雨宮春

摘 要：《數(shù)列》復(fù)習(xí)主要應(yīng)在解題方法、解題能力、解題思想等方面下功夫。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;復(fù)習(xí)

《數(shù)列》蘊涵了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，主要有：函數(shù)與方程、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想;更有：待定系數(shù)法、配方法、換元法、分離變量法、歸納猜想證明等基本方法。筆者在《數(shù)列》復(fù)習(xí)中的幾點思考和做法與同仁交流。

一、解題方法的復(fù)習(xí)

（一）抓“求通項、求和”

數(shù)列的通項、求和是數(shù)列中的兩大支柱問題。復(fù)習(xí)時，我們真對等差、等比數(shù)列通項、求和公式進行了復(fù)習(xí)，主要通過有關(guān)的例子研究了“an 與 Sn 的關(guān)系、累加、累積、差分、轉(zhuǎn)化”等方法求通項，使同學(xué)們對遞推數(shù)列求通項有一個完整的認(rèn)識。接著復(fù)習(xí)了“倒寫相加、錯位相減、利用公式、拆項相消、重新分組、研究通項”等方法求和。特別是用的較多的“利用公式、錯位相減、拆項相消”的求和進行分析，使同學(xué)們知道了求和方法的使用，同時還知道什么時候用什么辦法處理求和問題。

（二）抓“首項 a1、公差 d（公比 q）”

數(shù)列的復(fù)習(xí)中，讓學(xué)生回到首項和公差（或公比）中去，無疑是非常基本的方法。

例 1：設(shè) Sn 為等差數(shù)列{an}的前 n 項和，若 a4+a5=36，S6=72，則{an}的公差為（??? ）

（A）2;?????????? （B）4;?????????? （C）6;???????????? （D）8.??????????????????????????????????????????????? （答：C）

由 2017 年高考全國卷Ⅰ的第 4 題改編，考生中不知從何下手者大有人在，而回到首項和公差中去的學(xué)生（不見得是數(shù)學(xué)成績好的學(xué)生）輕易解出來了。

例 2：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前 n 項和為 Sn，且 S2? =74，S3? =111，則 S5=（?? ? ）（答：185）

這道題，只記住死結(jié)論：在等比數(shù)列中， Sn，S2n-Sn，S3n-S2n??? 成等比數(shù)列的學(xué)生，機械地應(yīng)用公式 Sn 的學(xué)生在算出 q=1（q=-1）（舍去）后，又發(fā)現(xiàn)代入上述公式不成立，只有知道討論使用等比數(shù)列的求和公式的學(xué)生才能得到正確的答案。

上兩例可以看出，對于數(shù)列通項公式和求和公式的復(fù)習(xí)，盡量讓學(xué)生反復(fù)使用最原始的公式， 抓數(shù)列的首項 a1、公差 d（公比 q），并注意使公式成立的環(huán)境，會使學(xué)生求一般等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，前項和公式變得輕松自然。

二、解題能力的培養(yǎng)

（一）歸納、找規(guī)律是解決數(shù)列問題的有一個重要的思想和方法。

例 3：在數(shù)列{an}中， a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），則 a2010=（? C）

A.1???????? B.-5 ??????C.-4??????? D.5

例 4：對于實數(shù) x 用[x]表示不超過 x 的最大整數(shù)，如[0.32]=0，[5.65]=5，若 n 為正整數(shù)，an=[n/4]，SN 為數(shù)列an}的前 n 項的和，則 S4N=（2n2-n）.

上兩例看出，數(shù)列的復(fù)習(xí)，應(yīng)盡量讓學(xué)生耐下心來，通過不完全歸納，得出規(guī)律的東西，而使問題得到解決。

（二）用好等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)。

復(fù)習(xí)時，以等差數(shù)列、等比數(shù)列為載體，以通項公式和求和公式為主線，靈活運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)。

例 5：設(shè) SN 為等差數(shù)列 an}的前 n 項的和，已知 a2=3，a6=11，則 a17=（??? ）

A.13??????? B.35 ???????C.49??????? D.63

例 6：有窮等差數(shù)列 an}的前 r 項的和為 a，? 后 r 項的和為 b，所有項之和為 S，則 a、b、S、n、r 之間的關(guān)系是——————。

上兩題都使用了性質(zhì)，可以看出，靈活運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，是基本技能形成的一個重要體現(xiàn)。

三、解題思想的養(yǎng)成

對學(xué)生進行數(shù)列綜合問題的思維訓(xùn)練， 提高學(xué)生解決數(shù)列綜合問題的能力，是復(fù)習(xí)中核心問題。

（一）尋找題目中的暗線

例 7.在數(shù)列{an}中，an+1=3an+4n+2? 且 a2= 6

（1）? 求 a1;（2）求證數(shù)列{an+2n +2}是等比數(shù)列，并求 an。

我把此題給同學(xué)們后，大量的同學(xué)只能解決第一問，對第二問感到無從下手。怎樣證明數(shù)列{an}是等比（或等差）數(shù)列？只要證明（或 an+1? -an）是一個與 n 無關(guān)的常數(shù)即可。這么淺顯的道理，怎么有大量的學(xué)生不知從何下手？原因還是復(fù)習(xí)時，沒有讓同學(xué)們?nèi)ふ翌}目中的暗線。只要注意到數(shù)列{an+2n+2}就可以想到把an+1=3an+4n+2 改寫成 an+1+2（n+1）+2=3（an+2n +2），求出 a1+2*1+2=4，于是可得數(shù)列{an+2n +2}是以 4為首項，以 3 為公比的等比數(shù)列。求出 an+2n +2=4*3n-1，再求出 an=4*3n-1-2n -2（這就是本題的暗線）。

（二）借助于題目本身的力量，找到解題的突破口

數(shù)列問題在高考中可謂?？汲Ｐ拢绕涫墙┠陙頂?shù)列與不等式的融合更成為高考命題者的新寵，而其中對放縮法的把握需要學(xué)生有較強的分析和判斷能力。復(fù)習(xí)時若能借助于題目本身的力量，就可以很容易找到解題的突破口，較難的問題能順利解決。

例 9：在數(shù)列{an}中，首項

（1）求 an;

（2）求證：對任意 x>0，;

（3）求證：。

此題一出，大量的同學(xué)只能解決第一、二問，第三問找不到解題方法。產(chǎn)生這樣的現(xiàn)象的原因主要是同學(xué)們沒有注意到利用第二問的結(jié)論。由（2）知得

對 x>0恒成立，特別地也成立，于是得到

問題解決。對于下面一題也是如此。

例 10：已知函數(shù) f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1

（1）求函數(shù) f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若 f（x）≤0 恒成立，求 k 的值;

（3）若數(shù)列{an}的通項，sn 是數(shù)列{an}的前 n 項和（n? ≥2 且 n? ∈N*），求證：sn ≤n

*（n-1）/4（太和一中 2011 屆高三二模題改編）。

（4）可以用（1）的結(jié)論，（3）可以用（2）的結(jié)論，此不贅述。