朱菊芳

摘? 要：從數(shù)學(xué)學(xué)科的實質(zhì)和人的思維本源角度來看待數(shù)學(xué)思想，可以將其進行不同的分類，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生切身的體驗并在此基礎(chǔ)上進行反思、總結(jié)、分享和交流，使學(xué)生能夠在對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟中學(xué)會實際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想;視角;數(shù)學(xué)學(xué)科實質(zhì);思維本源

承載著數(shù)學(xué)文化實質(zhì)與表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)思想是文化傳承的重要內(nèi)容，博大精深的數(shù)學(xué)思想在各個領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重基本數(shù)學(xué)思想的滲透并初步幫助學(xué)生了解這些思想的內(nèi)涵與實質(zhì)，只有這樣，才能令學(xué)生從小梳理數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的意識并對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生不一樣的情感。

一、從數(shù)學(xué)學(xué)科實質(zhì)所看待的基本思想

1. 抽象思想

數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系這兩種內(nèi)容的抽象即為數(shù)學(xué)抽象內(nèi)容的本質(zhì)，從數(shù)學(xué)的本質(zhì)這一角度來看，這兩種關(guān)系的研究即為抽象思想的主要應(yīng)用 [1]。

小學(xué)數(shù)學(xué)抽象思想的應(yīng)用離不開物理背景的支撐，是基于現(xiàn)實現(xiàn)象的對象與關(guān)系上的抽象，對現(xiàn)實數(shù)量進行抽象并得到“數(shù)”，是經(jīng)常用到的，比如在“5個蘋果”中抽象出“5”這個數(shù)等?！岸唷焙汀吧佟笔菙?shù)量關(guān)系本質(zhì)上的體現(xiàn)，對其繼續(xù)抽象即轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)內(nèi)部的“大”和“小”的體現(xiàn)，“大小關(guān)系”這一本質(zhì)得到抽象與具體之后又可以對“序的關(guān)系”進行抽象。“大小關(guān)系”基礎(chǔ)上的“大一個”也使得加法由此產(chǎn)生，自然數(shù)與加法因此成為數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容。

長方形的窗戶、地板磚、手帕等都是小學(xué)生生活中經(jīng)常見到的物體和物體形狀，這里的“圖形”就是在現(xiàn)實物體形狀上的抽象，點、線、面由此成為幾何內(nèi)容中最為基本且重要的圖形。

2. 推理思想

從一個或多個已有的判斷獲得新的判斷的思維形式就是推理，演繹推理與合情推理是推理的兩種形式。借助經(jīng)驗與直覺并在已有事實的基礎(chǔ)上進行歸納、類比等，繼而獲得結(jié)果的過程叫作合情推理。在已有事實與確定的法則上進行符合邏輯推理的法則證明與計算即為演繹推理。一般來說，探索思路并獲得結(jié)論是合情推理的作用，證明結(jié)論則需要運用演繹推理。三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等是演繹推理過程中最常用的幾種形式。歸納推理與類比推理則是合情推理過程中最常用的形式，類比推理從某種意義上來說也是歸納推理。

合情推理，尤其是歸納推理在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比比皆是。數(shù)、運算、圖形等實質(zhì)、性質(zhì)以及規(guī)律的認識過程中都會用到歸納推理，為學(xué)生創(chuàng)造探索與發(fā)現(xiàn)的空間并使學(xué)生能夠在已有知識、經(jīng)驗、想象力的基礎(chǔ)上進行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造就是合情推理運用的價值所在。

3. 模型思想

對于數(shù)學(xué)模型的定義，到目前為止并沒有一個統(tǒng)一、準確的說法。一般來說，我們將用字母、數(shù)字、其他數(shù)學(xué)符號建立等式或不等式、圖表、圖象、框圖等的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達式叫作數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的建立都是為了某種目的達成而進行的客觀事物特征與內(nèi)在聯(lián)系的描述。數(shù)學(xué)模型存在廣義與狹義一說，任意的數(shù)、式、性質(zhì)以及定律等都包含在廣義的模型之內(nèi)，將現(xiàn)實數(shù)學(xué)問題抽象成式子、方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)指的則是狹義的模型。一般來說，對這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進行數(shù)學(xué)運算并獲得答案的過程即為數(shù)學(xué)建模。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型思想一般都是從廣義的角度進行應(yīng)用的。一般來講，小學(xué)數(shù)學(xué)建模包含從現(xiàn)實問題到直觀模型、從直觀模型到抽象的算式模型、從抽象的算式模型到現(xiàn)實問題這三個層次，建模的過程中可以從任意一個方面進行考慮并向其他兩個方面過渡。學(xué)生只有真正掌握了“有來有回”的建模過程，才能稱為學(xué)會了“建?！薄?/p>

二、從思維本源角度所看待的基本思想

分類思想、結(jié)構(gòu)化思想、對應(yīng)思想從人的思維本源角度來說也是特別重要且基本的數(shù)學(xué)思想，這些基本思想對于人類認識世界和數(shù)學(xué)發(fā)展的作用同樣不可估量 [2]。

1. 分類思想

分類這一基本活動在人的一生中時刻都進行著，人一出生可以說就被分類了。不僅如此，人在隨后的成長過程中也一直不斷地進行著分類或者被分類的活動。揭示事物之間規(guī)律與內(nèi)在聯(lián)系的分類實際上包含著研究事物屬性這一根本目的。無所不在的分類活動對于人類的影響廣泛且意義深遠，這種基本的認知活動實際上也是研究問題廣泛使用的方法，被稱為分類思想也就無可厚非了。

根據(jù)事物的形式和事物的實質(zhì)都可以進行分類。事實上，形式與性質(zhì)之間的相互依存也是研究事物所必須關(guān)注的，對事物進行分類之初尤為注重形式，這也是表象比內(nèi)在更容易為人矚目與把握的緣故。小學(xué)數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的分類思想在形式與實質(zhì)上均有所涉及，但我們往往會從形式的角度進行分類，以促進學(xué)生對事物外顯性質(zhì)的把握，這對于更深層次的實質(zhì)分類來說也是一種鋪墊，學(xué)生由此進行的對事物本質(zhì)屬性的把握也會更加有意義。

分類應(yīng)依據(jù)事物的性質(zhì)這一標(biāo)準進行，事物性質(zhì)的多樣性也決定了事物分類標(biāo)準的多樣性。分類研究過程中首先應(yīng)明確研究目的并選擇一定的標(biāo)準進行分類，分類標(biāo)準的選擇因為研究目的的不同而不同。不過，值得注意的是，分類活動只要一旦確定分類標(biāo)準，整個分類活動中就不應(yīng)隨時改變這一標(biāo)準。小學(xué)數(shù)學(xué)中無處不在的分類思想一般表現(xiàn)在如下幾個方面：

（1）教師給定唯一的分類標(biāo)準并請學(xué)生分類。

（2）學(xué)生自主確定分類標(biāo)準并進行分類，允許標(biāo)準不同，但每次分類活動的標(biāo)準應(yīng)該具有唯一性。

（3）教師給定分類結(jié)果并請學(xué)生研究其中的分類標(biāo)準，或者請學(xué)生在給定分類結(jié)果的基礎(chǔ)上進行每一類的命名活動。

2. 結(jié)構(gòu)化思想

形成結(jié)構(gòu)并從結(jié)構(gòu)的角度對事物本質(zhì)的過程進行把握即為此處所講的結(jié)構(gòu)化。從無序、雜亂到有序、有結(jié)構(gòu)是人的心理、學(xué)習(xí)需要、數(shù)學(xué)發(fā)展等多方面的需要。結(jié)構(gòu)化這一基本的數(shù)學(xué)思想對人類認識世界和數(shù)學(xué)發(fā)展都極具意義，數(shù)學(xué)內(nèi)容的研究都應(yīng)首先對其結(jié)構(gòu)進行歸屬，數(shù)學(xué)內(nèi)容在結(jié)構(gòu)上的準確定位能使研究者對其實質(zhì)、關(guān)聯(lián)的把握起到很好的作用 [3]。

例如，從結(jié)構(gòu)角度對小學(xué)數(shù)學(xué)教材進行審視，不難發(fā)現(xiàn)教材包含了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等諸多方面的內(nèi)容，這實際上就是數(shù)學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)上的結(jié)構(gòu)。再比如，從結(jié)構(gòu)的角度來看待現(xiàn)實世界中的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，一般就是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)這兩種類型，由此對應(yīng)的便是差比關(guān)系與倍比關(guān)系，很多和倍問題、差倍問題、植樹問題中存在的數(shù)量關(guān)系實際上都是差比關(guān)系與倍比關(guān)系的復(fù)合。

由于分類在事物結(jié)構(gòu)的形成中起著重大作用，因此結(jié)構(gòu)化和分類之間的關(guān)系是相當(dāng)密切的，小學(xué)階段更是如此。從某種意義上說，有序的集合結(jié)構(gòu)就是在分類的基礎(chǔ)上形成的。不僅如此，公理化也是結(jié)構(gòu)化的重要表現(xiàn)形式，只是公理化方法在小學(xué)數(shù)學(xué)中暫不涉及罷了。小學(xué)階段的結(jié)構(gòu)化一般經(jīng)歷分類、解析、能區(qū)別的單位要素、組合等諸多方面。

3. 對應(yīng)思想

對應(yīng)這一人類認識世界的本源思想、樸素思想對數(shù)學(xué)發(fā)展以及學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有著積極的意義。每個對象都從屬于某個集合或與某個集合相對應(yīng)，例如每個學(xué)生既從屬于他的家庭，又從屬于他所在的班級等。

兩個集合中元素之間的對應(yīng)關(guān)系是對應(yīng)思想最為主要的體現(xiàn)，一一對應(yīng)關(guān)系尤其如此。事實上，小學(xué)數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的一一對應(yīng)思想比比皆是，比如“自然數(shù)”的教學(xué)中，5個蘋果在數(shù)字的抽象上對應(yīng)的就是數(shù)字符號“5”。不僅如此，數(shù)的大小比較、無限集合元素個數(shù)的大小比較中也都有一一對應(yīng)思想的應(yīng)用，比如自然數(shù)集和偶數(shù)集合元素之間一一對應(yīng)關(guān)系的建立就說明了這兩個集合包含的元素在數(shù)量上是相等的;又如，令伽利略一直困惑的一道難題被康托利用一一對應(yīng)思想順利解決：自然數(shù)與平方數(shù)在個數(shù)上相比，哪個的個數(shù)更多？

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識、解題技巧等相比，在教學(xué)的方式上必然是不同的，學(xué)生只有對數(shù)學(xué)思想存在切身體驗與感悟并在此基礎(chǔ)上進行反思、總結(jié)、分享和交流，才能獲得數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟與實際應(yīng)用，否則滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)只是一紙空談。

參考文獻：

[1]? 黃曉學(xué). 論思維生惑點與數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007，16（2）：16-19.

[2]? 朱桂鳳，孫朝仁. 數(shù)學(xué)慢教育研究綜述[J]. 江蘇教育研究，2013，（7A）：47-50.

[3]? 張景中. 數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M]. 北京：中國少年兒童出版社，2011.