杭靜

[摘 ?要] “高觀點(diǎn)”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，不是將高等數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)下移，而是用高觀點(diǎn)思想、方法、知識(shí)、思維統(tǒng)領(lǐng)、駕馭、關(guān)聯(lián)學(xué)生的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 只有從高觀點(diǎn)視角來(lái)理解、認(rèn)識(shí)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)才能居高臨下、深入淺出. “高觀點(diǎn)”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出勃勃生機(jī)和新的景象.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);高觀點(diǎn);數(shù)學(xué)教學(xué)

所謂“高觀點(diǎn)”是指用高等數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想和方法來(lái)分析、解決初等數(shù)學(xué)（中小學(xué)數(shù)學(xué)）知識(shí). “高觀點(diǎn)”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，不是將高等數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)下移，而重點(diǎn)是“用通俗易懂的語(yǔ)言向?qū)W生介紹或適當(dāng)補(bǔ)充一些與高等數(shù)學(xué)相關(guān)的思想、方法等” . 只有從較高視角來(lái)理解、認(rèn)識(shí)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)才能居高臨下、深入淺出. 這其中，最為常用的教學(xué)方法就是滲透、植入、嵌入和融入.

滲透“高觀點(diǎn)”思想，改變初中數(shù)學(xué)教學(xué)觀念

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因深刻地指出，許多初等數(shù)學(xué)知識(shí)，只有放置到高等數(shù)學(xué)視角下，才能得到較為合理、較為科學(xué)的理解. 滲透高觀點(diǎn)思想，是高觀點(diǎn)視角下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)涵.

比如，化歸思想是初中數(shù)學(xué)的一種高階思想. 在化歸思想下，解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題有許多具體的方法. 這些方法，一般都能將未知化為已知、將陌生化為熟悉，因而都受化歸思想的統(tǒng)攝. 比如教學(xué)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像這一部分內(nèi)容，教師可以從學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，切入學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”. 針對(duì)學(xué)生已學(xué)的三個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)——“y=ax2”“y=ax2+c”“y=a（x-b）2”入手，通過(guò)類比法、數(shù)形結(jié)合法等，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，逐步推出函數(shù)“y=a（x-b）2+c”這一新教學(xué)內(nèi)容. 可以將“y=ax2”的函數(shù)圖像沿著y軸向上或者向下平移若干個(gè)單位，再向左或向右平移若干個(gè)單位，得到“y=a（x-b）2+c”圖像. 如此，教師運(yùn)用學(xué)生所熟悉的知識(shí)，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí). 這個(gè)過(guò)程，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，既讓學(xué)生理解了數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，更讓學(xué)生洞察了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián). 在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)生自己展開(kāi)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)，自己進(jìn)行理性的計(jì)算. 在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想牽引學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生主動(dòng)地類比、將數(shù)與形結(jié)合思考. 用數(shù)學(xué)的思想牽引、指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)煥發(fā)出生命的活力，學(xué)生能深刻理解、把握數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì).

植入“高觀點(diǎn)”方法，豐富初中數(shù)學(xué)教學(xué)形式

“高觀點(diǎn)”思想下的方法，是具有統(tǒng)攝作用的方法，其運(yùn)用性強(qiáng)、組織性高，具有再生性、生長(zhǎng)性等特性. 從學(xué)生學(xué)習(xí)視角看，“高觀點(diǎn)”視角下的數(shù)學(xué)方法，具有一種活性以及知識(shí)的繁殖性. 換言之，數(shù)學(xué)方法是貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的，是貫穿于不同的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)之中的.

以類比方法為例，所謂“類比”，是指根據(jù)兩個(gè)或者兩類對(duì)象之間某些相同或相似屬性，推導(dǎo)、推演出它們?cè)谄渌矫嬉泊嬖谥承┫嗤蛳嗨茖傩? 類比，是一種重要的數(shù)學(xué)思考方法，它是合情推理的一種. 比如學(xué)生學(xué)習(xí)“一元一次不等式的解法”可以類比“一元一次方程的解法”，因?yàn)樗鼈兌家?jīng)過(guò)“去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)”等過(guò)程，都是將未知項(xiàng)的系數(shù)化為1;比如分?jǐn)?shù)加減法可以類比分式加減法，因?yàn)閿?shù)與式具有一種通性，都是借助于基本性質(zhì)、通分、約分、四則運(yùn)算等展開(kāi);再比如，學(xué)生學(xué)習(xí)“圓與圓的位置關(guān)系”可以類比“直線與圓的位置關(guān)系”，學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)可以類比一次函數(shù)，等等. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，植入數(shù)學(xué)方法，能夠豐富初中數(shù)學(xué)教學(xué)形式. 從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)視角來(lái)看，方法猶如一個(gè)綱，綱舉目張;方法猶如一個(gè)支點(diǎn)，抓住方法，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都可以被撬動(dòng);方法是一個(gè)連心鎖，能夠賦予學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的力量.

作為數(shù)學(xué)教師，只有站在高觀點(diǎn)視角下運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)組織數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，才能將復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以一種生動(dòng)的、直觀的形象呈現(xiàn)在學(xué)生面前. 只有站在方法的制高點(diǎn)上，才能有效地駕馭數(shù)學(xué)教學(xué)，從而達(dá)到舉一反三的高效教學(xué)目的.

嵌入“高觀點(diǎn)”知識(shí)，豐盈初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

初中數(shù)學(xué)教材中的幾何、函數(shù)、概率等內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)乃至于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中同樣會(huì)出現(xiàn). 當(dāng)然，其中知識(shí)的深淺、難易、抽象度、概括性等是不同的. 作為教師，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以相機(jī)嵌入一些“高觀點(diǎn)”數(shù)學(xué)知識(shí)，豐盈初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容. 高觀點(diǎn)知識(shí)，能夠統(tǒng)領(lǐng)初等數(shù)學(xué)知識(shí)，能激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲，從而能夠改變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)、機(jī)械模仿的學(xué)習(xí)樣態(tài).

比如教學(xué)“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”“二次函數(shù)”等知識(shí)內(nèi)容時(shí)，教師可以滲透函數(shù)發(fā)展史的知識(shí). 通過(guò)函數(shù)發(fā)展史，讓學(xué)生明晰函數(shù)概念誕生的來(lái)龍去脈，從而洞察函數(shù)的本質(zhì). 應(yīng)該說(shuō)，函數(shù)思想史是一種高觀點(diǎn)知識(shí)，因?yàn)槠渲猩婕皩W(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)、微積分等知識(shí). 但對(duì)函數(shù)發(fā)展史、函數(shù)知識(shí)背景的認(rèn)知，能讓學(xué)生體認(rèn)到函數(shù)知識(shí)的文化價(jià)值. 函數(shù)源于力學(xué)的應(yīng)用訴求，其中涉及了行星運(yùn)行軌道的原理等知識(shí). 當(dāng)微積分建立的時(shí)候，還沒(méi)有采用函數(shù)的概念，牛頓運(yùn)用的是“流量”，萊布尼茲首次使用“函數(shù)”的概念表示冪. 在微積分經(jīng)歷了兩百多年的錘煉、變革后，逐步形成了函數(shù)的概念. 這樣的高觀點(diǎn)知識(shí)的嵌入，不僅讓學(xué)生了解了函數(shù)的發(fā)展史，還讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，初中函數(shù)的學(xué)習(xí)是非常重要的，許多高等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)都必須運(yùn)用函數(shù)知識(shí)，從而增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的自覺(jué)性、能動(dòng)性. 這種嵌入高觀點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)，改變了教師以往僅限于初等知識(shí)層面實(shí)施教學(xué)的機(jī)械模式，彰顯了數(shù)學(xué)知識(shí)的連續(xù)性、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性的法則. 當(dāng)然，在這個(gè)過(guò)程中，教師不能揠苗助長(zhǎng)，拔高知識(shí)教學(xué)要求，而是可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生了解，從而起到開(kāi)闊學(xué)生數(shù)學(xué)視野的作用. 高觀點(diǎn)知識(shí)的適度嵌入，提高了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率.

融入“高觀點(diǎn)”思維，簡(jiǎn)化初中數(shù)學(xué)解題思路

“高”者，超出常態(tài)也. “高觀點(diǎn)”視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，比如融入高觀點(diǎn)思維，能簡(jiǎn)化初中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決思路. 高觀點(diǎn)思維，能讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)深入淺出，將最為復(fù)雜的知識(shí)用淺顯的、明白的方式表征出來(lái).

比如對(duì)于這樣的問(wèn)題——“滿足‘SSA的兩個(gè)鈍角三角形全等嗎”，有教師認(rèn)為，這個(gè)判斷需要具體地分清楚這個(gè)三角形是怎樣的三角形，如果兩個(gè)三角形都是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，那么就可以判定兩個(gè)三角形全等. 其實(shí)，如果我們從高觀點(diǎn)思維看，通過(guò)正弦定理就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)三角形都是鈍角三角形，并且只有當(dāng)“兩個(gè)鈍角三角形中的兩個(gè)鈍角相等，并且兩個(gè)鈍角所對(duì)邊以及另一個(gè)對(duì)邊也相等時(shí)，這兩個(gè)鈍角三角形才會(huì)全等”. 而更一般的表述是：三角形中的兩組邊以及兩組邊中的較大的邊所對(duì)的角相等，這兩個(gè)三角形才會(huì)全等. 作為教師，可以通過(guò)高中數(shù)學(xué)知識(shí)，將這一過(guò)程詳細(xì)地證明. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫圖探究的方式，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知. 正如德國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家克萊因所說(shuō)：“理解初等數(shù)學(xué)知識(shí)，只有采用高觀點(diǎn)思維，事情才會(huì)變得簡(jiǎn)單而明了. ”

“高觀點(diǎn)”視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，要站在學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)相關(guān)聯(lián)的視角，滲透思想、植入方法、嵌入知識(shí)、融入思維. 從而能夠讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)現(xiàn)知識(shí)與思想的統(tǒng)一，文化與精神的和諧. 如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定會(huì)呈現(xiàn)出勃勃生機(jī)和新的景象.