摘要：數(shù)學(xué)是一門神秘又重要的學(xué)科，它在自然界中發(fā)揮了無(wú)與倫比的作用，所以對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)好數(shù)學(xué)是我們一項(xiàng)極為重要的任務(wù)。不僅僅是為了升學(xué)考試，更是為了體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力。下面，就讓我們來(lái)探討一下數(shù)學(xué)中的一種思想方法：化歸思想。

關(guān)鍵詞：化歸思想;數(shù)學(xué)教學(xué);規(guī)律

化歸思想，顧名思義就是將各種數(shù)學(xué)符號(hào)不斷變換而形成的思想。它主要應(yīng)用在函數(shù)解題中，也會(huì)應(yīng)用于處理實(shí)際問(wèn)題。它的主要目的就是尋求規(guī)律。讓我們來(lái)看一道十分經(jīng)典的例題。

問(wèn)題背景：x（0

由第一人開(kāi)始，輪流說(shuō)出方案，而這個(gè)方案通過(guò)需要半數(shù)及以上的人支持，否則，此人會(huì)被殺死。再由第二個(gè)人說(shuō)方案，以此類推，原則是：①盡可能得到多的鉆石;②把前面的人殺死。如果①與②沖突就選擇①，如果你是第一個(gè)人，你會(huì)怎么樣分才可以獲得最多鉆石？通過(guò)研究獲得了以下數(shù)列：而且對(duì)于x個(gè)海盜（0≦x≦y）分y個(gè)鉆石同樣適用，數(shù)列變?yōu)椋?/p>

100

100 ?0

99 ?0 ?1

99 ?0 ?1 ?0

98 ?0 ?1 ?0 ?1

98 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0

97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0

96 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

96 ?0 ?1 ? 0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0

95 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

95 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0

：

：

：

可見(jiàn)，如果繼續(xù)寫(xiě)下去，僅需將上面的0變?yōu)?或1變?yōu)?即可

y

y ? 0

y-1 ?0 ? 1

y-1 ? 0 ? 1 ? 0

y-2 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1

y-2 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0

：

：

在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)我們認(rèn)識(shí)到一種函數(shù)為周期函數(shù)，它具有這樣的特性：

f（x+T）=f（x）

那么如果出現(xiàn)f（x+a）=f（x+b）呢？如何解決本題？

我們可以將x替換為（x-b），那么該表達(dá)式即為f（x+a-b）=f（x），即（a-b）為f（x）的周期，有f（x+a）=-f（x）①

則-f（x+a）= f（x）②

將①中的x替換為（x+a），①中f（x+a）→f（x+2a）

即為f（x+2a）=-f（x+a）③

聯(lián)立②③可解得f（x）=f（x+2a）T=2a

而在上文的海盜分贓問(wèn)題中，如果將規(guī)則改為奇數(shù)位的海盜希望獲得利益，偶數(shù)位的海盜希望排除異己，即殺死排在前面的海盜，然后獲得最大利益，第一個(gè)海盜將如何做才會(huì)獲得最大利益？

毫無(wú)疑問(wèn)，第一行 100

而第二行：（因?yàn)榘霐?shù)以上通過(guò)即可，沒(méi)有必要分）100 ?0 從第三行開(kāi)始，情況有所不同，因?yàn)榕旁谧詈笠晃坏暮１I無(wú)論想要得到什么，都沒(méi)有選擇的余地，而如果按正常思路來(lái)，他撈不到任何好處，而如果給他分1個(gè)鉆石，他會(huì)支持，而偶數(shù)位的海盜不必分任何數(shù)目的鉆石都會(huì)想殺掉第一個(gè)，所以這就可以假設(shè)第一個(gè)人被殺死，第二個(gè)人（當(dāng)然為了獲取最大利益）該怎么分，就可以使用上一次的分法推斷，這邊利用了數(shù)學(xué)中化歸的思想。

100

100 ?0

99 ?0 ?1

99 ?0 ?0 ?1

98 ?0 ?1 ?0 ?1

98 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1

97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1

96 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

96 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1

95 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

95 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1

94 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

具體來(lái)說(shuō)，化歸也就是一種尋求規(guī)律的行為，在數(shù)學(xué)中，特別是競(jìng)賽以及高難度題目上，尋求規(guī)律是一種常用又高效的方法。

補(bǔ)：解本題的推理假設(shè)方式，令第一個(gè)人給自己分配鉆石為t

t

t ?0

（99 ?0 ?1）←t（100 ?0）

（99 ?0 ?0 ?1）←t（99 ?0 ?1）

（98 ?0 ?1 ?0 ?1）←t（99 ? 0 ?0 ?1）

（98 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1）←t（98 ? 0 ?1 ?0 ?1）

（97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1）←t（98 ?0 ?1 ?0 ?0 ?0）

根據(jù)這個(gè)三角形思維導(dǎo)圖，我們便可以假設(shè)出人數(shù)為n時(shí)，第一個(gè)人如果死后，第二個(gè)人便會(huì)以第一個(gè)人在人數(shù)為（n-1）時(shí)的方法，找到無(wú)法獲取鉆石的人，給予1個(gè)鉆石即可。

很明顯，在無(wú)論兩種規(guī)則中，100-0的次數(shù)每個(gè)數(shù)字均為兩次，我們可以將規(guī)則變換后的三角數(shù)列拆分開(kāi)來(lái)，會(huì)發(fā)現(xiàn)后一部分幾乎是無(wú)關(guān)量，而前一部分與第一個(gè)規(guī)則所產(chǎn)生的數(shù)列十分相似，這就足以證明化歸代換在數(shù)學(xué)中的重要性了。當(dāng)然，本人在數(shù)學(xué)方面的造詣仍需提高，在這兩個(gè)數(shù)列以及化歸思想有很多理解不當(dāng)或不夠深入之處，還請(qǐng)各位讀者諒解。人們總會(huì)從一個(gè)個(gè)實(shí)際問(wèn)題中聯(lián)想到數(shù)學(xué)，并從中發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造各種理論，這也是數(shù)學(xué)的魅力之所在，她用自己偉大的力量證明了規(guī)律的存在，并帶給人們以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的喜悅與充實(shí)。相信在不久的將來(lái)，數(shù)學(xué)一定會(huì)帶領(lǐng)人類不斷進(jìn)步，我國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)也將會(huì)為科技強(qiáng)國(guó)的宏偉藍(lán)圖埋下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而真理的浩瀚海洋還正在等著我們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn)！

作者簡(jiǎn)介：王瑞澤（2003.06.01—）男，民族：漢，籍貫：陜西省西安市臨潼區(qū)，學(xué)校：西安市第八十三中學(xué)。