陳青鋒

摘 要：“說錯”，本文特指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，提供一定的條件和機(jī)會，讓學(xué)生能夠主動地把自己或他人的錯誤說清楚、弄明白，形成一種內(nèi)在的學(xué)習(xí)反思機(jī)制。本文是我針對研究對象瞿x x——一個課堂上善于動腦，回答問題積極踴躍，但是在做作業(yè)時經(jīng)常出錯，考試成績也不理想的學(xué)生，通過采用恰當(dāng)手段，讓其大膽“說錯”，然后深析錯誤因素，選擇相應(yīng)的說錯形式，從而引導(dǎo)研究對象進(jìn)行“反思”訓(xùn)練，促進(jìn)其思維向縱深發(fā)展，取得了較好的成效。通過這個案例研究，本人在反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中如何讓學(xué)生從“錯誤”走向“正確”，在不斷的反思探索中提出了一些自己的想法。

關(guān)鍵詞：說錯;反思;數(shù)學(xué)課堂

一、研究的緣起：一個學(xué)生個案帶來的思考

瞿x x：808班的男生，活潑可愛，課堂上善于動腦，回答問題積極踴躍，是任課教師喜歡的那種學(xué)生。但是在做作業(yè)時往往錯誤百出，有些低級錯誤還令老師啼笑皆非，如計算時數(shù)字抄錯、負(fù)號在上面式子有抄到下面就沒有了、題目沒理解的情況下就盲目答題、思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)鹊儒e誤總是離不開他，考試成績也不理想。

1、課堂上反應(yīng)迅速

【案例1】在學(xué)習(xí)數(shù)軸時最后我放了這樣一道思考題：

電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K0，第一步從K0向左跳一個單位到K1，第二步由K1向右跳2個單位到K2，第三步由K2向左跳3個單位到K3，第四步由K3向右跳4個單位到K4，…，按以上規(guī)律跳了100步時，電子跳蚤在數(shù)軸上的點(diǎn)K100所表示的數(shù)是30，求電子跳蚤的初始位置K0點(diǎn)所表示的數(shù).

大部分學(xué)生看到這個題目后感到困惑，開始埋頭苦做，當(dāng)其他同學(xué)還在思考時瞿x x卻舉起了手：我知道，-20。師問：你怎么想的？

瞿x x：跳兩次相當(dāng)于向右移動了一個單位，所以跳100次就是向右移動了50個單位，最后所表示的數(shù)是30，所以原來的數(shù)就是30-50 = -20。

點(diǎn)評：從本例可以看出瞿x x在上課時思維還是很靈活的，很多時候當(dāng)同學(xué)們還在沉思時，他已經(jīng)想出了答案，而且方法也靈活。筆者從其他老師處了解到，在別的課堂上他也是一個回答問題積極踴躍的學(xué)生。而且很愿意說，喜歡表現(xiàn)自我。

2、碰到難題時喜歡依賴別人

【案例2】一節(jié)數(shù)學(xué)課上，我出了這樣一道問題：蝸牛沿著10米高的樹往上爬，每天從清晨到傍晚向上爬5米，夜間又下滑3米，像這樣從某天清晨開始，蝸牛幾天爬到了樹頂？

瞿x x不一會兒就轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去和同學(xué)在討論了，我估計他已經(jīng)得出了答案（應(yīng)該是一個錯誤答案），不出所料，我過去后他就興致滿滿地和我說了，老師答案是5天。我說他錯了，再想想。他還不相信，一直和我解釋“清晨到傍晚向上爬5米，夜間有下滑3米”，相當(dāng)于一天爬上2米，5天怎么會錯呢？自己不肯再思考了，一定要我快點(diǎn)告訴他答案。

點(diǎn)評：瞿x x在學(xué)習(xí)上依賴性較強(qiáng)，稍遇到困難就退縮。我也從他家長處了解到小學(xué)時在家總是要求父母幫其審題，不喜歡獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)，必須由父母陪著讀、寫。做完作業(yè)由爸爸負(fù)責(zé)檢查正誤。到了初中后發(fā)現(xiàn)他雖然自己會去思考問題，但思考問題欠深入，碰到困難后喜歡別人直接告訴他答案，不喜歡自己獨(dú)立去解決困難，不會在錯誤中學(xué)會反思，找到正確答案。

3、獨(dú)立作業(yè)時錯誤百出

【案例3】批到瞿x x的課堂作業(yè)本，經(jīng)常是錯誤百出。有理數(shù)比較大小時，期中有這樣一道作業(yè)題： “若a表示一個有理數(shù)，請比較a與-a的大小”， 瞿x x的答案：a>-a 。課間我問了他的想法，瞿x x說：a是一個正數(shù)，那-a就是一個負(fù)數(shù)了，所以a>-a。我再問了下：題目有跟你說a是一個正數(shù)嗎？他這才恍然大悟……

點(diǎn)評：獨(dú)立作業(yè)時，瞿x x總是錯誤百出，在學(xué)習(xí)中總需要老師督促才會去反思。當(dāng)老師引導(dǎo)其找錯誤時，他總會發(fā)出驚嘆“??！我怎么會沒想到”。瞿x x缺乏數(shù)學(xué)當(dāng)中思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，對自己的學(xué)習(xí)缺乏必要的反思，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)或作業(yè)時思維比較單一、不深刻，解題正確率不高。

孔子說：學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則怠。勤于思考、善于反思對于求知是多么的重要！通過不斷的實踐，筆者發(fā)現(xiàn)，在糾錯過程中，經(jīng)過學(xué)生口頭爭辯后改正的錯誤，一般就不會再在這些學(xué)生身上出現(xiàn)。由此我意識到，經(jīng)過學(xué)生主動“說錯”， 把自己或他人的錯誤說清楚、弄明白，可以建立起學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)反思機(jī)制，使其內(nèi)隱的知識與能力儲備通過“對話”方式，逐步顯現(xiàn)出來。

新課程是一次新的教育變革，它與舊課程的核心區(qū)別就是要讓學(xué)生被動的學(xué)變?yōu)橹鲃拥膶W(xué)。在新課程的實施中，幾乎每位老師都在適應(yīng)。但在我們的數(shù)學(xué)課堂中，還是普遍存在著這樣一個現(xiàn)象，就是題目我們已經(jīng)講了好多遍了，學(xué)生做起來還是照錯不誤。這個問題讓很多老師都在探索“路在何方”。針對這種現(xiàn)象，我在嘗試著讓學(xué)生自己能夠大膽地說出自己的錯誤想法，然后引導(dǎo)其對錯誤進(jìn)行反思，促進(jìn)其思維的縱深發(fā)展。從去年開始我選擇了一個代表性的學(xué)生瞿x x，對其進(jìn)行跟蹤性教育，讓其“說錯”，在“說錯”中反思。

二、解題錯誤原因分析

1.眼高手低，沒有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

有的同學(xué)自我感覺很聰明，平時就不愿意做簡單的題目，基本都是看一下，大概感覺做得出，然后就把答案抄上去了，而難的題目卻又做不出，然后也是看看答案，大概懂了也把答案抄上去了;最終導(dǎo)致考試時簡單題目做錯，難的題目就根本做不出;而由于沒有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，平時就會出很多偶然性錯誤，考試時也就不例外了，偶然也有其必然。

2.對知識點(diǎn)偏重于記憶而不是理解

為了應(yīng)付考試，很多同學(xué)都是臨陣磨槍，考前突擊，也只有背背公式，考試的時候就會感覺沒有用。殊不知，數(shù)學(xué)是一門理解的學(xué)科，任何一個知識點(diǎn)都需要我們?nèi)フJ(rèn)真理解分析，找到其本質(zhì)的東西，記憶也是建立在理解的基礎(chǔ)之上的，而我們要學(xué)的也重在過程，所以在平時的學(xué)習(xí)，不能僅僅是記住公式，更重要的是記住這些公式的來龍去脈。這樣也就能達(dá)到把厚書讀薄的效果。

2、深析錯誤因素，選擇相應(yīng)說錯形式

要設(shè)計一個說錯的思維程序，首先要對錯誤進(jìn)行分類處理。只有在對錯誤作出科學(xué)的、成功的分類之后，我們才能清楚該怎樣“說錯”。根據(jù)一段時間的調(diào)查分析，筆者把瞿x x所犯的錯誤分為兩大類，一類是對于概念與操作性錯誤，另一類是思路性的錯誤。根據(jù)不同類型的錯誤，筆者提出了不同的說錯形式。

（1）自我診療式

概念與操作性的錯誤，學(xué)生可以隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的發(fā)展自我診療，教師要為學(xué)生提供自我診療的機(jī)會。 “診斷”出自己的錯誤所在并不是最終目的，學(xué)生必須對“錯誤”進(jìn)行自我重述或說給同桌聽。通過說錯誤來強(qiáng)化錯因，從而達(dá)到“治療”的終極目標(biāo)。

【案例7】在教學(xué)完全平方公式時，有這樣一道習(xí)題：計算（x+2y）2 ，瞿x x的答案x2 +4xy +2y2，我走進(jìn)提醒他這個答案錯誤，請他翻書尋求錯因。一會兒見他一拍腦袋“公式用錯了，我沒把2y的系數(shù)2進(jìn)行平方”，等他訂正完畢后，把錯誤再次重述給自己聽，當(dāng)然我也在一旁聽著。

案例中瞿x x獨(dú)立發(fā)現(xiàn)錯誤的過程是學(xué)習(xí)的第一次反思，有助于他對數(shù)學(xué)運(yùn)算定律的正確理解。改正錯誤是學(xué)習(xí)的第二次反思，它有助于對數(shù)學(xué)運(yùn)算定律的深層理解，達(dá)到觸類旁通、舉一反三。讓其對自己的錯誤所在重述給自己聽的過程則是學(xué)習(xí)的第三次反思，通過說達(dá)到比較、歸類、整理的目的。通過這個過程，那他以后基本就不會再犯類似錯誤了。

（2）同桌互診式

當(dāng)題意理解錯、條件認(rèn)識不足時，學(xué)生往往不能獨(dú)立找出錯誤的診結(jié)所在，這時可以通過同桌合作達(dá)到診療的效果?！巴阑ピ\”是指在相互傾聽中辨析正誤，在質(zhì)疑中反思過程，最后在互述錯誤中治療。

我一開始為瞿x x找了一個思維較嚴(yán)密、能深入思考問題的學(xué)生作為同桌。經(jīng)過一段時間的差異性診療，瞿x x已經(jīng)明白的自己不足，為了不使其產(chǎn)生自卑感，一段時間后將瞿x x的同桌調(diào)整為一個與之類似的學(xué)生。

【案例8】題目——“小明爸爸要到武漢出差一個星期，買了一張今天12：15從杭州開往武漢的火車票，從小明家到火車站要花40分鐘，小明爸爸幾時從家出發(fā)比較好？”瞿x x的答案是11：35從家出發(fā)，同桌答案是11：25。我讓兩人都說了自己的想法。我又提醒道：“你們認(rèn)為11：25出發(fā)合適嗎？”經(jīng)我一點(diǎn)撥，兩人又開始沉思了。瞿x x馬上叫到“如果剛好12：15到火車站門口，那小明爸爸還沒進(jìn)火車站，火車已經(jīng)開走了，對應(yīng)再提早一些時間來?！甭犓恢v，同桌也點(diǎn)點(diǎn)頭。最后要求他們把自己錯誤所在講述給同桌聽以達(dá)到診療的效果。

（3）眾說紛紜式

“眾說紛紜”是教師把錯誤拋給學(xué)生，引導(dǎo)他們從正反不同角度去修正錯誤，給他們提供爭論的時間和空間，讓其在辯論中，思維發(fā)生碰撞，觀點(diǎn)得到交流，從而讓學(xué)生在爭論中明理，在爭論中內(nèi)化知識。眾說紛紜式一般可分為自說 、對說、補(bǔ)說、重述四個環(huán)節(jié)。

【案例9】在教學(xué)《平方根》時有這樣一道習(xí)題：求 的平方根;自說;瞿x x舉手回答：±4（此時另外已經(jīng)有同學(xué)在竊竊私語了），我先讓其他同學(xué)安靜，請他說說自己的解題思路。瞿x x說完后我讓另外有意見的同學(xué)都闡述了自己的想法，這個過程就是對說、補(bǔ)說的過程。在“眾說紛紜”中瞿x x能不斷深入剖析題意，尋求正確的解題思路，整個“眾說”過程能緊密圍繞尋找“錯因”展開，在反思中激活學(xué)生的“說錯”愿望，促使其產(chǎn)生高質(zhì)量的思維碰撞。最后就是瞿x x的重述環(huán)節(jié)，把這道題目的正確思路再說一遍。

在實際教學(xué)中說錯形式可以是多種多樣的。針對某種錯誤并不局限一種說錯方式，學(xué)生的錯誤是紛繁復(fù)雜的，教師應(yīng)靈活應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生有效反思。

四、成效顯現(xiàn)

“說錯”讓瞿x x在學(xué)習(xí)中形成了一套自己的學(xué)習(xí)策略和方法，體驗了成功的愉快。七年級第一學(xué)期的期末數(shù)學(xué)考試成績是71分，低于平均分4分，七年級第二學(xué)期期末成績是84分，超過平均分7分。在提高解題能力的同時，瞿x x的口頭表達(dá)能力、抽象思維能力、分析能力也跟著提升。

下面結(jié)合筆者的教學(xué)實例談?wù)匂膞 x的進(jìn)步。

1、重復(fù)的錯誤明顯變少了

我們數(shù)學(xué)老師都知道糾錯的重要性，對學(xué)生來說得不到高分最大的困難不是因為難題太多，而是不該犯錯的地方又錯了，對瞿x x來說以前最大的攔路虎就是這個，通過這段時間讓其說錯，他對自己犯錯的原因有了真正深刻的認(rèn)識，還進(jìn)行了如何避免類似錯誤的反思，在每次考試中因為這個原因丟分的現(xiàn)象明顯減少了，對學(xué)習(xí)也有了更大的積極性。

2、懂得反思，思維更深刻了

【案例10】教師布置做課堂作業(yè)，題目是：若（x3+mx+n）（x2-5x+3）展開后不含x3和x2項，試求m，n的值。我發(fā)現(xiàn)有很多同學(xué)感覺無從下手，于是就請學(xué)生們暫停，全班討論這一難題，瞿x x還在那邊自言自語些什么？于是我就請他回答?！敖Y(jié)果要不含x3和x2項，也就是說x3和x2項的系數(shù)為0就可以了”， 同學(xué)們詫異地朝他看去，我問：“你怎么想到的？”“本來我也不理解不含x3和x2項的含義，后來想到以前做過一題——要使（k-1）x2+kx=3是一元一次方程，k應(yīng)滿足什么條件。那題需滿足x2項的系數(shù)為0，所以這題也就差不多了”……

在做題時能聯(lián)想到以前的錯誤，在比較、分析中解決問題，說明瞿x x已經(jīng)學(xué)會反思自己的過去，學(xué)會在反思中思錯、悟道。平時的數(shù)學(xué)課上，也能看到其在與同學(xué)爭論中積極發(fā)表自己的意見。

3、口頭表達(dá)能力提高

【案例11】下午第一節(jié)下課，走進(jìn)教室，發(fā)現(xiàn)語文老師正在對瞿x x說：“上課你的回答很精彩，繼續(xù)加油！”聽到這里，我想到看來其他學(xué)科教師也看到了瞿x x的進(jìn)步。回想瞿x x最近的回答真讓我吃驚：“我對x x的回答有意見，……一開始我也是這樣想的，后來發(fā)現(xiàn)這樣的話就……?！薄袄蠋?，你剛才說的應(yīng)再加一句……”諸如此類的話不僅說明瞿x x已經(jīng)會在比較、辨析中反思了，也讓老師感到他的表達(dá)能力在不斷提高。

五、感悟反思

心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤，就將錯過最富成效的學(xué)習(xí)時刻?！苯處熢谟龅健板e誤”時，首先要冷靜分析錯誤的原因，寬容對待學(xué)生的錯誤。教師要針對不同的原因，幫助學(xué)生靈活糾正錯誤，帶領(lǐng)學(xué)生從“錯誤”走向“正確”。以下提供幾點(diǎn)拙見：

（1）荒謬結(jié)論，引為笑柄，讓錯誤“原形畢露”

在教學(xué)時，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)有許多學(xué)生在解題時，出現(xiàn)一些致命的錯誤，而這些錯誤如果經(jīng)過教師的繼續(xù)推導(dǎo)，可能會出現(xiàn)一些令人十分可笑的結(jié)果，這種讓錯誤“原形畢露”的方法遠(yuǎn)比直接書寫正確答案的效果要好得多。

【案例12】在復(fù)習(xí)《一元一次方程》時，我設(shè)計了這樣一題：如果，則下列等式不正確的是（）

（A）（B）

（C）（D）

居然有許多同學(xué)選了B。我靈機(jī)一動，不如干脆用好這個錯誤的資源：

師：你們承認(rèn)A選項是正確的，那么就承認(rèn)x=y，則有x2=xy是正確的。生：是的。

師：那么，我在x2=xy兩邊同時減去y2，這個等式變不變呢？

生：不變。（等式的基本性質(zhì)1）

師：這樣的話，你們就承認(rèn)x2-y2=xy- y2也是對的，為什么選B呢？生：無語。

為了讓學(xué)生徹底理解，于是我繼續(xù)把這個結(jié)論往下推，使錯誤“原形畢露”。

師：由x2-y2=xy- y2 通過因式分解：（x+y）（x-y）=y（x-y） ∴x+y=y

由x=y，得2y=y ∴2=1

在學(xué)生一陣驚嘆中，我反問學(xué)生：那么老師又錯在哪里了呢？

此時學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒十分高漲，躍躍欲試，在共同探討下，才真正理解了錯誤的本質(zhì)，學(xué)生對于等式兩邊同除以一個數(shù)或式（不為零）有了更深刻的認(rèn)識。

在這次教學(xué)中，我沒有對錯誤馬上打住，而是把這個問題繼續(xù)引申，使本來正確的推理又在教師的設(shè)計下再次“出錯”。促使學(xué)生對已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再思考，對已形成的認(rèn)識從另一個角度，以另一種方式進(jìn)行再思考。這樣通過適時、適度地點(diǎn)撥和鼓勵，能幫助學(xué)生突破眼前思維障礙，進(jìn)入創(chuàng)新求異的新境界，讓學(xué)生體驗思維價值，享受思維的快樂，使思維能力、觀察能力、反省能力得到充分的提升，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)搭建了良好的平臺。

（2）小組糾錯，“自我否定”，讓錯誤“未生先死”

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)生的錯誤不可能單獨(dú)依靠正確的示范和反復(fù)的練習(xí)得到糾正，而必須是一個“自我否定”的過程?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中非常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)事實的建構(gòu)性，也就是說數(shù)學(xué)知識不應(yīng)是教師、教材直接給予學(xué)生的，而是在學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程中動態(tài)生成的。

【案例13】在剛學(xué)完直角三角形斜中線定理后，筆者在教學(xué)中出示這樣一道題：

已知直角三角形一邊長為6，另一邊長為8，求斜邊上中線的長度. 學(xué)生一般會答5。筆者沒有說什么，只是分成小組，在小組內(nèi)進(jìn)行討論，得到正確答案為止。

教師通過這樣一討論，一下子引起了學(xué)生的進(jìn)一步思考：難道答案5有問題嗎？

我們知道，這類題目在許多考試中頻頻出現(xiàn)，但由于學(xué)生思維的影響，任憑老師如何強(qiáng)調(diào)要進(jìn)行分類討論，要看清楚題意，一段時間過后學(xué)生還是又忘記了。而筆者的做法避開了學(xué)生產(chǎn)生思維定勢的條件，先打“預(yù)防針”，那么“犯病”的可能性就會大大降低。學(xué)生犯了“錯”，小組一起來糾錯，通過不斷“自我否定”的過程，把學(xué)生極易犯的“錯”噩殺在萌芽狀態(tài)，讓錯誤“未生先死”。從根本上減少學(xué)生出錯的條件，這種做法有極強(qiáng)的推廣價值（筆者做過一個調(diào)查）。

（3）品錯賞錯，體驗成功，讓錯誤“美麗動人”

學(xué)生在數(shù)學(xué)實踐時常常會出現(xiàn)一些意想不到的錯誤，很多教師為學(xué)生的錯誤而煩惱、困惑，甚至怨聲載道。品“錯”是學(xué)生對自己錯誤的一種反思，同時也是教師對自己教學(xué)的一種反思。從心理學(xué)的角度來說，反思是一種主動“再認(rèn)識”的過程，是思維的高級形式。課堂教學(xué)中積極培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，讓學(xué)生在品錯賞錯的過程中，放松思維，體驗成功。

學(xué)生在學(xué)習(xí)解一元一次方程時，我發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生解方程總是解不對，我把學(xué)生在平時做錯的解方程題一一作了記錄，并總結(jié)歸納出了學(xué)生在解含有分母的方程時主要出現(xiàn)如下錯誤：（1）漏乘;（2）去括號時符號出錯;（3）去分母時忘記加上括號;（4）分配律使用時，分配不公。我針對以上問題，設(shè)計了同一道題目的如下三種錯解，展開了一節(jié) “品錯賞錯”課。

【案例14】解方程

a. b. ?c.

解：方程兩邊同乘6，得 解：方程兩邊同乘6，得 解：方程兩邊同乘6，得

我先讓學(xué)生自已找錯，再分小組讓學(xué)生評析產(chǎn)生錯誤的原因。學(xué)生各抒己見，得出對策，學(xué)生在評析錯誤的過程中，總結(jié)經(jīng)驗，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。這節(jié)課始終圍繞錯誤展開，讓學(xué)生在糾錯、改錯、評錯、賞錯的過程中感受到學(xué)習(xí)的成功和快樂。這不禁讓錯誤“美麗動人”起來。

參考文獻(xiàn)：

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