陳星星

摘 要：本文主要以函數(shù)單調(diào)性的判定與應用為重點進行闡述，結(jié)合當下高中函數(shù)的學習現(xiàn)狀，從定義法、原型法、整體法、導數(shù)法這幾個方面深入說明并探討函數(shù)單調(diào)性的判定與有效應用措施，旨意在為相關(guān)研究提供參考資料。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;函數(shù)單調(diào)性;判定;應用

數(shù)學為一門具有較強邏輯性與思維性的學科，對培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力具有促進作用。對于高中學生接觸的函數(shù)而言，單調(diào)性為其中一項重要內(nèi)容，并且被廣泛的應用在函數(shù)大小比較與函數(shù)最值的求解問題中，所以函數(shù)的單調(diào)性判定與應用的學習尤為重要。以下為筆者對函數(shù)單調(diào)性的判定與應用給予的相關(guān)分析與建議。

1.定義法

函數(shù)單調(diào)性的定義，不僅是函數(shù)具有的性質(zhì)，還是單調(diào)性的判定依據(jù)，為函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。定義法是判定函數(shù)單調(diào)性的基礎，所以教師應引導學生全面分析函數(shù)單調(diào)性的定義，加強學生對函數(shù)單調(diào)性基礎知識的理解與掌握，科學地判定函數(shù)單調(diào)性，理解定義的另一種表現(xiàn)形式，提高學生思維的運用能力[1]。定義法判定函數(shù)單調(diào)性分為四個步驟：作差、變換形式、確定符號、總結(jié)，可以結(jié)合變形的相關(guān)要求選取有效方式對原式進行作差，其中變形方式包括分解、配方等。

例如：存在一個函數(shù)g（x）=x3-3x2+6x-6，并且存在g（m）=1，g（n）=-5，求m+n的值。

分析：函數(shù)可以變形為g（x）=（x-1）3+3（x-1）-2，將已知條件代入之后，得到（m-1）3+3（m-1）=3與（n-1）3+3（n-1）=-3，進而構(gòu)造出全新函數(shù)G（y）=y3+y，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的基本定義與奇函數(shù)的特征可以發(fā)現(xiàn)G（y）為定義在實數(shù)R區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此G（-y）=-G（y），m-1=1-n，得出正確結(jié)果m+n=2。

2.原型法

抽象函數(shù)為函數(shù)的一種表現(xiàn)形式，判定函數(shù)單調(diào)性時可以采用原型想象的方式。抽象函數(shù)是在函數(shù)的基礎上衍生出的一種函數(shù)，主要存在于沒有給出具體函數(shù)表達式與函數(shù)圖像的問題中，因這類問題具有較強的思維特征，所以在學習期間會存在一定難度[2]。學生只能結(jié)合函數(shù)自身具有的性質(zhì)進行猜想與合理想象，進而確定原型函數(shù)，將抽象化的數(shù)學問題具體化，解決函數(shù)單調(diào)性問題。

例如：在實數(shù)R區(qū)間內(nèi)，存在一個函數(shù)g（x），且g（a+b）=g（a）+g（b），當x大于0時，g（x）小于0，求證：g（x）=0;g（x）是定義域上的奇函數(shù)。

證明：g（0+0）=g（0）+g（0），進而得出g（0）=0;

g（x-x）=g（x）+g（-x）=g（0），y也就是g（-x）=-g（x），得出g（x）是定義域上的奇函數(shù)。

解析，諸多函數(shù)夠存有原型，學生的解決抽象函數(shù)問題過程中，如果能夠結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與相關(guān)結(jié)構(gòu)找到與函數(shù)相類似的原型，再依據(jù)原型具有的單調(diào)性特點假設未知函數(shù)的單調(diào)性，便可以為判定證明打下堅實基礎。

3.整體法

整體法主要適用于分段函數(shù)，因為在判斷常見函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)的單調(diào)性時，需要符合單調(diào)性的定義。簡單來講，就是指從整體入手，注重整體單調(diào)和各段單調(diào)，教師應引導學生了解整體法的含義與價值，幫助學生找到函數(shù)解題的技巧，增強學生學習自信心。

例如：已知f（x）=x2+（4a-3）+3a，x<0，且f（x）=Loga（x+1）+1，x≥0，該函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的范圍。

解析：由于f（x）在R上處于單調(diào)遞減，所以得出0

點評：因為該函數(shù)f（x）=g（x），x>x0，且f（x）=h（x），x≤x0，在R上單調(diào)，該問題屬于求參數(shù)問題，在解題時需要注重分界點，即指f（x）在R上單調(diào)遞減或者是遞增，需要有h（x0）≤g（x0），或者是h（x0）≥g（x0），進而準確的得出答案[3]。

4.導數(shù)法

導函數(shù)為探究函數(shù)單調(diào)性中應用幾率最大的工具，學生需要有效結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，條理清晰的理解問題的含義，計算簡單，并且不容易出現(xiàn)錯誤。

例如：函數(shù)h（x）在定義區(qū)間內(nèi)（m，n）可導，在h，（x）大于0時，h（x）在定義域內(nèi)（m，n）單調(diào)遞增;在h，（x）小于0恒成立時，h（x）在區(qū)間內(nèi)（m，n）單調(diào)遞減。

分析：首先h，（x）大于等于0且h，（x）等于0為有限個零點，那么h（x）在區(qū)間內(nèi)（m，n）為單調(diào)遞增函數(shù)或者單調(diào)遞減函數(shù)。其次，導函數(shù)存有的零點問題往往是導函數(shù)中含有符號的分界點，也是單調(diào)性函數(shù)的關(guān)鍵點[4]。所以，高中數(shù)學教師應注重導函數(shù)零點的相關(guān)判定與證明問題，如果h，（x）的零點不容易被求出，可以采取二次求導或者分離函數(shù)的方式，將疑難問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵螁栴}，清晰的分析出零點存在的情況，同時依據(jù)導函數(shù)大小在區(qū)間內(nèi)與0之間的比較，判定出函數(shù)在對應區(qū)間內(nèi)具有的單調(diào)性。此外，如果遇到含參類型的函數(shù)問題，可以采用分類探究法或者數(shù)形結(jié)合法進行深入分析與解決。

結(jié)束語：綜上所述，開展函數(shù)單調(diào)性的判定與應用研究課題具有十分重要的意義與價值，高中學生通過學習函數(shù)單調(diào)性的判定與應用，可以有效激發(fā)自身學習潛能，促使思維的靈活轉(zhuǎn)變，有利于學生自身自主學習能力的提高。基于此，高中數(shù)學教師在教授函數(shù)單調(diào)性時，需要充分考慮到函數(shù)的基本性質(zhì)與單調(diào)性的判定方法，基于學生身心發(fā)展需求，巧妙的引導學生學習并掌握函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識與技能，不斷開發(fā)出學生自身的創(chuàng)造潛力，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的學習習慣，推動高中數(shù)學課堂的高效進行。

參考文獻

[1]王梅英.函數(shù)單調(diào)性的一個判別法[J].南京審計學院學報，2015，2（1）：74-75.

[2]劉海武.高中數(shù)學函數(shù)單調(diào)性在解題中的巧妙應用[J].數(shù)理化解題研究，2016（8）：33-33.

[3]李鵬.對“函數(shù)單調(diào)性”教學設計的構(gòu)想——以“概念同化”的方式為例[J].數(shù)學通訊，2017（13）：6-9.

[4]黃麗.高中函數(shù)單調(diào)性的概念教學研究[D].四川師范大學，2014（10）：58-59.