蟻行照

摘要：邏輯推理是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯思維方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，推理作為一種信息轉(zhuǎn)移的橋梁，不僅是一種良好的學(xué)習(xí)方法，也是一種推理方法，而且是一種理智的解題策略，本文針對(duì)邏輯推理在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了剖析。筆者根據(jù)自身的教學(xué)實(shí)踐，在課堂教學(xué)中進(jìn)行邏輯推理方法的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 邏輯推理 應(yīng)用

推理是一種從已知兩個(gè)事物在某些方面有相同或相似的局部屬性，推出它們其它方面（屬性、關(guān)系、特征、形式等）也有相同或相似的屬性。推斷出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蝾愃频囊环N推理方法。從而探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)真理，或探索發(fā)現(xiàn)解題途徑或方法，推理要善于觀察、比較，通過廣泛的聯(lián)想，作出大膽的猜想，得出準(zhǔn)確的結(jié)論。（推理得出的結(jié)論只是一種猜想，是否正確善須證明）?！懊慨?dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，推理，這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)”（德國古典哲學(xué)家康德）。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，推理作為一種信息轉(zhuǎn)移的橋梁，不僅是一種良好的學(xué)習(xí)方法，能使學(xué)生鞏固舊知識(shí)、掌握新知識(shí);而且是一種理智的解題策略，能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，陌生的問題熟悉化，抽象的問題形象化。正由于推理方法具有如此強(qiáng)大的功能，通過對(duì)近幾年高考數(shù)學(xué)試題的分析研究，不難看出邏輯推理已逐漸滲透于高考試題之中，推理試題已成為高考的新寵。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中，教師要有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行推理推理能力的訓(xùn)練。本文將嘗試從以下幾個(gè)方面剖析邏輯推理在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：

一、用推理法教學(xué)可以使學(xué)生由淺入深，由直觀到抽象地學(xué)習(xí)新知識(shí)。

數(shù)學(xué)中的許多概念，知識(shí)點(diǎn)之間有類似的地方，在新概念的提出，新知識(shí)的講授過程中，運(yùn)用推理的方法，能使學(xué)生易于理解和掌握：

（一）高中立體幾何學(xué)習(xí)階段，可以讓學(xué)生探索一些空間的點(diǎn)、線、面，觀察其是否具有與平面中類似或相同的關(guān)系，通過推理培養(yǎng)其空間想象能力。例如：平行公理（即若直線a//b，b//c，則a//c）在平面與空間都成立;而平面中成立的命題：“若直線a⊥b，b⊥c，則a//c”拓展到空間則不一定成立;從平面向量到空間向量，同樣是從二維到三維的推廣，將向量的運(yùn)算規(guī)則由二維到三維的拓展，采用“推理”手段也是行之有效的。

（二）研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要在結(jié)合函數(shù)圖像分析和具體實(shí)例的基礎(chǔ)上，逐步培養(yǎng)起學(xué)生運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)推理處理有關(guān)方程、不等式乃至數(shù)列等問題的數(shù)學(xué)意識(shí)。

（三）復(fù)數(shù)的運(yùn)算與普通實(shí)數(shù)運(yùn)算有許多可套用的“規(guī)則”，其基本運(yùn)算性質(zhì)也和實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)相類似;高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的映射關(guān)系、換元法、數(shù)形結(jié)合等解題策略，都可以認(rèn)為是邏輯推理的體現(xiàn)等等。總之，?通過推理可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)收到事半功倍的效果。

二、推理是自主性學(xué)習(xí)的有效方法。

推理是以比較為基礎(chǔ)，通過本質(zhì)屬性上的比較，找出兩類事物在性質(zhì)上或關(guān)系上相同或相似之處，概括出本質(zhì)規(guī)律，然后進(jìn)行證明確認(rèn)。

例1：試比較“等差數(shù)列通項(xiàng)公式”與“直線方程”。

如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)為an=a1+（n-1）d，將其變形為an-a1=d（n-1），這與直線的點(diǎn)斜式方程y-y0=k（x-x0）在形式上相似，其中公差d就是斜率k，而數(shù)列中數(shù)對(duì)（1，a1）對(duì)應(yīng)直線上的點(diǎn)（x0，y0）。因而數(shù)列中所有數(shù)對(duì)（n，an）都在同一直線上。

若推理直線兩點(diǎn)式方程，列等差數(shù)列應(yīng)有：

（證明成立，這里證明略）。

其中：ap、an、am是等差數(shù)列的項(xiàng)。由數(shù)列

也可導(dǎo)出：。

應(yīng)用：已知m，a1，a2，n成等差數(shù)列，m，b1，b2，b3，n成等差數(shù)列（m≠n），求。

解：由m，a1，a2，n成等差數(shù)列，則

又m，b1，b2，b3，n成等差數(shù)列，則∴

例2：由0<a<b，m∈N+，則

用推理法推斷出0<a<b，m∈N+則

分析：有正確結(jié)論：真分?jǐn)?shù)（a<b，）分子、分母同時(shí)加上一個(gè)正數(shù)（m∈N+），新分?jǐn)?shù)大于原分?jǐn)?shù)。在這個(gè)結(jié)論的基礎(chǔ)上，可以大膽猜想是否存在。

證明：=

只要結(jié)論成立，因?yàn)閍，b，m都是正數(shù)，且a<b

所以m（b-a）>0，要使成立，還須a<m<b。∴猜想成立條件0<a<m<b。

推理是自主、自覺、獨(dú)立的學(xué)習(xí)方法，推理讓學(xué)生聯(lián)想豐富，使學(xué)習(xí)不拘泥于課本，發(fā)掘知識(shí)內(nèi)涵，拓展更寬的學(xué)習(xí)天地，是深入挖隱拓展的思維方式。

三、運(yùn)用推理推理進(jìn)行探究，激發(fā)學(xué)生思維。

在認(rèn)識(shí)了運(yùn)用推理推理進(jìn)行探究的方法之后，在講授數(shù)列復(fù)習(xí)課時(shí)我設(shè)置了如下若干性質(zhì)探究的問題供學(xué)生思考。

問題1 在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有a1+a2+…+a7=a1+a2+…+a12，推理上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b10=1，則有 。

問題2 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為用推理的方法，寫出等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積表達(dá)式Tn= 。

問題3 等差數(shù)列有如下性質(zhì)：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列;推理上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列{cn}是正項(xiàng)等比數(shù)列，當(dāng)dn= 時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列。

問題4 若等差數(shù)列{an}，則|an+1+an|也成等差數(shù)列由此經(jīng)過推理，若{bn}為等比數(shù)列你能得到什么結(jié)論？

問題5 若Sn是等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也是等差數(shù)列，在等比數(shù)列中是否也是有這樣的結(jié)論？為什么？

推理推理的方法，數(shù)列是一個(gè)比較好的題材，通過有關(guān)問題的解決，既加深了對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)，又讓學(xué)生對(duì)推理的方法、實(shí)質(zhì)有所體驗(yàn)，還可讓學(xué)生體驗(yàn)“大膽猜想——小心論證”的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)歷程。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，使得推理的思想始終貫穿在等差、等比數(shù)列的復(fù)習(xí)中，知識(shí)重現(xiàn)的邏輯順序發(fā)生了變化，不再是以前的先等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和，再等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和。這樣就從另一個(gè)角度把知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行了整理，課例中幾個(gè)探究問題始終貫穿推理推理這一條新的線索，學(xué)生在思維上經(jīng)過反復(fù)的推理、驗(yàn)證，自我領(lǐng)悟并掌握推理的思想方法，這樣的處理方式使得這節(jié)課整體感很強(qiáng)，不是東敲西打，也不是面面俱到，克服了平常復(fù)習(xí)課比較容易犯的毛病，體現(xiàn)了教學(xué)過程中教師站在比較高的角度處理問題。

四、推理是解釋問題的有力工具。

解釋數(shù)學(xué)問題就是學(xué)習(xí)，其中求解、論證問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要方面。在高考試題中靈活應(yīng)用邏輯推理，可以大大提高解題能力。

（一）平面推理空間

例4：在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ΔABC?的兩邊AB，AC?互相垂直，則AB2+AC2=BC2”。拓展到空間，推理平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD?的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB?兩兩相互垂直，則 ?！??（）

這道題考查學(xué)生的推理推理能力，將原來平面幾何中線的關(guān)系與立體幾何中面的關(guān)系進(jìn)行了推理，通過二維到三維的推廣使學(xué)生獲取新知識(shí)。

（二）情景推理問題

例5：如圖（1），小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)間的聯(lián)線表示它們有網(wǎng)絡(luò)相聯(lián)，連線標(biāo)明的數(shù)字表示該段網(wǎng)絡(luò)單位時(shí)間內(nèi)可通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)最大的信息量為（ ）

A、26 B、24 C、20 D、19

分析：如圖（1）將“單位時(shí)間內(nèi)網(wǎng)絡(luò)最大信息量”推理于“單位時(shí)間內(nèi)由粗細(xì)水管連接而成的管道中水最大流量”，決定流量是最細(xì)管。

解：由圖可知：min{12，5，3}=3，?min{12，6，4}=4， min{12，6，7}=6，?min{12，8，6}=6，且3+4<12，6+6=12，∴單位時(shí)間內(nèi)傳遞最大信息量為3+4+6+6=19，故選D。

（三）推理定義結(jié)構(gòu)

例6：設(shè)向量，滿足||=|+|=3，||=，求<，>的值。

分析：由題中||，||，||的形式聯(lián)想平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平行四邊形，以四邊形的邊長(zhǎng)推理向量的模的定義，即以形助數(shù)。

解：如圖（2）所示：設(shè)，，在平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，B，C則||=||，||=||，||=||，||=||

因?yàn)镺ABC是平行四邊形，

所以||2+||2=2（||2+||2）

因而||=3，所以<，>=

（四）推理公式的結(jié)構(gòu)。

運(yùn)用推理可以溝通不同的知識(shí)板塊，充分調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)，開闊解題思路。

例7：求的值域

分析：許多數(shù)學(xué)公式都有它固有的構(gòu)成形態(tài)，在解題時(shí)通過推理發(fā)現(xiàn)題目本身經(jīng)過變形后，具有了某個(gè)公式的結(jié)構(gòu)，那么就可以利用公式去解題。

解：（聯(lián)想），由可令，則有，又，所以y∈（-1，1）。

例8：?已知x∈R，a?為正常數(shù)，且函數(shù)f（x）滿足，

求證：f（x）是周期函數(shù)。

分析：要求證一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，通常是通過觀察估算出它的一個(gè)周期，然后利用周期函數(shù)的定義加以證明。本題要直接得出它的一個(gè)周期并不容易。但如果將已知條件與進(jìn)行比較，可發(fā)現(xiàn)它們結(jié)構(gòu)上十分相似，而函數(shù)tanx?的周期為π，是的4?倍。于是我們猜想4a?是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期。

證明：

∴?4a?是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)。

上述證明主要是把握住了與結(jié)構(gòu)上的相似之處，進(jìn)行推理而得出了解題思路。

例9：?已知實(shí)數(shù)x，y?滿足方程的點(diǎn)P（x，y）的軌跡為（ ）

A?拋物線 B?雙曲線 C?橢圓 D?兩直線

分析：本題若一開始進(jìn)行平方運(yùn)算，使得解題很難堪。如果對(duì)等式兩邊分別作形式推理就會(huì)發(fā)現(xiàn)表示動(dòng)點(diǎn)P?到定點(diǎn)（1，0）的距離;?與動(dòng)點(diǎn)P?到定直線x-y+3=0的距離很相似。

故：，表示動(dòng)點(diǎn)P?到定點(diǎn)（1，0）的距離與它到定直線x-y+3=0?的距離之比為。所以：答案選B

（五）推理定理結(jié)構(gòu)。

例10：已知正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a2+b2+c2=d2，

試證+a+b+c>3d

分析：由a2+b2+c2=d2推理長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)定理，即將數(shù)化形。不妨構(gòu)造一個(gè)三邊分別為a、b、c的長(zhǎng)方體，則對(duì)角線長(zhǎng)為d，（如圖：（3））。

證明：因?yàn)?/p>

所以e+c>d（三角形兩邊之和大于第三邊）

即+c>d

同理有

故

（六）題型推理解法。

例11：求的值。

分析：通過觀察，聯(lián)想與與公式有關(guān)，于是推理對(duì)偶式的解題方法。

解：設(shè)

則

則 （1）

（2）

由（1）+（2）得 2A=?，所以A=

即

“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，推理這方法往往能指引我們前進(jìn)”（?康德）。推理使我們大大縮短了探索，發(fā)現(xiàn)真理的時(shí)間和過程，不失為一種有效的認(rèn)知策略。“勿容置疑，推理是發(fā)現(xiàn)的源泉”（波比亞）。

參考文獻(xiàn)

[1]鄧勤.運(yùn)用新課程的理念提高教學(xué)復(fù)習(xí)課的課堂效率[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018.5.

[2]姚榮，連四清.復(fù)習(xí)課中利用開放性問題的實(shí)踐與探索[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018.8.

[3]陳永明.陳永明評(píng)議數(shù)學(xué)課[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?018.