葉波

[摘? 要] 概念教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ). 有效的概念教學(xué)，關(guān)鍵在于把握數(shù)學(xué)概念的核心. 教學(xué)之前解析一個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，實(shí)際教學(xué)中選用適當(dāng)?shù)慕?gòu)方式，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行合理的表征，是數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);概念;概念核心;有效教學(xué)

眾所周知，數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)數(shù)學(xué)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)邏輯思維最基本的形式，是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)綜合體系最基本的單元. 初中數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)好初中數(shù)學(xué)對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路起著奠基石的作用[1]. 因此，無論在什么教育教學(xué)改革背景之下，概念教學(xué)在初中數(shù)學(xué)中的地位都是非常重要的. 隨著對(duì)概念教學(xué)研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)為了更好地讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)自主合作學(xué)習(xí)，或者說為了給學(xué)生開辟更為廣闊的學(xué)習(xí)空間，可以在概念教學(xué)上壓縮時(shí)間、提高效率. 而要實(shí)現(xiàn)這一看似矛盾的目的，就需要在教學(xué)中緊緊抓住概念的核心，只要概念的核心被抓住了，那學(xué)生學(xué)習(xí)過程的有效性就可以得到保證，有效教學(xué)也就真正發(fā)生了.

那么，概念的核心在教學(xué)中如何把握呢？對(duì)此筆者談?wù)勛约旱娜c(diǎn)淺顯看法.

解析初中數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵以把握概念核心

教學(xué)實(shí)踐表明，課堂教學(xué)的有效性離不開教師的引導(dǎo)，教師引導(dǎo)的有效性取決于教師的專業(yè)水平. 根據(jù)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的地位和特點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵進(jìn)行解析，能幫助教師深刻理解概念本質(zhì)、認(rèn)識(shí)概念教學(xué)的學(xué)科教育價(jià)值，能夠理解學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與困難，可以進(jìn)一步闡釋概念的本質(zhì)屬性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2].

數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)，有一個(gè)基本的前提：教師要對(duì)自己所教學(xué)的概念有一個(gè)準(zhǔn)確的把握. 這個(gè)把握就體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解上，也就是說，我們數(shù)學(xué)教師教一個(gè)數(shù)學(xué)概念，要做的不是將數(shù)學(xué)概念的定義表達(dá)告訴學(xué)生，而是將數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵通過有效的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，或者讓學(xué)生在自主探究的過程當(dāng)中，逐步地把握概念的內(nèi)涵. 從這個(gè)角度講，解析數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，并通過自身的專業(yè)素養(yǎng)去引導(dǎo)學(xué)生理解概念，是一個(gè)初中數(shù)學(xué)教師的基本功.

例如，在北師大版初中數(shù)學(xué)“兩條直線的位置關(guān)系”這一內(nèi)容的教學(xué)中，我們對(duì)“兩條直線的位置關(guān)系”的理解應(yīng)該是怎樣的呢？認(rèn)真分析這一表述，筆者以為，至少有兩點(diǎn)值得重視：

其一，在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)當(dāng)中，他們對(duì)“兩條直線的位置關(guān)系”可能會(huì)有什么樣的理解？

教材上提供了幾幅生活中的圖片，這兒所說的生活應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的生活，但是由于我們此處研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，實(shí)際上是在同一平面內(nèi)進(jìn)行研究的，因此，在讓學(xué)生舉出生活中兩條直線的位置關(guān)系的例子時(shí)，教師要暗中約定一個(gè)前提. 比如說筆者曾經(jīng)這樣做過：如果讓大家在黑板上畫出兩條直線，你覺得這兩條直線的位置關(guān)系可能是什么？這種讓學(xué)生做的方式，實(shí)際上只是生活經(jīng)驗(yàn)在課堂上的延伸，但是又達(dá)到了預(yù)設(shè)的要求. 在這一體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生往往會(huì)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)的兩條直線，要么相交，要么平行.

其二，教材上對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的表述有什么內(nèi)涵？

在上述發(fā)現(xiàn)中，其實(shí)是對(duì)學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)的一種重現(xiàn)，結(jié)合課本上的表述——我們知道，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種. 其后另起一段：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線;在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線.

這樣的表述有什么內(nèi)涵呢？筆者以為，其是在學(xué)生經(jīng)過體驗(yàn)生成的表象基礎(chǔ)上，將學(xué)生的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步精確化，也就是數(shù)學(xué)語言的使用. 因此這個(gè)概念的內(nèi)涵體現(xiàn)在：教師要引導(dǎo)學(xué)生將用生活語言描述的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá). 做到這一點(diǎn)，實(shí)際上也就是抓住了“兩條直線的位置關(guān)系”這一概念的核心.

抓住了這一核心，也就意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)這一概念的時(shí)候，已經(jīng)有了從生活經(jīng)驗(yàn)走向數(shù)學(xué)表達(dá)的途徑，而這正是概念教學(xué)的必由之路.

把握學(xué)生建構(gòu)概念的方式以把握概念核心

有研究者指出，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念獲得的方式有兩種，一種以概念形成方式獲得，另一種是以概念同化方式獲得. 由于初中生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能作為同化新知識(shí)的已有基本知識(shí)比較少或沒有，因此在教學(xué)中，大部分概念是以概念形成的方式進(jìn)行教學(xué)的[3].

這樣的判斷有一定的道理，這個(gè)道理體現(xiàn)在教師在進(jìn)行概念教學(xué)的時(shí)候，一定要把握學(xué)生建構(gòu)概念的方式. 很多時(shí)候，對(duì)于不同的學(xué)生而言，概念學(xué)習(xí)的方式是有可能不同的，甚至同一個(gè)概念對(duì)于不同的學(xué)生而言，建構(gòu)方式也是不一樣的. 認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，我們就知道因材施教有著什么樣的意義. 當(dāng)然，這里所說的“材”，就是指學(xué)生. 基于對(duì)上述引用內(nèi)容的判斷，筆者以為，初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生把握概念核心，可以分成兩種情況來討論：

第一，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)比較好的學(xué)生而言，可以以概念同化的方式進(jìn)行教學(xué). 比如說“對(duì)頂角”這一概念的教學(xué)，我們可以給這部分學(xué)生提出這樣的問題：當(dāng)兩直線相交時(shí)，如果讓你去描述不同相交直線哪里存在不同，你會(huì)如何描述？這種情況下，學(xué)生往往會(huì)在草稿紙上畫出不同的相交直線，然后自然能夠發(fā)現(xiàn)主要的不同就體現(xiàn)在角度的不同. 而在描述這個(gè)角度的時(shí)候，學(xué)生又發(fā)現(xiàn)“對(duì)面的兩個(gè)角是相等的”，這實(shí)際上就是學(xué)生的一種生活語言的描述，有了這個(gè)描述，對(duì)頂角概念教學(xué)也就有了基礎(chǔ). 事實(shí)上，在學(xué)生有了這一認(rèn)識(shí)之后，教師給出了對(duì)頂角的概念，學(xué)生感覺是非常形象的，好多同學(xué)都說“這兩個(gè)角就是對(duì)著頂?shù)年P(guān)系”，這樣的描述其實(shí)就是抓住了概念的核心.

第二，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生而言，應(yīng)當(dāng)用概念形成的方式進(jìn)行教學(xué). 同樣是對(duì)頂角這一概念的教學(xué)，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生而言，通常應(yīng)該由教師給出相應(yīng)的圖形，以讓學(xué)生的大腦當(dāng)中形成關(guān)于對(duì)頂角的表象，然后提出的問題是“你們能不能發(fā)現(xiàn)在這樣的圖形上角的關(guān)系”，在這個(gè)問題的驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生會(huì)有意識(shí)地去尋找角的關(guān)系，自然這個(gè)關(guān)系并不難發(fā)現(xiàn)，也因此在他們的大腦中就形成了“對(duì)面的兩個(gè)角相等”的認(rèn)識(shí). 實(shí)際上到了這一步的時(shí)候，就可以發(fā)現(xiàn)不同層次的學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)殊途同歸的過程. 在此基礎(chǔ)上，教師講述對(duì)頂角的數(shù)學(xué)定義，就顯得順理成章了.

無論是哪種教學(xué)情況，其實(shí)都是教師針對(duì)學(xué)生客觀的認(rèn)知基礎(chǔ)，進(jìn)行的不同的教學(xué)設(shè)計(jì). 雖然概念建構(gòu)的方式是不一樣的，但是有一點(diǎn)是相同的，即不同的教學(xué)方式，都是為了促進(jìn)學(xué)生理解概念的核心——“對(duì)面的兩個(gè)角相等”與“兩邊互為反向延長(zhǎng)線”實(shí)際上是同一規(guī)律的不同表達(dá). 在這里我們也可以看到，其實(shí)在讓學(xué)生把握概念核心的時(shí)候，要讓學(xué)生充分利用自己的生活語言，盡管生活語言并沒有數(shù)學(xué)語言那么精確，但是卻是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的一把利器，用好生活語言，實(shí)際上為學(xué)生理解概念核心鋪平了道路.

引導(dǎo)學(xué)生合理表征概念以把握概念核心

以上的表述實(shí)際上在強(qiáng)調(diào)概念的表征，用生活語言表征數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)概念核心，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)概念的必由之路. 對(duì)此也有同行進(jìn)行了研究，他們認(rèn)為：學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)概念的有效性體現(xiàn)在：概念表征應(yīng)是豐富而清晰的;概念表征的各個(gè)不同側(cè)面之間應(yīng)能靈活轉(zhuǎn)換以適應(yīng)不同的問題情境;概念獲得的同時(shí)能形成精致的概念網(wǎng)絡(luò). 因此，概念教學(xué)的有效性應(yīng)體現(xiàn)在：引導(dǎo)體驗(yàn)感悟具有指導(dǎo)性，引導(dǎo)提煉概括具有整合性，引導(dǎo)比較聯(lián)系具有廣泛性[4].

基于這樣的判斷，筆者的理解是：要想把握概念的核心，就必須有一個(gè)表征概念的過程，這個(gè)過程越合理，那學(xué)生對(duì)概念的理解就越準(zhǔn)確. 那么怎樣的標(biāo)準(zhǔn)才叫合理的表征呢？以軸對(duì)稱的概念為例，在軸對(duì)稱的概念建立之前，北師大版的教材設(shè)計(jì)了“軸對(duì)稱現(xiàn)象”這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，這是一個(gè)非常有意思的設(shè)計(jì)，其實(shí)就是為了學(xué)生表征軸對(duì)稱概念而進(jìn)行的必要鋪墊. 實(shí)際教學(xué)中，為了讓學(xué)生進(jìn)行合理的表征，教師對(duì)這一內(nèi)容可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)纳疃燃庸ぃ阂皇菍⒄n本上的圖形用PPT呈現(xiàn)在學(xué)生面前;二是讓學(xué)生去舉例子. 這樣的例子固然要豐富，但是更重要的是讓學(xué)生去分析——分解的過程就是表征概念的過程，這個(gè)過程對(duì)軸對(duì)稱概念而言是隱性的，因?yàn)榇藭r(shí)軸對(duì)稱這個(gè)概念還沒有給出. 但是這并不影響學(xué)生的表征，在分析的過程當(dāng)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些圖形總能夠沿著一條線對(duì)折而互相重合，這里的“互相重合”其實(shí)就是表征用的語言，也成為軸對(duì)稱概念建立的核心.

通常情況下，判斷學(xué)生有沒有成功地表征一個(gè)數(shù)學(xué)概念，關(guān)鍵就看學(xué)生大腦中有沒有清晰的表象. 讓學(xué)生到黑板上去畫一個(gè)軸對(duì)稱圖形，是一個(gè)將學(xué)生表征的結(jié)果呈現(xiàn)出來的過程，也是表象變成實(shí)際圖形的過程，這個(gè)過程有助于學(xué)生把握概念的核心.

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要把握數(shù)學(xué)概念的核心，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

[1]盧燕. 初中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)初探[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（8）：38-40.

[2]石頤園. 基于PCK內(nèi)涵解析視角的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略[J]. 教育理論與實(shí)踐，2017（8）：51-54.

[3]劉海濤. 初中函數(shù)概念教學(xué)舉例有效性的心理分析[J]. 教學(xué)與管理， 2012（28）：53-54.

[4]胡英娟. 數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性的思考[J]. 中小學(xué)教師培訓(xùn)，2010（10）：43-45.