設(shè)明文串?dāng)?shù)據(jù)接收方未知為X，密文矩陣為A，有方程[A=BX]，可見[B]為發(fā)送方向接收方傳送信息的加密矩陣，若[B]可逆方程組有唯一解，[B-1]為接收方的解密矩陣，這樣接收方就可通過[X=B-1A]獲得明文信息。又由矩陣的乘法可知，要想求出結(jié)果，左邊矩陣的列數(shù)必須等于右邊矩陣的行數(shù)，所以在設(shè)計(jì)加密矩陣[B]時(shí)應(yīng)注意此規(guī)則。

（2）保密通信數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用案例。在某次機(jī)密談判中，假設(shè)甲方需將明文good加密發(fā)出，可將26個(gè)英文字母分別與數(shù)字1-26一一對(duì)應(yīng)，并且雙方假定加密矩陣為：[B=1 ?21 ?1]。

甲方要發(fā)出去的明文轉(zhuǎn)換為代碼分別為7，15，15，4，根據(jù)矩陣乘法原則及加密矩陣的階數(shù)，確定明文矩陣為[X= 7 ?1515 ? 4]，再根據(jù)矩陣方程[A=BX]，得密文矩陣[A]：

[A=BX=1 ?21 ?2 7 ?1515 ? 4=37 ?2322 ?19]，

也就是最終明文信息以數(shù)字代碼37，22，25，19發(fā)出。

當(dāng)乙方收到密文矩陣時(shí)，可以利用雙方協(xié)定好的加密矩陣[B-1=-1 ? 2 1 ?-1]獲取有用信息明文矩陣[X]：

[X=B-1A=-1 ? 2 1 ?-137 ?2322 ?19=7 ?1515 ?4]

將明文矩陣代碼轉(zhuǎn)換為英文即為good，乙方在不失信息安全的情況下獲得了雙方約定的有用信息。

而此處又有

[AB-1=37 ?2322 ?19-1 ? 2 1 ?-1=14 ?51-3 25]

此密文串無(wú)法轉(zhuǎn)換成原來(lái)的明文串good，也就說明[B-1A]與[AB-1]的表達(dá)意義并不一樣。

通過以上保密通信數(shù)學(xué)模型的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固了矩陣乘法的運(yùn)用，又學(xué)到了有關(guān)矩陣的逆的相關(guān)概念;同時(shí)有[AB-1≠AB-1]，可以讓學(xué)生清晰地掌握求解矩陣方程組時(shí)要注意是左乘還是右乘，以及矩陣的乘法不滿足交換律。在滿足學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，結(jié)合現(xiàn)代社會(huì)需求，讓學(xué)生通過一個(gè)模型掌握了線性代數(shù)中多個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)。

基于培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力，將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的改革，順應(yīng)“新工科”建設(shè)培養(yǎng)創(chuàng)新型、應(yīng)用型高素質(zhì)人才的訴求。本研究結(jié)合大學(xué)生學(xué)習(xí)心理的研究，給出了符合時(shí)代發(fā)展要求的創(chuàng)新型案例，旨在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，讓學(xué)生能夠真正運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決現(xiàn)實(shí)問題，養(yǎng)成良好的分析問題、解決問題的習(xí)慣，使工科學(xué)生能夠得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決自己學(xué)科領(lǐng)域的問題。本文中給出的案例也只是基礎(chǔ)性的，在線性代數(shù)課程中融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)改革仍處在探索階段，還需要更加深入的實(shí)踐研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鐘登華.新工科建設(shè)的內(nèi)涵與行動(dòng)[J].高等工程教育研究，2017，（3）：1-6.

[2] 杜允.大學(xué)生學(xué)習(xí)心理研究述評(píng)[J].南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，11（11）：101-103+107.

[3] 張新文，王佳.基于可逆矩陣加密技術(shù)的保密通信數(shù)學(xué)模型[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，42（2）：166-170.

責(zé)任編輯 ?陳 ?佩