鐘利明 邵漢民

摘 要：模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一。筆者以“烙餅問題”為例，通過對(duì)教材的二次開發(fā)和利用，在教學(xué)過程中抓住烙餅問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，逐步抽象出數(shù)學(xué)模型，再利用模型來解決問題，讓學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)建模的過程。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)建模;二次開發(fā)利用

“烙餅問題”是人教版小學(xué)四年級(jí)上冊教材第八冊“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”中的教學(xué)內(nèi)容。通過前一節(jié)“沏茶問題”的教學(xué)，學(xué)生初步理解了“優(yōu)化”這一數(shù)學(xué)思想方法。優(yōu)化的前提是統(tǒng)籌，而統(tǒng)籌的本質(zhì)是各種數(shù)量關(guān)系和空間形式的邏輯梳理，也是一種推理和建模的過程。

一、烙餅問題的教學(xué)現(xiàn)狀和效果檢測

（一）烙餅問題的教學(xué)流程

在我校的一次數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，一位教師執(zhí)教了“烙餅問題”，教學(xué)過程如下。

1.探究烙雙數(shù)張餅的最優(yōu)方法：得出只要兩張、兩張地烙，鍋內(nèi)沒有空位，時(shí)間最省。

2.探究烙三張餅的最優(yōu)方法：學(xué)生明白要想時(shí)間最省，鍋內(nèi)要保證始終要有兩張餅，從而得出交替烙餅的最優(yōu)方法。

3.探究烙五張餅，七張餅……的最優(yōu)方法：得出只要先兩張、兩張地烙，最后三張采用交替烙餅的方法。

4.探究餅的張數(shù)與所需時(shí)間的關(guān)系：學(xué)生得到“餅的個(gè)數(shù)×烙一面的時(shí)間=所需的最短時(shí)間”的結(jié)論。

上述教學(xué)過程環(huán)節(jié)清楚，過程完整，學(xué)生通過實(shí)踐操作，逐步得出了烙餅的最優(yōu)方法，建立起充分利用空間的優(yōu)化思想，也建立了基本的數(shù)學(xué)模型。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)看似非常合理，也成為絕大部分教師在平時(shí)教學(xué)過程中所采用的一種教學(xué)設(shè)計(jì)。

但是我們發(fā)現(xiàn)：在這樣的教學(xué)過程中，操作過程和數(shù)學(xué)模型沒有建立一種聯(lián)系，學(xué)生的操作只是為了得到最少的烙餅時(shí)間，最后的數(shù)學(xué)模型也不是從學(xué)生的操作過程中逐步抽象出來，也就失去了數(shù)學(xué)建模的意義。同時(shí)由于對(duì)模型的理解不深刻，在運(yùn)用模型解決問題時(shí)就會(huì)機(jī)械死板。

（二）烙餅問題的檢測題設(shè)計(jì)

那么，這種教學(xué)狀態(tài)下的教學(xué)效果到底如何呢？我們對(duì)四年級(jí)和六年級(jí)的一個(gè)班級(jí)分別進(jìn)行了一次檢測，檢測的題目如下：

1.鍋內(nèi)同時(shí)可以放兩張餅，兩面都要烙，每烙一面需3分鐘。烙7張餅要幾分鐘？（用算式或示意圖表示）

2.在火爐上烤燒餅，每個(gè)餅的兩個(gè)面都要烤，每烤完一面需要2分鐘，爐上只能同時(shí)烤3個(gè)餅，現(xiàn)在要烤7個(gè)燒餅，至少需要幾分鐘？（算式或示意圖表示）

3.星期天，小明的爸爸和媽媽要做以下事情：

輔導(dǎo)小明作業(yè)30分鐘

用除草機(jī)除草30分鐘（只有一臺(tái)）

手動(dòng)吸塵器吸塵30分鐘（只有一臺(tái)）

兩人配合最少幾分鐘完成？（算式或示意圖表示）

題目說明：第1題是烙餅問題的基本題型，主要考查學(xué)生對(duì)烙餅問題的掌握情況，學(xué)生可以用畫圖或直接用“餅的個(gè)數(shù)×烙一面的時(shí)間=所需的最短時(shí)間”，這一特殊模型來解決;第2題主要考查學(xué)生對(duì)烙餅問題的本質(zhì)理解，就是如何充分利用空間，找到最少的次數(shù)，從而得到最省的時(shí)間。可以用操作法得到結(jié)果，當(dāng)然也可用模型一“餅的個(gè)數(shù)×2÷每次同時(shí)烙的面數(shù)=烙的次數(shù)，烙的次數(shù)×烙一個(gè)面的時(shí)間=總時(shí)間?！眮斫鉀Q;第3題改變了問題情境，但核心本質(zhì)還是烙餅問題，因?yàn)榘职?、媽媽兩人同時(shí)做事可以看成鍋內(nèi)同時(shí)放兩張餅，要完成三件事相當(dāng)于要烙三張餅，主要考查學(xué)生對(duì)“烙餅問題”的數(shù)學(xué)理解以及遷移能力，學(xué)生可以套用烙餅問題的一般方法來解答，也可用烙餅問題的模型二：“烙每張餅的時(shí)間×張數(shù)=總的時(shí)間，總的時(shí)間÷每次烙的張數(shù)=最少時(shí)間”來解決

（三）烙餅問題的檢測結(jié)果分析

第1題：四年級(jí)有38人正確，其中畫圖的只有3人，其余都采用“餅的個(gè)數(shù)×烙一面的時(shí)間=所需的最短時(shí)間”這一數(shù)學(xué)模型。六年級(jí)正確的學(xué)生有30人，畫圖的有28 人，采用餅的個(gè)數(shù)×烙一面的時(shí)間=所需的最短時(shí)間有2人。從正確率看，六年級(jí)還不如四年級(jí);從解題策略看，四年級(jí)主要采用模型解決問題，而六年級(jí)主要采用畫示意圖的方式解決。如此大的偏差，實(shí)際上也印證了前面的分析，由于我們的課堂教學(xué)剝離了數(shù)學(xué)模型與實(shí)際操作的聯(lián)系，學(xué)生沒有經(jīng)歷把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)等過程，也就不能內(nèi)化為學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。這種牽強(qiáng)的建構(gòu)，記憶的持久性很短。

第2題：四年級(jí)正確率不高，我們在查看錯(cuò)誤的原因時(shí)發(fā)現(xiàn)，大部分錯(cuò)誤的學(xué)生沒有感覺到條件的改變，直接套用“采用餅的個(gè)數(shù)×烙一面的時(shí)間=所需的最短時(shí)間”。這也是因?yàn)閷?duì)模型缺乏深刻的理解，再加上老師采用大量的機(jī)械訓(xùn)練，造成思維的定勢。學(xué)生在解決問題過程中出現(xiàn)被動(dòng)記憶、套用模式和機(jī)械模仿等問題。另外正確的學(xué)生都采用操作完成，沒有一人采用模型計(jì)算。而六年級(jí)學(xué)生由于大部分學(xué)生已經(jīng)遺忘了數(shù)學(xué)模型，但隨著生活經(jīng)驗(yàn)的增長，解決問題能力的提高，正確率反而比四年級(jí)高。另外六年級(jí)有3個(gè)人采用了模型計(jì)算。

第3題：四、六年級(jí)正確率都不高，相對(duì)而言六年級(jí)的正確率要高于四年級(jí)。由于改變了問題的情境，四年級(jí)學(xué)生因?yàn)槔斫饽芰^弱，同時(shí)缺乏一定的生活經(jīng)驗(yàn)，變通和遷移能力較弱。四年級(jí)正確的學(xué)生全部采用畫示意圖的方法，而六年級(jí)正確的學(xué)生中有5人采用模型來解決。

二、烙餅問題的二次開發(fā)和利用

從上面的分析中可以看出，現(xiàn)有的教材編排有很大的問題，“烙餅問題”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型思想，與四年級(jí)學(xué)生的年齡特征、知識(shí)水平以及解決問題的能力嚴(yán)重不符。教師在實(shí)際教學(xué)中處于一種非常尷尬的境地，如果對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行充分的挖掘，得出烙餅問題的真正數(shù)學(xué)模型，學(xué)生可能理解不了;但如果只是讓學(xué)生膚淺的找到餅的個(gè)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系，時(shí)間久了學(xué)生就會(huì)遺忘。也失去了讓學(xué)生一次感受數(shù)學(xué)建模的難得機(jī)會(huì)。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于充分利用空間這一優(yōu)化思想，隨著學(xué)生年齡的增加，生活經(jīng)驗(yàn)的豐富，自然而然就會(huì)理解和掌握，所以我們認(rèn)為“烙餅問題”應(yīng)該放到更高的年級(jí)來教學(xué)，而且教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生如何從實(shí)際操作中抽象出數(shù)學(xué)模型，再利用模型解決問題。基于以上的思考，我們對(duì)“烙餅問題”教材進(jìn)行了充分挖掘，在六年級(jí)中開展第二次教學(xué)，過程如下。

（一）復(fù)習(xí)、回憶

教師提前請學(xué)生復(fù)習(xí)四年級(jí)上冊“烙餅問題”，請學(xué)生完成以下問題：

1、怎么操作時(shí)間最??？

2、要使時(shí)間最省關(guān)鍵是什么？

3、計(jì)算最省時(shí)間的公式是什么？

4、你有什么問題或有什么新的想法？

通過復(fù)習(xí)，一方面使學(xué)生喚醒起對(duì)“烙餅問題”的基本題型的操作方法和計(jì)算公式的的記憶，明確操作的關(guān)鍵是——充分利用空間，為接下來的教學(xué)作了必要的準(zhǔn)備。

（二）建立模型一

由于六年級(jí)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的豐富以及知識(shí)和能力的提高，他們對(duì)四年級(jí)“烙餅問題”有了新的想法。比如：如果鍋內(nèi)能同時(shí)放大于兩張餅時(shí)該如何操作和計(jì)算？這時(shí)教師順勢出示問題：鍋內(nèi)可以同時(shí)放三個(gè)餅，要烙6個(gè)餅，每個(gè)餅的兩面都要烙，每個(gè)面要2分鐘。怎么烙時(shí)間最??？請你畫出示意圖。你能用算式表示這個(gè)過程嗎？

學(xué)生通過觀察操作過程得到：6個(gè)餅，每個(gè)餅有2個(gè)面，共有12個(gè)面，每次烙熟3個(gè)餅，所以全部烙好要12÷3=4（次），總共需4×2=8（分鐘）

教師再次出示問題：鍋內(nèi)可以同時(shí)放4個(gè)餅，要烙7個(gè)餅，每個(gè)餅的兩面都要烙，每個(gè)面要2分鐘。怎么烙時(shí)間最省？請學(xué)生先用算式計(jì)算，再畫示意圖驗(yàn)證。

請學(xué)生說說算式中的3次在圖中的哪里？余數(shù)的2個(gè)面又在圖中的哪里（如圖1）？這樣提問促使學(xué)生理解算法的真正意義，達(dá)到“看表征明算理”的目的。

通過剛才的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)鍋內(nèi)同時(shí)放多張餅的烙餅問題的算法有了充分的理解，學(xué)生很容易就概括出烙餅問題的計(jì)算模型一：餅的個(gè)數(shù)×2÷每次同時(shí)烙的面數(shù)=烙的次數(shù)（不能整除，商用進(jìn)一法保留整數(shù)），烙的次數(shù)×烙一個(gè)面的時(shí)間=總時(shí)間。

然后再次提問，這個(gè)公式和原來四年級(jí)學(xué)的公式（餅的個(gè)數(shù)×烙一面的時(shí)間=所需的最短時(shí)間）之間有何聯(lián)系和區(qū)別，通過對(duì)比使學(xué)生明白，原先四年級(jí)的計(jì)算模型可以從剛才模型中化簡而來，原來的模型只能解決鍋內(nèi)放兩張餅的問題。

通過觀察操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生得出數(shù)學(xué)模型初步假設(shè)，再用實(shí)際操作來驗(yàn)證模型的正確性，讓學(xué)生經(jīng)歷一般數(shù)學(xué)建模的過程。在這個(gè)過程中，小學(xué)生最困難的是如何把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)符號(hào)，并用數(shù)學(xué)語言把這種關(guān)系建立起來。而“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法順利地解決了這一難點(diǎn)，加深了對(duì)模型的理解。另外通過比較，使學(xué)生真正明白了原先烙餅問題特殊模型的由來，感受了從一般到特殊的經(jīng)歷。

（三）探究模型二

出示問題：鍋內(nèi)可以同時(shí)放兩張餅，每張餅烙正面時(shí)要2分鐘，烙反面時(shí)要1分鐘，烙4張餅最少要幾分鐘？請學(xué)生畫出示意圖，想一想，能不能用算式來解決？學(xué)生通過小組討論得出算式：（2+1）×4÷2=6（分鐘），并用畫圖來驗(yàn)證（如圖2）。教師提問：為什么要除以2，你能在圖中找到除以2的地方嗎？

通過教學(xué)，幫助學(xué)生找到示意圖與算式之間的聯(lián)系，為模型的抽象和建立提供必要的支撐，然后引導(dǎo)學(xué)生概括出模型二：餅的張數(shù)×烙一張餅的時(shí)間÷每次烙的張數(shù)=最少時(shí)間。

接著教師出示問題：鍋內(nèi)可以同時(shí)放兩張餅，每張餅烙正面時(shí)要2分鐘，烙反面時(shí)要1分鐘，烙5張餅最少要幾分鐘？請學(xué)生用剛才的公式計(jì)算并畫圖驗(yàn)證。學(xué)生運(yùn)用模型二得到算式：（2+1）×5÷2=7.5（分鐘），而實(shí)際操作的結(jié)果是8分鐘（如圖3）。這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生展開討論，為什么會(huì)出現(xiàn)這種偏差？是不是模型出現(xiàn)了問題？

通過討論學(xué)生明白，我們在運(yùn)用模型二解決剛才的問題時(shí)，除以2（相當(dāng)于平均分成2份）是把左右兩邊看成相同的，但實(shí)際操作左右兩邊的時(shí)間不相同（第4次左面1分鐘，右面2分鐘），所以兩者之間有偏差。由于模型二：餅的張數(shù)×烙一張餅的時(shí)間÷每次烙的張數(shù)=最少時(shí)間。這里除以每次烙的張數(shù)，相當(dāng)于把總的時(shí)間平均分成相同的部分，而當(dāng)每部分相同時(shí)，也就是鍋內(nèi)每次都是放滿的，這就符合了最短時(shí)間的要求，所以得到的結(jié)果應(yīng)該是理論上的最省時(shí)間。

數(shù)學(xué)建模過程中，檢驗(yàn)、修改是一個(gè)不斷循環(huán)的過程，直至得到的模型符合實(shí)際情況。在剛才的教學(xué)過程中，學(xué)生用模型二解決問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果與檢驗(yàn)的結(jié)果不相同。這就要求學(xué)生找到問題所在，并對(duì)模型進(jìn)行修改，直至符合實(shí)際情況。完美符合了數(shù)學(xué)建模的過程，這也是我們選擇“烙餅問題”來開展建模教學(xué)的真正原因所在。

（四）溝通模型一、二

通過剛才的教學(xué)，學(xué)生理解和掌握了模型一、二的算法和算理，但兩者之間的聯(lián)系和運(yùn)用范圍學(xué)生還沒完全理解，為此教師再次提問：能用模型二解答正反面時(shí)間相同的烙餅問題嗎？如果認(rèn)為能，請你用模型二解答剛才的幾個(gè)問題。

學(xué)生用模型二計(jì)算上面第一個(gè)問題：6×（2+2）÷3=8（分鐘），發(fā)現(xiàn)與模型一的結(jié)果一致;第二個(gè)問題7×（2+2）÷4=7（分鐘），與模型一的結(jié)果不一致。這時(shí)教師再次提問：為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？促使學(xué)生在比較中明白模型一與模型二之間的關(guān)系，明確模型二才是“烙餅問題”的通用公式，明確模型二得到的結(jié)果不一定是最終的結(jié)果，需要進(jìn)行檢驗(yàn)和修改。反過來模型二得到的結(jié)果也可檢驗(yàn)實(shí)際操作以及用模型一得到的結(jié)果是否正確。如果用實(shí)際操作和模型一得到的結(jié)果小于模型二得到的結(jié)果，或者相差很多時(shí)，就可以認(rèn)定結(jié)果是錯(cuò)誤的。

1 浙江省杭州市蕭山區(qū)信息港小學(xué)，浙江 杭州 311200

2浙江省杭州市蕭山區(qū)所前二小，浙江 杭州 311200