劉裕華

【摘 要】在每年的高職考試中，數(shù)列考點從未間斷，并且必有一道壓軸題，占有很大分值.但許多學(xué)生解題時常常感覺毫無頭緒，無從下手.這是知識零亂，方法不當(dāng)?shù)脑?本文結(jié)合高職高考數(shù)學(xué)教材，根據(jù)數(shù)列知識考點，分析了歷年高職考中的數(shù)列試題，得出數(shù)列試題的解題策略，為學(xué)生提供參考。

【關(guān)鍵詞】通項公式;前項和;構(gòu)造法;裂項相消法;錯位相減法

【中圖分類號】G633.91 ??????【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）16-0281-02

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列占有非常重要的地位，它可以與方程、不等式、函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，是函數(shù)思想的延續(xù)，是訓(xùn)練學(xué)生推理能力和邏輯思維能力的良好素材.數(shù)列雖然公式不多，?？记笸椆郊扒绊椇停珬l件多變，方法多樣.筆者根據(jù)歷年高職考中的數(shù)列試題，從求通項公式及前項和兩方面分析它們的解題策略。

一、求數(shù)列的通項公式

1.直接法。

已知條件是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則根據(jù)條件應(yīng)用公式列出方程（組），運用解方程（組）的思想進行求解.

例1在等差數(shù)列{an}中，若a7=16，a12=26，求數(shù)列（an）的通項公式及前n項和Sn.

解〖XC73.JPG;%20%20〗

∴an=4+2（n-1）=2n+2，Sn=4n+〖SX（〗n（n-1）〖〗2〖SX）〗×2=n2+3n.

評注 此題考的是對公式的基本運用以及解方程組的能力.

2. 定義法。

若給出an+1=an+d或an+1=qan（n∈N*）的條件，則滿足等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，可根據(jù)定義得出公差或公比，再找出首項即可求解.

（選自2014年廣東高職考T24）例2 已知數(shù)列{an}滿足，an+1=2+an（n∈N*），且a1=1.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn;

（2）設(shè)bn=2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

解 ?（1）Θan+1=2+anan+1-an=2，

∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，

∴an=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n+〖SX（〗n（n-1）〖〗2〖SX）〗×2=n2.

（2）Θbn=2an=22n-1，

∴Tn=2+23+25+Λ+22n-1=〖SX（〗2（1-4n）〖〗1-4〖SX）〗=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗（4n-1）.

例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，且an=〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗an-1（n∈N*，n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn.

解Θan=〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗an-1〖SX（〗an〖〗an-1〖SX）〗=〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗，

∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗的等比數(shù)列，

〖XC74.JPG;%20%20〗

評注 題目雖然沒有直接告訴我們是等差或等比數(shù)列，但要注意觀察它們是否滿足等差或等比數(shù)列的定義.

3.構(gòu)造法。

當(dāng)遞推公式為an+1=pan+q（其中p，q均為常數(shù)，且pq（p-1）≠0）時，可把原遞推公式化為an+1+m=p（an+m），其中m=〖SX（〗q〖〗p-1〖SX）〗，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

例4 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1=3an+1（n∈N*），

（1）求數(shù)列{an}的通項公式;（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解 （1）Θan+1=3an+1an+1+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗=3（an+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗），

設(shè)bn=an+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，則bn+1=3bn，

Θb1=a1+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗=〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，∴數(shù)列{bn}是首項為〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，公比為3的等比數(shù)列，

∴bn=〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗·3n-1=〖SX（〗3n〖〗2〖SX）〗，∴an+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗=〖SX（〗3n〖〗2〖SX）〗an=〖SX（〗3n-1〖〗2〖SX）〗.

（2）Sn=a1+a2+∧+an=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗[（3-1）+（32-1）+∧+（3n-1）]

=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗[（3+32+∧+3n）-n]=〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗（3n-1）-〖SX（〗n〖〗2〖SX）〗.

評注 本題為大家非常熟悉的“加m法”（即待定系數(shù)法）構(gòu)造新的等比數(shù)列{bn}，進而得出數(shù)列{an}的通項公式.由這一題型，運用數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想，有不少由遞推公式給出的數(shù)列可以非常順利地求得通項公式.

變式 ?已知數(shù)列{an}滿足an+1=〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗an+（〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗）n+1（n∈N*），且a1=〖SX（〗5〖〗6〖SX）〗，求數(shù)列{an}的通項公式.

解Θan+1=〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗an+（〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗）n+12n+1an+1=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗·2nan+1 ，

令bn=2nan，則bn+1=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗bn+1bn+1-3=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗（bn-3），

又Θb1-3=2×〖SX（〗5〖〗6〖SX）〗-3=-〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗，

∴數(shù)列{bn-3}是首項為-〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗，公比為〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗的等比數(shù)列，

∴bn-3=-〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗·（〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗）n-1bn=-2·（〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗）n+3，

∴2nan=-2（〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗）n+3an=〖SX（〗3〖〗2n〖SX）〗-〖SX（〗2〖〗3n〖SX）〗.

評注 形如an+1=pan+qn（p，q為常數(shù)）的遞推公式，通過兩邊同時除以qn，令bn=〖SX（〗an〖〗qn〖SX）〗，則可化為bn+1=mbn+n形式求解.

4. 公式法。

已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系，可運用公式an=〖JB（{〗S1，（n=1）Sn-Sn-1，（n≥2）〖JB）〗求通項或轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

（2007年廣東高職考T24）例5 已知數(shù)列{an}的前n項和為n（n+1），而數(shù)列{bn}的第n項bn等于數(shù)列{an}的第2n項，即bn=a2n.

（1）求數(shù)列{an}的通項an; （2）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

解 （1）①當(dāng)n=1時，a1=S1=1×2=2;

②當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，

由②得a1=2×1=2與①相符，所以an=2n.

（2）Θbn=a2n=2×2n=2n+1，

∴Tn=b1+b2+∧+bn=22+23+∧+2n+1=〖SX（〗4（1-2n）〖〗1-2〖SX）〗=2n+2-4.

（2016年廣東高職考T23）例6 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an+Sn=1（n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式;

（2）設(shè)bn，log2an（n∈N*）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

解 （1）Θan+Sn=1，∴an-1+Sn-1=1，

兩式相減得：an-an-1+Sn-Sn-1=02an-an-1=0an=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗an-1，

Θa1+S1=1a1=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗 ，

∴數(shù)列{an}是首項為〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，公比為〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗的等比數(shù)列，

∴an=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗×（〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗）n-1=〖SX（〗1〖〗2n〖SX）〗 .

（2）Θbn=log2an=log2〖SX（〗1〖〗2n〖SX）〗=-n，

∴Tn=b1+b2+∧+bn=-（1+2+∧+n）=-〖SX（〗n（n+1）〖〗2〖SX）〗.

評注 若題目給出的前n項和是Sn一個只與n有關(guān)的解析式（如例5），則運用公式an=〖JB（{〗S1，（n=1）S n-Sn-1，（n≥2）〖JB）〗即可求出通項公式，但要注意兩種情況能否合并.若Sn的解析式還與an有關(guān)（如例6），則一般可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，此時找出首項和公比即可求解.

二、求數(shù)列的前項和

1. 公式求和法。

直接運用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式進行求解.如例1、例2中的第2問求和，此處不再舉例.

2. 分組求和法。

把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列，然后運用等差、等比數(shù)列求和公式求解.

例7 已知數(shù)列{an}的首項a1=1，且an=2an-1+n-2（n=2，3，∧）數(shù)列{bn}的通項為bn=an+n（n∈N*）.

（1）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; （2）求數(shù)列{an}的通項及前n項和Sn.

解 （1）Θ〖SX（〗bn+1〖〗bn〖SX）〗=〖SX（〗an+1+n+1〖〗an+n〖SX）〗=〖SX（〗2an+n+1-2+n+1〖〗an+n〖SX）〗=2，

b1=a1+1=2，

∴數(shù)列{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.

（2）Θbn=2×2n-1=2n，∴an+n=2nan=2n-n，

∴Sn=a1+a2+∧+an=（2-1）+（22-2）+∧+（2n-n）

=（2+22+∧+2n）-（1+2+∧+n）

=〖SX（〗2（1-2n）〖〗1-2〖SX）〗-〖SX（〗（1+n）n〖〗2〖SX）〗=2n+1-〖SX（〗n（n+1）〖〗2〖SX）〗-2.

評注 在證明某數(shù)列是等比數(shù)列時必須要滿足等比數(shù)列的定義，即〖SX（〗an+1〖〗an〖SX）〗=q（n∈N*）（q為常數(shù)）.

3. 裂項相消法。

把每一項拆成正負兩項，使其求和時前后正負項抵消，只余有限幾項.

（2015年廣東高職考T24）例8 在等差數(shù)列{an}中，已知a4=9，a6+a7=28.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式; ?（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn;

（3）若bn=〖SX（〗1〖〗a2n-1〖SX）〗（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：Tn<〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗.

解 （1）Θ〖JB（{〗a4=9a6+a7=28〖JB）〗〖JB（{〗a1+3d=92a1+11d=28〖JB）〗〖JB（{〗a1=3d=2〖JB）〗，

∴an=3+2（n-1）=2n+1.

（2）Sn=3n+〖SX（〗n（n-1）〖〗2〖SX）〗×2=n2+2n.

（3）Θbn=〖SX（〗1〖〗a2n-1〖SX）〗=〖SX（〗1〖〗（2n+1）2-1〖SX）〗=〖SX（〗1〖〗4n（n+1）〖SX）〗=〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗（〖SX（〗1〖〗n〖SX）〗-〖SX（〗1〖〗n+1〖SX）〗），

∴Tn=b1+b2+∧+bn

=〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗[（1-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗）+（〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗-〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗）+∧+（〖SX（〗1〖〗n〖SX）〗-〖SX（〗1〖〗n+1〖SX）〗）]=〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗（1-〖SX（〗1〖〗n+1〖SX）〗）=〖SX（〗n〖〗4（n+1）〖SX）〗，

Θ〖SX（〗n〖〗n+1〖SX）〗<1，∴Tn<〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗.

評注 在求數(shù)列{bn}的前n項和時，巧把〖SX（〗1〖〗n（n+1）〖SX）〗拆成〖SX（〗1〖〗n〖SX）〗-〖SX（〗1〖〗n+1〖SX）〗，從而在求和時可以前后正負項抵消，僅余有限項求解.根式在分母時也可以考慮分母有理化，令其因式相消求和，如〖SX（〗1〖〗〖KF（〗2n-1〖KF）〗+〖KF（〗2n+1〖KF）〗〖SX）〗可化為-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗（〖KF（〗2n-1〖KF）〗-〖KF（〗2n+1〖KF）〗）.

4. 錯位相減法。

對于形如{an·bn}的差比數(shù)列（{an}是等差數(shù)列、{bn}是等比數(shù)列）求和，把每一項都乘以數(shù)列{bn}的公比q，向后錯一項，再對應(yīng)同次項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.

（改編自2009年廣東高職考T24）例9 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an=2an-1+2n-1（n=2，3，∧）.

（1）證明：數(shù)列{〖SX（〗an〖〗2n〖SX）〗}是等差數(shù)列;

（2）求數(shù)列{an}的通項公式;

（3）求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解 （1）Θan=2an-1+2n-1+2n-1〖SX（〗an〖〗2n〖SX）〗=〖SX（〗an-1〖〗2n-1〖SX）〗+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，

∴數(shù)列{〖SX（〗an〖〗2n〖SX）〗}是首項為〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，公差為〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗的等差數(shù)列.

（2）Θ〖SX（〗an〖〗2n〖SX）〗=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗（n-1）=〖SX（〗n〖〗2〖SX）〗 ，∴an=〖SX（〗n〖〗2〖SX）〗·2n=n·2n-1.

（3）ΘSn=a1+a2+∧+an=1+2×2+3×22+∧+n·2n-1∧∧①

∴2Sn=2+2×22+3×23+∧+n·2n∧∧②

①-②得：-Sn=1+2+22+∧+2n-1-n·2n=〖SX（〗1-2n〖〗1-2〖SX）〗-n·2n=2n-1-n·2n，

∴Sn=（n-1）·2n+1.

評注 在證明某數(shù)列是等差數(shù)列時必須要滿足等差數(shù)列的定義，即an+1-an=d（d為常數(shù)）.用錯位相減求和時，同次項相減的只有n-1項，此時求等比數(shù)列和時要注意項數(shù).當(dāng)然，如果第一項剛好與后面n-1項也成等比數(shù)列（如此例），則可用n項求和.

因為高職高考相比普通高考知識點較少，難度也沒有那么深，所以本文只是根據(jù)歷年高職高考的試題，分析它們的難度，介紹了求數(shù)列通項公式及前n項和的常用方法.而求通項公式還有累加法、累乘法等，求前n項和還有反序相加法、合并法等.考生要注意觀察題目條件，采用適當(dāng)方法，才能一擊即中，迎刃而解.

參考文獻

[1]李潔.構(gòu)造數(shù)列求通項問題的綜合策略[J]高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012，2：24-26.