孫成琪

摘 要：空間向量知識(shí)為幾何問題的解決提供了很大的便利。幾何問題一般都非常抽象并且復(fù)雜，而空間向量知識(shí)能夠降低幾何問題的復(fù)雜程度，轉(zhuǎn)化成簡單的代數(shù)問題，能夠幫助人們更好的研究幾何問題，因此在高中數(shù)學(xué)中具有非常重要的地位。本文針對(duì)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的闡述與分析，將空間向量作為立體幾何的解題工具，簡化立體幾何的題目難度，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，解析空間向量如何將立體幾何問題變得更具程序性以及可推理性。

關(guān)鍵詞：空間向量;立體幾何;應(yīng)用分析

向量知識(shí)在立體幾何中的應(yīng)用是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一場(chǎng)革命，它為幾何問題的解決提供了更加清晰的思路[1]。由于向量具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，能夠?qū)缀沃械奈恢脝栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)量問題，并且能夠依據(jù)題目構(gòu)造出空間直角坐標(biāo)系，使幾何問題得以簡化，求解思路避開幾何中的復(fù)雜位置，清晰、流暢解題[2]。本文通過解析具體例題，對(duì)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)分析。

一、向量知識(shí)在幾何解題中的作用

當(dāng)高中數(shù)學(xué)中引入向量知識(shí)后，復(fù)數(shù)在解題中的意義逐漸被向量取代，向量在數(shù)學(xué)解題中逐漸占據(jù)重要地位[3]。向量的引入使平面與空間問題的解決更加簡化，是促進(jìn)幾何問題代數(shù)化的重要媒介

向量法分為兩部分，一是平面向量，另外則是空間向量[4]。前者能夠應(yīng)用在不等式問題的解答中，同時(shí)還能簡化證明過程，例如平行問題、共線問題等。還能夠解決求值問題，例如距離相向問題等。而空間向量在立體幾何中的應(yīng)用主要包括下面兩種類型，一種是位置關(guān)系問題，另一種則是度量問題。前者包括線線平行、線面平行等，后者則包括點(diǎn)面距離、角度問題等。向量在立體幾何問題的解決中具有明顯優(yōu)勢(shì)，能夠?qū)⒎彪s的空間幾何問題簡單化，使其簡便易懂?？臻g向量的引入，還能夠彰顯數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的完美優(yōu)勢(shì)。

二、應(yīng)用向量解決立體幾何問題的步驟

應(yīng)用向量解決立體幾何問題主要分為下面幾個(gè)步驟[5]：第一、創(chuàng)建空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸盡量選取已經(jīng)存在的三條線，如果沒有這樣已經(jīng)相互垂直的三條線，則需要先找到相互垂直的兩條線，再繪制出第三條線，使其分別垂直于這兩條線。第二、標(biāo)注解題時(shí)會(huì)用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，該步驟一定要仔細(xì)認(rèn)真。第三、寫出解題所需的向量坐標(biāo)，坐標(biāo)一定是由終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始坐標(biāo)。第四、應(yīng)用已經(jīng)列出的向量坐標(biāo)解決問題，解決問題過程中一定要運(yùn)用正確的公式，認(rèn)真對(duì)待運(yùn)算過程。

三、空間向量在立體幾何中的具體應(yīng)用

空間向量在立體幾何問題解決中的應(yīng)用主要包括以下幾個(gè)方面：

3.1空間向量對(duì)于線面成角問題的解決

線面成角在立體幾何中非常常見，但是傳統(tǒng)的解題方法非常繁瑣，將空間向量引入到此類解題中，能夠?qū)⒕€面成角問題變得更加簡單，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變成簡易易懂的代數(shù)問題。

例1：圖1正方體中，求對(duì)角線A1B與面BB1D1D之間的形成的角。

該題目解決的關(guān)鍵是求出面的法向量，對(duì)于題目中已經(jīng)存在與待求平面相垂直的直線的時(shí)候，該直線就可視為面的法向量;對(duì)于題目中不存在與待求平面相垂直的直線的時(shí)候，則需要假設(shè)出待求平面的法向量，通過方程求出法向量，再將其帶入到題目中。

3.2空間向量對(duì)于面面成角問題的解決

面與面之間的成角問題是立體幾何中的常見考察題型，該題型對(duì)于初學(xué)者而言具有較大的難度，但在引入向量后，難度將得到降低，能夠讓題目得到較容易的解答。

求兩個(gè)面之間的夾角往往可將其轉(zhuǎn)化成這兩個(gè)待求面的法向量之間的夾角問題，創(chuàng)建直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)表示出法向量，再結(jié)合圖形判斷兩個(gè)平面之間的夾角與法向量之間夾角的關(guān)系，求出法向量之間的夾角，進(jìn)而求出兩個(gè)平面之間的夾角。

3.3空間向量對(duì)于點(diǎn)面距離問題的解決

點(diǎn)與面之間的距離問題也是立體幾何中的常見題型，由于立體幾何抽象性強(qiáng)，此類題型的解題難度較大，引入向量知識(shí)之后，解題過程簡化，解題效率將得到大幅提高。

例3：圖3的正方形ABCD邊長為1，PD垂直于平面ABCD，PD=1，E為AB的中點(diǎn)、F為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D與平面PEF之間的距離為多少？

解題分析：創(chuàng)建圖3中的空間坐標(biāo)系，則下列點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：D（0，0，0），P（0，0，1），E（1，1/2，0），F(xiàn)（1/2，1，0）。

求解點(diǎn)與平面之間的距離的時(shí)候，有些點(diǎn)在平面中的射影位置不好尋找，則需要運(yùn)用向量知識(shí)解決此類問題，向量的引入能夠減少輔助線，降低解題難度。

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，不僅能夠解決線面成角問題、面面成角問題以及點(diǎn)到平面之間的距離，同時(shí)還能夠解決異面直線之間的距離、線線平行問題、面面垂直問題等，這些問題共同的特點(diǎn)是題目均存在一定的難度，且頻繁出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)的試卷中，但傳統(tǒng)的解題方法解決此類問題非常繁瑣，引入空間向量后，能夠?qū)?fù)雜的結(jié)合問題轉(zhuǎn)變成簡易易懂的代數(shù)問題。

結(jié)束語

總而言之，向量知識(shí)在立體幾何中的應(yīng)用對(duì)于降低復(fù)雜的空間幾何問題具有非常重要的意義。在幾何問題中合理應(yīng)用向量知識(shí)，將空間問題中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)變成數(shù)量關(guān)系，減少輔助線的應(yīng)用，進(jìn)而使幾何問題得以簡化、使問題更加簡單。向量知識(shí)的應(yīng)用，向人們展示出一種新的解題思想與解題方法，它突破了傳統(tǒng)的解題思想，同時(shí)也為今后探求新的解題思想提供了有效的促進(jìn)效果，培養(yǎng)我們的空間想象能力以及探索創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)

[1]馬彥彬.向量在立體幾何中的應(yīng)用研究[J].考試周刊，2018（40）：83.

[2]韓子萱.空間向量在立體幾何中的運(yùn)用[J].中華少年，2018（02）：285.

[3]馬建華.高中數(shù)學(xué)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用[J].考試周刊，2017（81）：87.

[4]王千迎.空間向量在立體幾何中推廣與運(yùn)用[J].課程教育研究，2017（38）：140.

[5]孫平.掌握空間向量神器決戰(zhàn)高考立體難題——例析空間向量在立體幾何中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2017，36（03）：57-62.