周雪兵

摘要：基于2018年江蘇省義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中主要考查邏輯推理能力的15個(gè)小題及6個(gè)師生問(wèn)卷題的監(jiān)測(cè)結(jié)果，對(duì)初中生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)提出教學(xué)建議：充分發(fā)揮學(xué)生的想象力;放手讓學(xué)生去體驗(yàn);引導(dǎo)學(xué)生掌握邏輯推理的方法。

關(guān)鍵詞：學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè) 邏輯推理能力 想象力 體驗(yàn) 推理方法

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的能力。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理具體表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果;二是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。邏輯推理能力從高到低可以分為A、B、C、D四個(gè)水平。

邏輯推理是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成要素，是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)具有重要作用。

2018年江蘇省義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，共設(shè)計(jì)了15個(gè)小題（下文提到的每一個(gè)試題都是其中之一，用字母與數(shù)字的組合進(jìn)行編號(hào)）主要用以考查學(xué)生的邏輯推理能力。本文根據(jù)全省46262名八年級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)、問(wèn)卷調(diào)查以及4573名數(shù)學(xué)教師的問(wèn)卷調(diào)查得到的數(shù)據(jù)分析，對(duì)初中生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、充分發(fā)揮學(xué)生的想象力

想象力是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展至關(guān)重要。在課堂教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想象力，對(duì)邏輯推理能力的提高有很大的促進(jìn)作用。本次測(cè)試中，試題M8AO061是以生活中平板電腦的放置為模型，要求學(xué)生想象成所學(xué)的平面幾何圖形，涉及三角形內(nèi)外角關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題，但學(xué)生的平均得分率僅為84.9%，反映了學(xué)生空間想象力的欠缺。調(diào)查問(wèn)卷中，我們?cè)O(shè)置了關(guān)于師生“進(jìn)行尺規(guī)作圖教學(xué)（學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖）時(shí)，讓學(xué)生明白（老師讓我們思考）如何作圖、為什么這樣作圖”的問(wèn)題，結(jié)果表明，部分教師的教學(xué)依然過(guò)于教條，限制了學(xué)生想象力的發(fā)揮，從而造成了有關(guān)作圖的試題（如M8AS163）的平均得分率僅為53.4%的狀況。

試題M8BS193小明和小莉玩搭火柴棒游戲。用3根、5根、7根火柴棒首尾依次相接，搭成一個(gè)三角形，如表1所示。

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（3）用18根火柴棒首尾依次相接，搭三角形，請(qǐng)你列出所有可能搭出的三角形三邊火柴棒的根數(shù)。

本題主要用來(lái)測(cè)試學(xué)生“從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果”這一邏輯推理具體表現(xiàn)的水平狀況。本題要求學(xué)生能從“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”出發(fā)，結(jié)合已知條件和示例，通過(guò)分類討論，推斷某些結(jié)果。能正確解答本題的學(xué)生在邏輯推理上處于A水平，具有知識(shí)創(chuàng)新的能力。本次測(cè)試中，本題的平均得分率為64%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在此題上的平均得分率分別為83.7%、53.5%、26.3%和6.1%。

本題典型的錯(cuò)誤為三角形邊長(zhǎng)的重復(fù)、遺漏。訪談結(jié)果表明，部分學(xué)生審題后不能形成正確的想象，導(dǎo)致不能準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形。

想象力可以促使學(xué)生豐富自己的想象素材，擴(kuò)大自己的知識(shí)范圍;可以幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行形象加工，形成正確的表象，從而內(nèi)化為合情推理的能力。

培養(yǎng)學(xué)生想象力，課堂教學(xué)要關(guān)注以下三個(gè)方面：一是創(chuàng)設(shè)民主的氛圍，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)言，鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出不同的見(jiàn)解。二是創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生想象的問(wèn)題或情境，引導(dǎo)學(xué)生提出自己的想法，幫助學(xué)生進(jìn)行深入的思考，從而促使學(xué)生的邏輯推理形式從無(wú)序到有序。三是鼓勵(lì)學(xué)生的質(zhì)疑精神，讓學(xué)生通過(guò)質(zhì)疑的方式來(lái)進(jìn)行更多不同角度的思考與辨別，從而了解事物的不同側(cè)面，理解知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)思考發(fā)散與聯(lián)結(jié)，更有效地開(kāi)發(fā)邏輯思維能力。

二、放手讓學(xué)生去體驗(yàn)

體驗(yàn)重在個(gè)體親身經(jīng)歷，強(qiáng)調(diào)對(duì)事物直接感知，從而形成自己的經(jīng)驗(yàn)。有效的教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)過(guò)程，關(guān)注學(xué)生的情感生成過(guò)程。調(diào)查問(wèn)卷中，我們?cè)O(shè)置了關(guān)于師生“進(jìn)行較復(fù)雜的證明題教學(xué)時(shí)（對(duì)于較復(fù)雜的證明題），引導(dǎo)學(xué)生（老師讓我們）先獨(dú)立思考，再討論交流”的問(wèn)題，結(jié)果表明，在一些地區(qū)，存在灌輸式教學(xué)的模式，剝奪了學(xué)生自我體驗(yàn)的過(guò)程。

試題M8AO041在如圖1的方格紙中，下列結(jié)論正確的是（）

A. AD∥BCB. AE∥DF

C. BC∥EFD. AD∥EF

本題主要用來(lái)測(cè)試學(xué)生“從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果”這一邏輯推理具體表現(xiàn)的水平狀況。本題要求學(xué)生能從“平行線的判定方法”出發(fā)，結(jié)合方格紙中格點(diǎn)的特征和對(duì)格點(diǎn)的已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理推斷。能正確解答本題的學(xué)生在邏輯推理上處于C及以上水平，具有知識(shí)理解的能力。本次測(cè)試中，本題的平均得分率為93.3%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在此題上的平均得分率分別為98.8%、95.6%、86.7%和55.4%。

訪談結(jié)果表明，部分學(xué)生對(duì)方格紙背景下平行線的判定方法了解不清，或?qū)Ψ礁裰刑N(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)不理解。這反映了在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，部分教師對(duì)學(xué)生的課堂體驗(yàn)的推進(jìn)不夠。

在“平行線”教學(xué)過(guò)程中，方格紙是學(xué)生熟知的體驗(yàn)工具。教師要講清方格紙中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括相等的線段、相等的角、全等的三角形等，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)經(jīng)過(guò)格點(diǎn)的不同直線，并對(duì)它們的位置關(guān)系進(jìn)行直觀判斷，再加以驗(yàn)證。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往重演繹，輕歸納、類比，滿足于證明現(xiàn)成的結(jié)論，而很少讓學(xué)生經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的活動(dòng)過(guò)程。而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)結(jié)論與證明結(jié)論同樣重要，所以，在培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的同時(shí)，也應(yīng)該重視合情推理能力的培養(yǎng)。邏輯推理能力不是與生俱來(lái)的，需要通過(guò)學(xué)習(xí)體驗(yàn)才能提高，所以，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)教育的中心任務(wù)。初中生正處于推理能力發(fā)展的初期，也是推理能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，所以，課堂教學(xué)中，要為學(xué)生提供豐富的情境，給學(xué)生足夠的時(shí)間和機(jī)會(huì)，促成學(xué)生主動(dòng)地“做數(shù)學(xué)”“想數(shù)學(xué)”。

放手讓學(xué)生去體驗(yàn)，課堂教學(xué)要關(guān)注以下三個(gè)方面：一是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)學(xué)具的操作性、直觀性等功能，讓學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)采取畫(huà)一畫(huà)、折一折、做一做等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式，有助于學(xué)生邏輯推理能力的養(yǎng)成。二是給學(xué)生足夠的時(shí)間去討論、交流，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行小組合作式實(shí)踐活動(dòng)，如調(diào)查統(tǒng)計(jì)、測(cè)量計(jì)算等，有助于學(xué)生理解和掌握知識(shí)，形成有效的思維習(xí)慣與方式。三是設(shè)計(jì)一些生活情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)去思考解決問(wèn)題，養(yǎng)成從多角度認(rèn)識(shí)事物的習(xí)慣。比如，在“角”的教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生直觀地感受一些角的數(shù)量、形狀、大小，積累一些生活中常見(jiàn)的經(jīng)驗(yàn)，從而讓學(xué)生對(duì)角度的直觀判斷不要出現(xiàn)大的偏差，有利于學(xué)生進(jìn)行合情推理。

三、引導(dǎo)學(xué)生掌握邏輯推理的方法

邏輯推理能力是正確、合理思考的能力，是對(duì)事物進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力，是采用科學(xué)的邏輯方法準(zhǔn)確而有條理地表達(dá)思維過(guò)程的能力。本次測(cè)試中，試題M8BS091是以平行四邊形為背景，考查平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)的簡(jiǎn)單問(wèn)題，但學(xué)生的平均得分率僅為63.9%，反映了學(xué)生思維方法上的欠缺。調(diào)查問(wèn)卷中，我們?cè)O(shè)置了關(guān)于師生“對(duì)于幾何證明題，引導(dǎo)學(xué)生（老師引導(dǎo)我們）用分析的方法尋找證明的思路，再有條理地表達(dá)證明過(guò)程”的問(wèn)題，結(jié)果表明，一些教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)方法的養(yǎng)成不夠重視。

試題M8BS151、M8BS152如圖2，一塊四邊形紙板剪去△DEC后，得到四邊形ABCE，測(cè)得∠BAE=∠BCE=90°，BC=CE，AB=DE。

（1）能否在四邊形紙板ABCE上只剪一刀，使剪下的三角形與△DEC全等？請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）求∠D的度數(shù)。

本題主要用來(lái)測(cè)試“從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算”這一邏輯推理具體表現(xiàn)的水平狀況。本題要求學(xué)生能“從三角形全等的判定定理出發(fā)，按照已有的定理進(jìn)行證明”，并能“從三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)外角的關(guān)系出發(fā)，按照已有的定理或法則進(jìn)行計(jì)算”。能正確解答本題的學(xué)生在邏輯推理上處于C及以上水平，具有知識(shí)理解的能力。本次測(cè)試中，本題兩小問(wèn)的平均得分率分別為78.2%、67.9%;數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在第（1）問(wèn)上的平均得分率分別為98.5%、75.7%、26.9%和7.1%，在第（2）問(wèn)上的平均得分率分別為96.3%、53.0%、10.3%和1.6%。

訪談結(jié)果表明，部分學(xué)生不理解“只剪一刀”的含義，或不能理解剪下的只能是一個(gè)三角形，從而不能找到與△DEC全等的三角形;部分學(xué)生不能證明∠ABC=∠DEC，從而不能正確證明兩個(gè)三角形全等;部分學(xué)生不能由第（1）問(wèn)中全等的結(jié)論得到AC=DC或∠ACD=90°，從而不能求得∠D的度數(shù);部分學(xué)生作輔助線不正確，連接了BE，從而不能進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化;部分學(xué)生知道∠BAC=∠D，但是不能利用條件求出∠BAC的度數(shù)，從而不能得到正確的答案。

因此在教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生掌握邏輯推理的一些基本方法，這有助于學(xué)生邏輯推理能力的養(yǎng)成與提高。比如，“尺規(guī)作圖”的教學(xué)過(guò)程實(shí)際上是一種對(duì)圖形的推理過(guò)程。在“尺規(guī)作圖”教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生思考“直尺、圓規(guī)可以用來(lái)做什么？”“要得到圖形，需要做什么？為什么這樣做？”等問(wèn)題。

“圖形與幾何”領(lǐng)域的證明是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，也是阻礙學(xué)生邏輯推理能力發(fā)展的一個(gè)障礙。要突破這一難點(diǎn)和障礙，我們的課堂教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生掌握邏輯推理的方法。具體的措施有以下四點(diǎn)：

一是引導(dǎo)學(xué)生掌握三段論推理的基礎(chǔ)。三段論推理是重要的演繹推理形式，它是由兩個(gè)包含著一個(gè)共同項(xiàng)的性質(zhì)判斷推出另一個(gè)性質(zhì)判斷的推理。三段論中的三個(gè)性質(zhì)判斷分別為大前提、小前提和結(jié)論：包含大項(xiàng)的前提為大前提，包含小項(xiàng)的前提為小前提，包含大項(xiàng)和小項(xiàng)的判斷為結(jié)論。

二是引導(dǎo)學(xué)生用綜合法和分析法去思考問(wèn)題。“由因?qū)Ч钡乃季S方法就是綜合法，它是一種順?biāo)季S，由已知條件出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)的法則，不斷分析得到所要的結(jié)果?！皥?zhí)果索因”的思維方法就是分析法，它是一種逆思維，由要證的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)的法則進(jìn)行逆向分析，從而逐漸接近已知條件。

三是關(guān)注證偽在邏輯推理能力培養(yǎng)過(guò)程中的作用。教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種由知識(shí)的不確定性到確定性的漸進(jìn)過(guò)程。知識(shí)的不確定性階段是指提出問(wèn)題和判斷問(wèn)題的階段。證偽在這一階段扮演著重要的角色：證實(shí)性知識(shí)與證偽性知識(shí)相結(jié)合，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新的必然選擇。比如，在判斷一個(gè)等式不成立時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生舉例進(jìn)行說(shuō)明。再如，在判定平行四邊形的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)一組對(duì)邊相等、一組對(duì)角相等的四邊形是不是平行四邊形，不能做出準(zhǔn)確、快速的判斷，教師要慢節(jié)奏地引導(dǎo)學(xué)生去嘗試證明，在證明過(guò)程中遇到困難時(shí)嘗試舉出如下反例：

如圖3，△ABC中，AB=AC，在BC上取一點(diǎn)D，連接AD，把△ADC剪下并翻轉(zhuǎn)得如圖所示的四邊形ABDC。因?yàn)锳B=AC，所

以∠B=∠C。因?yàn)榉D(zhuǎn)，所以AC=CD，所以AB=CD。在四邊形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，顯然，四邊形ABDC不是平行四邊形。

四是關(guān)注解題在邏輯推理能力培養(yǎng)過(guò)程中的作用。波利亞分解解題的思維過(guò)程得到“怎樣解題”的表，將解題的具體過(guò)程分為“弄清問(wèn)題”“擬定計(jì)劃”“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”四大步驟。在解題教學(xué)中，我們要利用波利亞的探索法，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的邏輯推理能力就會(huì)得到良好的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1] 董林偉，喻平.基于學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)的初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)顩r調(diào)查[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（1）.