金雪霞

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是課堂教學(xué)的導(dǎo)向，簡(jiǎn)約是指簡(jiǎn)單到只剩本質(zhì)，簡(jiǎn)約而有效的數(shù)學(xué)問題的能引發(fā)學(xué)生深度思考，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文針對(duì)知識(shí)生成處、例題變式處及問題剖析處，來(lái)談?wù)勅绾蝿?chuàng)設(shè)簡(jiǎn)約而有效的數(shù)學(xué)問題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)約;問題;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是課堂教學(xué)的導(dǎo)向，六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。如何理解簡(jiǎn)約？中國(guó)當(dāng)代教育家薛法根說(shuō)：“簡(jiǎn)約就是以簡(jiǎn)馭繁，返璞歸真，追求的是一種真、純、實(shí)、活的教學(xué)境界?！蓖ㄋ椎卣f(shuō)，簡(jiǎn)約就是簡(jiǎn)單到只剩本質(zhì)。創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)約而內(nèi)涵豐富的問題的才能引發(fā)學(xué)生深度思考，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文于知識(shí)生成處，例題變式處，及問題剖析處，來(lái)闡述筆者針對(duì)這個(gè)主題在日常教學(xué)中所進(jìn)行的嘗試和思考。

一、于知識(shí)生成處，思簡(jiǎn)約，培素養(yǎng)

筆者以浙教版九下《1.1 銳角三角函數(shù)（1）》為例，來(lái)談?wù)勅绾蝿?chuàng)設(shè)簡(jiǎn)約有效問題，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生成的過程，并從中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

本節(jié)是解直角三角形的起始課。在學(xué)生掌握了直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)后，進(jìn)一步來(lái)研究直角三角形的邊與角之間的關(guān)系;在相似三角形和函數(shù)概念基礎(chǔ)上，來(lái)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的概念。銳角三角函數(shù)是聯(lián)系直角三角形邊與角的橋梁，還是線段比值傳遞的有效工具，也是高中階段繼續(xù)研究三角函數(shù)必備的基礎(chǔ)。它無(wú)論是意義還是表示的符號(hào)，都有別于學(xué)生之前所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，這對(duì)本階段學(xué)生而言比較抽象，是本節(jié)課的難點(diǎn)。筆者針對(duì)本節(jié)核心知識(shí)及其內(nèi)在邏輯體系，結(jié)合本班學(xué)情，設(shè)計(jì)以下兩個(gè)個(gè)問題串來(lái)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷銳角三角函數(shù)的概念的生成過程：

問題串一：

問題1.如圖1，在含30°角的直角三角形中，若斜邊長(zhǎng)是6，則可以求哪些量？

問題2.如圖2，在含45°角的直角三角形中，若斜邊長(zhǎng)是6，則角的對(duì)邊長(zhǎng)是多少？

問題3.如圖3，在60°角所在直角三角形中，60°角的對(duì)邊與斜邊的比值是多少？

問題4.如圖4，在含40°角的直角三角形中，若斜邊長(zhǎng)是6，能求60°角的對(duì)邊長(zhǎng)嗎？

這個(gè)問題串驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考提煉得：直角三角形中特殊的角度帶來(lái)兩邊的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合勾股定理，三邊的比值就被唯一確定，從而根據(jù)任何一邊的長(zhǎng)就能求出其余兩邊的長(zhǎng)。從中體現(xiàn)了學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的意義，也為解直角三角形埋下伏筆。同時(shí)，本問題串讓學(xué)生初步感受：隨著銳角度數(shù)的變化，所在直角三角形邊的比值隨之變化，隨著銳角度數(shù)的確定，所在直角三角形邊的比值隨之唯一確定。再引到40°角的直角三角形問題，順利開啟本章學(xué)習(xí)并自然引出本節(jié)課題。這個(gè)簡(jiǎn)約的問題串貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，有著豐富的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

問題串二：

問題1.40°角所在直角三角形中，角的對(duì)邊與斜邊的比值是否唯一確定？

問題2.在直角三角形中，銳角α的對(duì)邊與斜邊的比值與銳角α的大小之間存在怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

問題3.銳角α的對(duì)邊與斜邊的比值是關(guān)于銳角α的一個(gè)函數(shù)嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)的名稱是什么？如何表示呢？

問題4.在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比值、對(duì)邊與鄰邊的比值與銳角α的大小之間又存在怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

問題串二的問題1通過學(xué)生思考、談?wù)?，借助相似三角形判定與性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)：40°角所在直角三角形中，角的對(duì)邊與斜邊的比值是唯一確定的。結(jié)合30°，45°和60°角的情況，讓學(xué)生充分感受：銳角α的對(duì)邊與斜邊的比值是銳角α的一個(gè)函數(shù)，從而銳角α的正弦函數(shù)概念呼之欲出。這個(gè)簡(jiǎn)約的問題串讓學(xué)生回顧函數(shù)概念，并自然生成正弦函數(shù)的概念及表示。在正弦學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生類比探究銳角α的余弦函數(shù)與正切函數(shù)。這一探索發(fā)現(xiàn)的過程落實(shí)了銳角三角函數(shù)的概念及表示，突出了本節(jié)重點(diǎn)，本節(jié)課的難點(diǎn)也隨之突破。通過由特殊到一般，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、于例題變式處，求簡(jiǎn)約，助素養(yǎng)

以浙教版九下《1.1 銳角三角函數(shù)（1）》為例，來(lái)談?wù)勅绾螌⒗}進(jìn)行有效的變式，從而創(chuàng)設(shè)出簡(jiǎn)約有效問題，來(lái)幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例題.如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，求∠A的正弦、余弦和正切.

通過此例題的自主學(xué)習(xí)，學(xué)生及時(shí)鞏固銳角三角函數(shù)概念，掌握直角三角形中銳角三角函數(shù)與邊之比的關(guān)系，并掌握解題規(guī)范。本例題同時(shí)讓學(xué)生感受：直角三角形中求銳角三角函數(shù)值常結(jié)合勾股定理。

針對(duì)本例作如下變式，來(lái)鞏固和提升本節(jié)核心知識(shí)，以幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：

變式1：在例題的條件下，求∠B的正弦、余弦和正切.

變式2：將例題中“AB=5，BC=3”，改為“AC：BC=4：3”.

變式3：已知sinA=0.6，求cosA，tanA.

變式4：如圖6，作Rt△ABC斜邊AB的高線CD，求∠ACD的正弦、余弦和正切.

這四個(gè)變式練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步掌握直角三角形中銳角的正弦、余弦和正切與邊之比的關(guān)系，學(xué)會(huì)銳角的正弦、余弦和正切求法。變式1結(jié)合例題可啟發(fā)學(xué)生由此特殊情況一般化到互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本節(jié)例題及4個(gè)變式，形成一串簡(jiǎn)約有效富有探究?jī)r(jià)值的問題，從中幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.于問題剖析處，促簡(jiǎn)約，重素養(yǎng)

以浙教版九下《1.1 銳角三角函數(shù)（1）》例題的變式4為例，來(lái)談?wù)勂饰鰡栴}時(shí)如何創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)約問題，進(jìn)而加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

該問題首先給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，對(duì)于本變式問題不同層次學(xué)生會(huì)有不同解決的辦法。先讓中等層次學(xué)生闡述解題思路，學(xué)生通常直接在Rt△ACD中進(jìn)行求解，這需要先計(jì)算AC，CD與AD的長(zhǎng)，能解決問題卻不是此題最優(yōu)的方法。教師肯定其解法，并及時(shí)總結(jié)其解法：通過尋找目標(biāo)角度所在的直角三角形進(jìn)行求解。緊跟著追問：有不同方法？有學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以轉(zhuǎn)化∠B的正弦、余弦和正切，在已知兩邊的Rt△ABC中直接求解即可。從中學(xué)生感受數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化之美，加強(qiáng)學(xué)生邏輯推理這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過簡(jiǎn)約的提煉和追問，讓學(xué)生經(jīng)歷問題的剖析過程，從中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，進(jìn)而加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

簡(jiǎn)約有效的問題，能引發(fā)學(xué)生探究知識(shí)的本源，在直擊問題的本質(zhì)的過程中喚醒與提升學(xué)生潛能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與能力的發(fā)展，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]華志遠(yuǎn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及構(gòu)成[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)版）， 2016，5：41-44.

[2]楊九詮.學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)三十人談[M].華東師范大學(xué)出版社，2017.