胡靜

[摘? 要] 交流互動(dòng)是數(shù)學(xué)課堂的必要環(huán)節(jié)，它延伸學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，促進(jìn)其思維活動(dòng)社會(huì)化;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的有效交流互動(dòng)是學(xué)生嘗試論證觀點(diǎn)、共享發(fā)現(xiàn)、肯定猜想的基本途徑. 文章以初中數(shù)學(xué)講評(píng)課為教學(xué)載體，重點(diǎn)探討在交流互動(dòng)領(lǐng)域提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)現(xiàn)途徑，以期拋磚引玉.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)交流;課堂教學(xué);講評(píng)課;素養(yǎng)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求培養(yǎng)學(xué)生走向社會(huì)、適應(yīng)新環(huán)境、獲得生存發(fā)展的核心能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的交流與互動(dòng)是實(shí)現(xiàn)這種關(guān)鍵能力生成的重要途徑. 所謂數(shù)學(xué)交流與互動(dòng)，是指學(xué)習(xí)者采取“聽、說(shuō)、讀、寫”等多種方式，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)交互的溝通與啟發(fā)，這也是學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、洞悉數(shù)學(xué)規(guī)律、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的一種涉及情感、意志、興趣等心理傾向的活動(dòng)[1]. 就初中數(shù)學(xué)講評(píng)課的教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)部分?jǐn)?shù)學(xué)教師教學(xué)過(guò)程中的交流互動(dòng)存在“方向、形式單一，重形式、輕質(zhì)量”的弊端，存在“師講生聽、只講不練、就題論題”的現(xiàn)象，而教師常抱怨的同一種數(shù)學(xué)題型、同類題目講解多遍，考試中仍然有不少學(xué)生還是出錯(cuò)的現(xiàn)象就不足為奇了. 實(shí)踐表明，一節(jié)優(yōu)質(zhì)講評(píng)課必須具有“師生互動(dòng)、生生互動(dòng)”的活動(dòng)環(huán)節(jié)，須給予學(xué)生表達(dá)思維過(guò)程、表達(dá)見解的空間，允許學(xué)生必要的“反評(píng)價(jià)”，引導(dǎo)學(xué)生有效歸納解題方法與技巧，鼓勵(lì)學(xué)生勇于說(shuō)題、改題和編題. 在此，筆者以一次試卷講評(píng)課為例，呈現(xiàn)卷中一道附加題的講評(píng)過(guò)程，介紹在交流互動(dòng)領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的途徑，希望能給同仁帶來(lái)一些幫助.

構(gòu)設(shè)合理情境，提供交流素材

問(wèn)題：若三角形中存在一條邊上的中線長(zhǎng)度恰好與此邊長(zhǎng)相等，這種三角形成為“趣味三角形”;已知Rt△ABC中，∠C=90°，且此三角形為“趣味三角形”，試求：tanA的值.

興趣是最好的老師，此處問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，能有效激發(fā)學(xué)生探究的興趣，引起學(xué)生主動(dòng)復(fù)習(xí)題中相關(guān)數(shù)學(xué)定理和命題的欲望，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建已有數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律與新構(gòu)圖形之間的聯(lián)系，給學(xué)生提供有價(jià)值的數(shù)學(xué)交流素材，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)交流“言之有物”.

給予思考空間，引導(dǎo)學(xué)生交流

上述三角形試題的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算并不復(fù)雜，由于題設(shè)中沒有給定固定的圖形，在確定直角頂點(diǎn)C的情況下，點(diǎn)A的位置存在兩種不同情況（如圖1所示），針對(duì)AD=BC，BD=AC兩種情況，數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流活動(dòng)，對(duì)題目進(jìn)行科學(xué)探究，形成不同的解題方案，學(xué)生在解題方案的交流比較中發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合可以優(yōu)化解題過(guò)程. 可見，數(shù)學(xué)交流讓學(xué)生在講評(píng)課上的主動(dòng)性得以充分發(fā)揮，有助于學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的提升.

靈活變式題組，助力交流層次

初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)解題方法的交流是課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的重要組成部分，作為教師還可以借助變式題組讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)體驗(yàn)和數(shù)學(xué)交流.

變式題組：已知三角形中存在一條邊上的中線長(zhǎng)度恰好與此邊長(zhǎng)相等，這種三角形稱為“趣味三角形”，此定義中的中線稱為“趣味中線”. （1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法畫出一個(gè)“趣味三角形”. （2）若△ABC為“趣味三角形”，則∠A的正切值是否確定？若確定請(qǐng)求出此值;若不確定，請(qǐng)你說(shuō)明理由. （3）若Rt△ABC為“趣味三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊BC=1，試求：Rt△ABC的“趣味中線”的長(zhǎng)度. （4）若Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，試求證：△ABC是“趣味三角形”.

在題目的講評(píng)過(guò)程中，根據(jù)新定義圖形進(jìn)行延伸探究，強(qiáng)化學(xué)生掌握尺規(guī)作圖的技巧. 顯然，新穎的變式題組激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)交流的積極性，多層次、階梯性的變式題組促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)交流關(guān)注度的提升，具有針對(duì)性的變式題組調(diào)動(dòng)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性. 變式題組的講評(píng)過(guò)程促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)交流層次感和綜合度的進(jìn)一步提升[2].

關(guān)注方法交流，拓展思維能力

數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，進(jìn)行“一題多解、多解歸一”的數(shù)學(xué)交流，能夠有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提升，有助于數(shù)學(xué)思想方法的提煉、應(yīng)用和遷移，有助于學(xué)生從“題海戰(zhàn)術(shù)”中解脫出來(lái)，有效體現(xiàn)出講評(píng)課“萬(wàn)變不離其宗”的特征.

變式題組：已知三角形中存在一條邊上的中線長(zhǎng)度恰好與此邊長(zhǎng)相等，這種三角形稱為“趣味三角形”. （1）如圖2所示，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求證：△ABC是“趣味三角形”. （2）如圖3所示，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=2θ，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和N從A點(diǎn)分別沿著AB-BC和AD-DC以相同的速率向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程記為S. ①若△AMN為“趣味三角形”且θ=45°，試求的值;②若動(dòng)點(diǎn)M和N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有一種情況使得△AMN成為“趣味三角形”，試求tanθ的取值范圍. （3）試探究在動(dòng)點(diǎn)M和N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，使得△AMN為“趣味三角形”的次數(shù)與tanθ值之間的關(guān)系.

這里呈現(xiàn)（2）問(wèn)中①的“一題多解”的過(guò)程：

方法1：在θ=45°的情況下，若點(diǎn)M處于AB邊上時(shí)，△AMN為等腰直角三角形，顯然不是“趣味三角形”;當(dāng)M處于BC邊上時(shí)，添加相關(guān)輔助線，如圖4所示，根據(jù)對(duì)稱性可知AC是MN的中垂線，結(jié)合幾何關(guān)系可得△AEF∽△CEN，即=====.

①若在△AMN中MN=AE，即=2，則=.

② 如圖5所示，若在△AMN中AM=NH，AH=HM，NG⊥AM于G，則NG是AH的中垂線，根據(jù)幾何關(guān)系可得NG=GH，則tan∠AMN===，即=+.

方法2：①如圖4所示，在Rt△ABM中AM2=AB2+BM2=a2+（S-a）2;在Rt△AEM中AM2=AE2+EM2=

a2+

2，綜上可得=. ②略.

方法3：①如圖4所示，AC=MN，AC為MN的中垂線，△AEF和△MEC為等腰直角三角形，則AE=2ME，即a=2×，即=. ②略.

筆者在教學(xué)過(guò)程中啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行一題多解，學(xué)生各自解題與交流后，引導(dǎo)其進(jìn)行解法總結(jié)：方法1屬于幾何構(gòu)造法，靈活添加輔助線將動(dòng)點(diǎn)M的軌跡轉(zhuǎn)換成線段進(jìn)行處理，構(gòu)造相似三角形，結(jié)合“趣味三角形”的特征進(jìn)行分類討論，此解法的優(yōu)點(diǎn)是“通俗易懂、運(yùn)算簡(jiǎn)單”，缺點(diǎn)是學(xué)生添加合適的輔助線比較困難. 方法2是觀察幾何圖形特征，借助Rt△ABM和Rt△AEM中的公共斜邊AE，運(yùn)用勾股定理構(gòu)建a與S的等量關(guān)系式進(jìn)行求解. 此解法優(yōu)點(diǎn)是解題思路簡(jiǎn)單、清晰，缺點(diǎn)是求解過(guò)程中的數(shù)學(xué)運(yùn)算量比較大，學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤. 方法3是根據(jù)方法2演變而來(lái)，根據(jù)圖形特征得出E是線段AC的三等分點(diǎn)，利用直角三角形關(guān)系，得出AE=2ME，進(jìn)而得出a與S的比值. 顯然，上述三種解法中都涉及“趣味三角形”兩種情況的分類討論，學(xué)生的數(shù)學(xué)交流滲透于“點(diǎn)評(píng)、小結(jié)、評(píng)價(jià)”環(huán)節(jié)之中，學(xué)生解決問(wèn)題的能力在“多解歸一”的教學(xué)環(huán)節(jié)中得以提升，進(jìn)而成功走出“就題論題”的困境，達(dá)到“以題論法、以題論道”的境界，學(xué)生在此數(shù)學(xué)交流過(guò)程中充分體驗(yàn)了“以形助數(shù)，以數(shù)化形”數(shù)學(xué)思想方法的妙用[3].

結(jié)束語(yǔ)

縱觀試題講評(píng)過(guò)程，師生的教學(xué)思維過(guò)程出發(fā)于“趣味三角形”陌生概念，展開于“趣味三角形”一系列變式探究，落實(shí)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升了學(xué)生逐步掌握處理“新定義題型”的基本思路與方法. “一題多解、一題多變”，促進(jìn)學(xué)生有效交流互動(dòng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂交流互動(dòng)的功能與效果，讓學(xué)生能順利“舉一反三、融會(huì)貫通”. 一線數(shù)學(xué)教師在講評(píng)課中應(yīng)注重夯實(shí)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，靈活挖掘數(shù)學(xué)試題的核心內(nèi)容，進(jìn)行針對(duì)性變式訓(xùn)練，搭好數(shù)學(xué)交流互動(dòng)的平臺(tái). 引領(lǐng)學(xué)生基于典型試題深度與廣度視角進(jìn)行探究，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)交流互動(dòng)領(lǐng)域素養(yǎng)的有機(jī)生成，突破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)講評(píng)課的立意與品位，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)講評(píng)課的教學(xué)價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]胡軍. 區(qū)域優(yōu)化初三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（7）：37-40.

[2]董鈞. 數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課教學(xué)之我見[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（5）：32-33，52.

[3]夏春南. 試卷講評(píng)要“接地氣”[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（5）：46-50.