張維強(qiáng)

摘? 要：初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了猜測(cè)、模仿、舉例、邏輯推理等基本思維模式外，還需要?jiǎng)?chuàng)新思維，筆者從歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，挖掘知識(shí)內(nèi)涵與拓展，將問題一般化，解題訓(xùn)練，探索結(jié)論與規(guī)律，探索和解決問題等方面進(jìn)行了探索。提出了最優(yōu)化思想，發(fā)散思維，全局觀念，多點(diǎn)式逆向思維，特殊化思維，用跨界思維等思維方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);創(chuàng)新思維;方法

【中圖分類號(hào)】G633.6????? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A?????? 【文章編號(hào)】1005-8877（2019）17-0072-02

初中生的數(shù)學(xué)思維模式，從最初的猜測(cè)、模仿、舉例等直觀形象思維到類比，歸納、邏輯推理等抽象思維的發(fā)展，是一個(gè)漸進(jìn)和螺旋上升的過程。創(chuàng)新思維是這種發(fā)展的助推器。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，創(chuàng)新應(yīng)該有兩層含義：一是針對(duì)學(xué)習(xí)者個(gè)人的，自己發(fā)現(xiàn)和提出問題、獨(dú)立分析問題和解決問題，整個(gè)學(xué)習(xí)的過程可以看成是個(gè)人創(chuàng)新的過程。其二是針對(duì)集體學(xué)習(xí)、合作探究的，對(duì)于容量較大的章節(jié)知識(shí)歸納整理，或是有一定難度的綜合問題的求解，通過大家的聯(lián)想、提議、討論、啟發(fā)和整合，找出相對(duì)合理、有效的解決方案?？梢钥醋魇且环N集體創(chuàng)新的過程。

我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治教授提出：“數(shù)學(xué)教育與教學(xué)的目的之一，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)美的審美能力，從而既有利于激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的愛好，也有助于增長(zhǎng)他們的創(chuàng)造發(fā)明能力”。本文從數(shù)學(xué)美的角度探索初中學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

1.用最優(yōu)化思想總結(jié)、歸納數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷積累數(shù)學(xué)知識(shí)、技能及思想方法的過程。另外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一個(gè)與遺忘斗爭(zhēng)的過程。為了解決一邊學(xué)習(xí)一邊遺忘的問題，就必須經(jīng)常對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能及方法進(jìn)行總結(jié)和歸納。學(xué)生在諸如列舉法、列表法、畫知識(shí)方框圖、畫知識(shí)樹、思維導(dǎo)圖，制作卡片……等方法中，選擇最適合自己的總結(jié)歸納方法，也是一種知識(shí)再創(chuàng)新的過程。例如，對(duì)乘法公式的總結(jié)歸納，有的同學(xué)選擇卡片式的方法就很有創(chuàng)新特色。有公式及公式推導(dǎo)的過程，既有代數(shù)方法，也有幾何意義的直觀圖示，背面還有常見應(yīng)用舉例。這種卡片既可以自己使用，也可以同學(xué)間相互交流，是一種很好的學(xué)習(xí)資料。思維導(dǎo)圖中添加備注、多媒體和遮罩，板面既整潔又美觀，又易于操作，對(duì)所學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié)是個(gè)不錯(cuò)的創(chuàng)新方法，值得推廣。而對(duì)于可以類比的數(shù)學(xué)知識(shí)采取列表對(duì)照是比較理想的辦法。對(duì)于相對(duì)簡(jiǎn)單的內(nèi)容則可以采用列舉法、畫知識(shí)方框圖、畫知識(shí)樹等都是很好的想法。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況，靈活選用合適的方法進(jìn)行知識(shí)、技能的歸納總結(jié);或通過集體的創(chuàng)新活動(dòng)對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，同時(shí)追求美的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，一定會(huì)收到很好的效果。

2.用發(fā)散思維挖掘知識(shí)內(nèi)涵與拓展

“創(chuàng)造能力=知識(shí)量×發(fā)散思維能力”。發(fā)散思維是一個(gè)重要的創(chuàng)新思維，從思維的一個(gè)起點(diǎn)開始，由此及彼展開豐富的聯(lián)想，從對(duì)立面的聯(lián)想，到不同維度的探索，從內(nèi)部到外部，或從左及右，或從上到下探索問題的新情況，新結(jié)論。發(fā)散思維既鍛煉了學(xué)生思維的靈活性，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生拓展了探索的深度和廣度。例如，絕對(duì)值的概念實(shí)質(zhì)上是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的比較。從原點(diǎn)進(jìn)行發(fā)散思維，可以思考數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與其它點(diǎn)之間距離的比較，這種創(chuàng)新的思維直接導(dǎo)入了數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間距離的比較，由此發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間距離等于它們所表示數(shù)的差的絕對(duì)值。從圓周角聯(lián)想到頂點(diǎn)在圓外或圓內(nèi)且兩邊與圓相交的角;或頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊反向延長(zhǎng)線與圓相交的角;或一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角等，從這里便會(huì)找到一系列全新的角，如圓內(nèi)接多邊形的外角、圓內(nèi)的角、圓外的角、弦切角。通過圓周角與圓心角之間存在等量關(guān)系，讓學(xué)生驚喜的是這些拓展的角與圓相關(guān)的角之間還存在著等量關(guān)系，其中圓內(nèi)接多邊形的外角與其不相鄰的內(nèi)角和存在相等關(guān)系，弦切角與弦的內(nèi)對(duì)角也存在相等關(guān)系。這些都是這種創(chuàng)新思維的應(yīng)用。學(xué)生在體驗(yàn)這種數(shù)學(xué)美的同時(shí)，更全面、更深入地了解了與圓相關(guān)的角的特性，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)與探索數(shù)學(xué)的熱情。

3.用全局觀念將問題一般化

數(shù)學(xué)引入字母和變量之后，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的轉(zhuǎn)變，也使得數(shù)學(xué)問題可以運(yùn)用全局觀念進(jìn)行解決。二元一次方程的求根公式就是從一般化的角度解決解二元一次方程的問題。又如初一學(xué)生學(xué)習(xí)二元一次方程時(shí)就已經(jīng)滲透二元一次方程的圖像是一條直線，如果初二學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，能從二元一次方程的圖像這個(gè)高度出發(fā)，用全局觀念全面考慮ax+by+c=0中a、b、c的變化情況。利用圖像化的思想方法，可以創(chuàng)造性地得出y=m和x=n這兩種重要的直線。這樣，二元一次方程的圖像就有六種不同類型的直線。當(dāng)a=0時(shí)，得到的是平行于x軸的一條直線（如圖1）。而當(dāng)b=0時(shí)，得到的是平行于y軸的一條直線（如圖2）。這種平行于y軸的直線為初三學(xué)習(xí)拋物線的對(duì)稱軸打下了基礎(chǔ)。當(dāng)a、b都不等于0時(shí)，從a、b 的正負(fù)情況分為（1）當(dāng)a>0，b>0時(shí)，圖像是經(jīng)過第一、二、三的一條直線;（2）當(dāng)a>0，b<0時(shí)，圖像是經(jīng)過第一、三、四的一條直線;（3）當(dāng)a<0，b>0時(shí)，圖像是經(jīng)過第一、二、四的一條直線;（4）當(dāng)a<0，b<0時(shí)，圖像是經(jīng)過第二、三、四的一條直線;這與課本中一次函數(shù)圖像的四種情形相符合。通過個(gè)人的獨(dú)立思考和集體的交流，創(chuàng)新思維會(huì)為學(xué)生打開了知識(shí)的另一扇窗口，拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。

4.用多點(diǎn)式逆向思維進(jìn)行解題訓(xùn)練

數(shù)學(xué)命題通過逆向思維可以將其題設(shè)與結(jié)論互換得到其逆命題，在這些逆命題中，有許多與原命題同為真命題，如果命題的題設(shè)或結(jié)論不止一項(xiàng)，則通過同等項(xiàng)目對(duì)換后會(huì)得到更多的逆命題，這為提供了更廣擴(kuò)的探索空間，如果結(jié)合特殊化與一般化的思維，改變題設(shè)或結(jié)論的屬性范圍，可以變幻出許多新的題型，讓學(xué)生從多角度對(duì)問題進(jìn)行全方位的探索，把一類問題徹底解決，不失為一種創(chuàng)新的訓(xùn)練方法，例如，勾股定理與其逆定理的探索就是逆向思維的典型實(shí)例;又如八年級(jí)下冊(cè)第69頁復(fù)習(xí)題14：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證AE=EF。這個(gè)問題有四個(gè)條件：（1）四邊形ABCD是正方形，（2）E是邊BC的中點(diǎn)（3）∠AEF=90°（4）外角的平分線CF。而結(jié)論只有一個(gè)：AE=EF。從互逆的角度出發(fā)，通過一對(duì)一對(duì)換條件和結(jié)論可以得出四個(gè)命題;如果從改變屬性的角度出發(fā)，如改變“（2）E是邊BC的中點(diǎn)”為E為直線BC上任意一點(diǎn);或改變“（1）四邊形ABCD是正方形”為矩形ABCD或正多邊形ABCD，或改變“（3）∠AEF=90°”為一線三等角問題等，就可以變換出更多的命題，引導(dǎo)學(xué)生探索管些命題，無疑是一種研究性學(xué)習(xí)的好思路。既鍛煉了學(xué)生的思維的深度，同時(shí)引導(dǎo)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的新途徑。

五、用特殊化思維探索結(jié)論與規(guī)律

特殊化思維常見的有數(shù)值的特殊化，圖形的特殊化，位置的特殊化等，其中特殊值法為最典型的特殊化思維。有些看似復(fù)雜的問題，運(yùn)用特殊值法來解決，顯得特別簡(jiǎn)單而有效。例如，已知一次函數(shù)y=kx-2k+3，不論k取任何實(shí)數(shù)，一次函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。運(yùn)用特殊化的思維，只需選取k=0和k=1兩種特殊的情形，從圖像上容易看出點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3）。又如，（杭州2008中考）如圖3，△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上， DE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E，

連接BE，記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2 。則（? ）

A. 若2AD>AB，則3S1>2S2? B. 若2AD>AB，則3S1<2S2

C. 若2AD<AB，則3S1>2S2? D. 若2AD<AB，則3S1<2S2

本題可將△ABC特殊化為Rt△ABC，使以∠C=90°，點(diǎn)D特殊為邊AB的四等分點(diǎn)，若設(shè)△ABC面積為S，則有__________ ，___________ ，所以__________，__________ ，_______________ ，可輕松得出答案選項(xiàng)為D。特殊化思維在探索規(guī)律問題時(shí)也特別有效，通過編號(hào)、計(jì)算特殊值、探尋規(guī)律和驗(yàn)證規(guī)律等四步驟，可以較快地發(fā)現(xiàn)和找到規(guī)律。這種帶實(shí)驗(yàn)性的創(chuàng)新思維深受學(xué)生的喜愛。

六、用跨界思維探索和解決問題

數(shù)學(xué)中代數(shù)問題用幾何方法解，幾何問題用代數(shù)方法解，方程問題用函數(shù)的方法求解等，都可看成是跨界的創(chuàng)新思維，這種思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中屢見不鮮。例如，用數(shù)軸表示數(shù)，乘法公式的幾何表達(dá)形式，二次根式的幾何意義，統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)的圖表表示，點(diǎn)的位置與坐標(biāo)，函數(shù)的圖像化等，都是這種思維的具體表現(xiàn)，數(shù)形的相互印證，不僅是探索新知的利器，也是解決問題的重要方法。這種數(shù)與形的完美結(jié)合是最具創(chuàng)新意義的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化。這種跨界思考問題的方式是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)推向更高層次發(fā)展的重要?jiǎng)恿Α?/p>

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力。數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ);獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心;歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。

參考文獻(xiàn)

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