潘慧敏

摘 ?要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程，就是一個幫助學(xué)生逐漸抽象，最后領(lǐng)悟本質(zhì)的過程。文章結(jié)合教學(xué)實踐，借助表征、比較、變式、辨析等手段和途徑，試圖讓學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中積累從具體到一般的抽象思維經(jīng)驗，養(yǎng)成抓住事物本質(zhì)的抽象思維習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;教學(xué)實踐;抽象思維

抽象是一種重要的數(shù)學(xué)思維。在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生就要經(jīng)歷從具體到抽象再到具體的認識過程，逐步達到對概念的真正理解。也就是說，數(shù)學(xué)概念的建立，離不開抽象這一重要環(huán)節(jié)。那么，在數(shù)學(xué)概念感知與建構(gòu)的過程中，如何有效提升學(xué)生抽象思維水平呢？筆者認為，可以從以下四個方面入手。

一、借助“表征”，為抽象提供直觀

抽象離不開直觀的支撐，因此，我們要給學(xué)生提供直觀材料。這個材料可以由教師提供，也可以由學(xué)生自主生成。例如，乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算。它可以用更抽象、更概括的“幾個幾”的方式進行表達。相對于后面的“幾”（相同加數(shù)）而言，前面的“幾”（相同加數(shù)的個數(shù)）是看不見、摸不著的。學(xué)生理解起來必須依靠直觀的支撐。因此，上課開始，直接揭題，讓學(xué)生直接表達他們對于“乘法”的理解，直擊學(xué)生已有的生活經(jīng)驗與知識經(jīng)驗。然后讓學(xué)生依賴自身已有的經(jīng)驗，畫圖自主表征出“3×4”的意思。于是，有用加法模型表示的，有用聚集模型（等量組）表示的，有用矩形模型表示的。這樣，教師便可順勢介入，引導(dǎo)學(xué)生對乘法的含義進行抽象與概括。

教學(xué)片段：“3×4”表示4個3。

投影呈現(xiàn)：

師：誰看懂了這幅圖的意思？3×4中的“3”是什么意思，能在圖中找一找嗎？

（一生上臺指“1個3”）

師：他找到了1個3。誰能比他更厲害？

（上臺指的學(xué)生馬上說“還有”，繼續(xù)指）

師：他找到了幾個“3”？（老師拿筆把每個“3”都指過去）

師：原來“3”有好多個。那3×4中的“4”在哪里呢？怎么沒看見？

（一生上臺拿著鉛筆指，沒出聲）

師：什么意思？這個“4”在哪里？

（另一生上臺邊指邊說：1個3，2個3，3個3，4個3）

師：哦，原來“4”就躲在這里。我們一起來數(shù)，好不好？（齊數(shù)）

師：原來這個“4”是指有4個3（板書：4個3）。你們用數(shù)的辦法（板書：數(shù)），把它找了出來，真厲害！

在上述教學(xué)片段中，重點是憑借圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機地結(jié)合起來。通過圈一圈、數(shù)一數(shù)、說一說等活動，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出“幾個幾”，使學(xué)生初步感知到乘法是同數(shù)連加的另一種表征形式，溝通加法與乘法的聯(lián)系。

二、借助“比較”，舍棄非本質(zhì)特征

北京教育學(xué)院劉加霞教授指出，有相同與不同之處的學(xué)習(xí)素材，能促進學(xué)生真正地觀察、發(fā)現(xiàn)、抽象與概括。進一步來說，這樣的學(xué)習(xí)素材可以使學(xué)生在比較中舍去不同的、非本質(zhì)的特征，找到共同的、本質(zhì)的特征，異中求同，揭開概念的本質(zhì)。例如，“認識分數(shù)”內(nèi)容的教學(xué)，在動手操作認識“ ”的環(huán)節(jié)，筆者組織學(xué)生用手頭的長方形紙折一折、畫一畫表示出 ，生成不同表征形式的學(xué)習(xí)素材。

教學(xué)片段：用長方形紙片表示出 。

師：（在借助平分1個月餅認識 后）同學(xué)們，我們每個人都有一張長方形紙，你能通過折一折、畫一畫，表示出這個圖形的 嗎？

在學(xué)生動手操作后，有選擇地挑選出學(xué)生的作品貼板展示。

師：請同學(xué)們仔細觀察這些圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：第四幅圖不對，不能用 表示，因為它沒有平均分。

生2：前面三幅圖都對，都是這個長方形的 ，但他們折法和表示方法不同。

生3：它們都平均分成了2份。

生4：我還發(fā)現(xiàn)涂色的都只有1份。

生5：他們的折法不同，得到的形狀也都不同，但只要把這個長方形平均分成了2份，這樣的1份就是它的 。

……

上面的操作展示，重點在于引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、交流，共同歸納得出結(jié)論：只要把一個圖形平均分成2份，這樣的1份就是這個圖形的 。在這個過程中，充分感知同一圖形的不同折法，幫助學(xué)生聚焦分數(shù)的本質(zhì)特征，使學(xué)生真正理解“ ”的實際含義。

三、借助“變式”，著眼于量性特征

“數(shù)學(xué)抽象是對各個具體情境的一種超越”。也就是說，從具體形象到抽象概括，需要逐步排除非本質(zhì)屬性對學(xué)生的干擾，使學(xué)生真正做到“完全舍棄事物的一切物理屬性，而僅僅著眼于它們的量性特征”。例如，在“倍的認識”一課教學(xué)中，通過對“哪幅圖表示第二行是第一行的4倍”這一問題的探討，筆者設(shè)計了兩類“變式”，利用不同的變式素材分析什么變了、什么沒有變，對“倍數(shù)”概念的內(nèi)涵進行了“深加工”。

一是借助標準量不變，比較量變化，拓展認識“幾倍”。在解決“白蘿卜個數(shù)是胡蘿卜的2倍”這一基本倍數(shù)關(guān)系后，通過不斷增加白蘿卜的份數(shù)，引出3倍、4倍（如圖5）。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較三幅圖，進一步抽象出“它們都是把2根胡蘿卜看作一份，作為標準，白蘿卜有這樣的幾份就是它的幾倍”。這一環(huán)節(jié)的歸納與整理為抽象提供了幫助。

二是借助比較量不變，標準量變化，感受標準的重要性。當學(xué)生理解“瓢蟲的只數(shù)是蝸牛的2倍”（如圖6）后，就追問學(xué)生“除了把4只蝸?？醋饕环?，還可以幾只為一份呢？”并讓學(xué)生用三角形代替蝸牛在練習(xí)紙上畫一畫、圈一圈，說一說它們的倍數(shù)關(guān)系。在巡視指導(dǎo)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維活躍，有以2只或1只蝸牛為一份的，甚至還有以8只蝸牛為一份的。圍繞這些變式，通過對“幾只蝸牛為一份？瓢蟲也有這樣的幾份？它們的關(guān)系怎么說？”等問題的回答，引導(dǎo)學(xué)生認識特殊的倍數(shù)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進一步抽象出“如果我們把標準定好了，只要瓢蟲的只數(shù)有幾個這樣的標準，就是它的幾倍”，凸顯比的標準的重要性。

四、借助“辨析”，強化本質(zhì)的特征

教學(xué)中不能都只呈現(xiàn)正例，也需要提供反例，讓學(xué)生在正反辨析中深入地認識概念的本質(zhì)的特征。例如，“乘法的初步認識”內(nèi)容的教學(xué)，在引導(dǎo)學(xué)生理解“3×4”表示的含義之后，安排了一道對比判斷練習(xí)，讓學(xué)生判斷哪一幅圖不能用乘法表示，目的是讓學(xué)生在正反對比辨析中進一步揭示出乘法的本質(zhì)。

教學(xué)片段：哪一幅圖不能用乘法表示？

生：圖③不可以。

師：圖③為什么不可以？

生：因為它的每一份不同樣多。

生：圖②也不可以。

師：圖②怎么不可以呢？

生1：前面三堆，每堆都是9個，但它的最后一堆只有6個。

生2：只要一個數(shù)跟其他的不一樣，就不能用乘法。

生3：必須每部分同樣多，同一樣的數(shù)，才能用乘法。

又如，“分數(shù)的初步認識”一課中，在引導(dǎo)學(xué)生認識“ ”之后，也設(shè)計了一道正反例辨析的練習(xí)。

教學(xué)片段：下列圖形中的涂色部分哪些可以用 表示？

通過學(xué)生對“為什么圖②和圖④都可以用 來表示？”“圖①和圖③不也是分成2份了嗎？”等問題的回答，強化分數(shù)含義中的“平均分”。同時通過對“圖⑤不是平均分了嗎？”這一個問題的思考與討論，使學(xué)生明白“⑤號圖形的涂色部分不能用 來表示，是因為它被平均分成了3份，所以要用 來表示”，凸顯分數(shù)份數(shù)的意義。

概念教學(xué)就是一個幫助學(xué)生逐漸抽象，最后領(lǐng)悟本質(zhì)的過程。教師不能采用直接告知的方式，而要設(shè)計幫助學(xué)生“舍棄”的過程，借助表征、比較、變式、辨析等手段和途徑，引導(dǎo)學(xué)生主動地把不同的、非本質(zhì)的特征完全舍棄，得到共同的、本質(zhì)的特征，從本質(zhì)上完成對抽象概念的把握。