朱榮武

摘? ? 要?數(shù)學說理作為一種運用數(shù)學語言進行邏輯表達的過程，既是推理思維物化外顯的主要形式，又是發(fā)展兒童推理能力的應然路徑。用準確的數(shù)學文字語言、直觀的圖形語言、形式化的符號語言，以及多種語言形式的互通互譯來表征推理過程，是教學的務實之舉。

關鍵詞數(shù)學說理 數(shù)學語言 推理能力 數(shù)學素養(yǎng)

維科斯基在《思維與語言》中指出：“思維發(fā)展受制于語言。思維發(fā)展是由思維的語言工具和兒童的社會文化經歷所決定的?！盵1]林崇德在其《發(fā)展心理學》中指出：“言語在小學生的基本思維過程的發(fā)展中起著重要的作用，它使其思維的深刻性、廣闊性、批判性、自我監(jiān)控的水平獲得迅速發(fā)展?！盵2]可見，語言的工具性和言語的過程性共同影響著兒童的思維。數(shù)學說理就是以數(shù)學知識或生活常識為依據，用數(shù)學語言工具（文字語言、符號語言和圖形語言）加工并合乎邏輯地表達思維、說明發(fā)現(xiàn)、解釋結論的過程。這一過程兼具語言的工具性和言語的過程性，因而對兒童數(shù)學思維能力的發(fā)展影響深遠。

推理是兒童數(shù)學學習的一種基本思維方式，推理能力是構成個體數(shù)學素養(yǎng)的基本要素。從兒童數(shù)學推理思維的內容和形式看，數(shù)學推理能力的培育本質上就是要提高其數(shù)學說理能力。然而數(shù)學說理由于教學的時間成本較大，在教學實踐中并未得到應有的重視。本文從小學數(shù)學說理的角度談談自己的思考和具體做法。

一、應用文字語言準確表達推理過程

小學生的推理思維活動，大都是以內隱的方式，無聲地進行的，屬于一種內部數(shù)學語言加工，具有自悟性、跳躍性、模糊性等特點，清晰度、條理性、系統(tǒng)性不足。引導學生用文字語言表達推理過程，不僅能再現(xiàn)原有思維過程，還能實現(xiàn)思維的再加工，讓原有思維獲得新的發(fā)展，同時結構化的語言組織還能讓學生真切體會推理思維的魅力。

2.用文字語言解釋說理

清晰、條理、有理有據地表達思維過程是推理能力發(fā)展的外在體現(xiàn)，也是培養(yǎng)學生推理能力的基本要求。比如在學生初步得到分數(shù)基本性質的猜想內容后，可以引導學生根據除法中商不變的規(guī)律和分數(shù)與除法的關系來解釋說明（不是嚴格證明）分數(shù)的基本性質，通過類比推理獲得對分數(shù)基本性質的深刻理解和認同。其間，既要關注語言表達的有序性訓練：表述商不變的規(guī)律—闡述分數(shù)與除法的關系—表達推論，還要關注內部邏輯的聯(lián)想體驗：商不變規(guī)律是正確的—分數(shù)與除法的關系也是正確的—那么分數(shù)的基本性質也應該是正確的。再比如學習“30×2”“400×3”等整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算時，學生幾乎人人都能掌握算法，但卻解釋不清算理，最多也只是局限于形式上的推演。這時要先引導學生借助直觀說理：30就是3個十，要擺3捆小棒。乘2，就要擺出2個3捆小棒，也就是6捆小棒即6個十，也就是60根小棒。在此基礎上訓練學生用三句話說理：30就是3個十，3個十乘2得6個十，6個十就是60。這里，三句話表達的就是一個演繹推理的過程。用文字語言表達推理過程的契機有很多，比如對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加減計算算理的解釋屬于演繹推理，而對分數(shù)乘除法算法的歸納總結則屬于合情推理等等。教學中要有意識地挖掘，不失時機地訓練。

二、應用圖形語言直觀表達推理過程

圖形語言是通過圖形的直觀形態(tài)來表達含義的一種視覺語言，數(shù)學中表達空間形式和數(shù)量關系的各種圖形、表格和圖像等都是圖形語言。相對于文字語言的準確性，圖形語言能更形象直觀地表達推理思維過程，二者的有機結合能使數(shù)學說理既形象又準確。

2.借助表格建立猜想

數(shù)學中的表格不僅有記錄整理數(shù)學信息的功能，還能反映對象間的變化特點和關系規(guī)律。借助表格發(fā)現(xiàn)關系、提煉規(guī)律、建立猜想，這本身就是一個合情推理的過程，其間圖表語言既是工具也是媒介。比如在探究多邊形內角和的規(guī)律時，可引導學生將研究過程用表格整理記錄（表1），有序呈現(xiàn)的數(shù)據給學生的歸納推理提供了豐富直觀的素材，有利于猜想的建立。再比如研究“周長一定時長方形的面積變化特點”時，可將變化過程用表格整理記錄，進而觀察發(fā)現(xiàn)面積的變化規(guī)律（表2）。

3.用圖形語言實現(xiàn)深度理解

圖形語言的恰當運用，不僅有利于思維的清晰表達，還能實現(xiàn)深度理解。比如研究多邊形的內角和時，可借助圖形直觀讓學生獲得對“為什么邊數(shù)-2=三角形的個數(shù)”的深度理解（圖2）。再比如解決“一面掛鐘1時敲1次，2時敲2次……所有半點都敲1次。從1時到12時，它一共敲了多少次？”這一問題時，學生大多認為半點敲的次數(shù)也是12次。通過畫圖（圖3），學生不僅明確了答案，還能從間隔排列、一一對應的角度來解釋原委。

此外，還可以借助統(tǒng)計圖像引導學生展開統(tǒng)計推斷。比如根據超市所售某種商品的各月銷量折線統(tǒng)計圖判斷進貨量等。

三、應用符號語言形式化表達推理過程

符號語言的應用能讓特殊問題一般化、復雜問題簡單化，使意義表達簡潔無歧義。李士琦在《RME：數(shù)學教育心理學》中把數(shù)學符號分為四類：字母和數(shù)字、標識符（表示數(shù)、式、形之間關系的符號，小學階段如“>”“<”等）、象形符、標點符號[3]。引導學生恰當運用數(shù)學符號來表達推理過程，不僅能發(fā)展其推理能力，還能滲透初步的形式化思想。

1.用數(shù)字和關系符號整理記錄推理過程

數(shù)字和關系符號是小學生最熟悉、最常用的基本符號語言，訓練學生將數(shù)字和關系符號相結合來表達推理過程，不僅易于理解接受，還能體會符號對嚴謹簡明表達的作用。比如在解決“一輛載重3 000千克的卡車，裝了47桶豆油，每桶豆油連桶重58千克。這輛車超載了嗎？”這一問題時，可以先引導學生借助估算說理：把47和58分別看成50和60，看大后相乘的結果是3 000，那么實際的結果一定小于3 000，所以不超載。接著引導學生利用符號整理記錄推理過程：47≈50，58≈60;50×60=3 000;47×58<3 000，所以不超載。這里符號語言抽象表征了思維進程，以靜顯動、邏輯嚴謹、簡潔明了，符號語言的形式、力量之美顯露無遺。

2.用字母符號抽象表征和解釋說理

尋找、發(fā)現(xiàn)和表征數(shù)學現(xiàn)象中的規(guī)律并嘗試解釋驗證，是小學生開展合情推理的重要形式和內容。其間，小學生最常遭遇的瓶頸是規(guī)律的準確表征和對猜想的解釋驗證。比如在探究乘法分配律的時候，規(guī)律的表達是學習的難點。可以先讓學生嘗試用自然語言表達，在有了“不好說、說不清、太復雜”等體驗后，再讓學生嘗試用字母符號表征，此時學生會再一次回顧推理過程，梳理各部分之間的關系，得出“（a+b）×c=a×c+b×c”這一一般化的數(shù)學表達。符號表征的準確簡潔與自然語言表達的模糊復雜構成了鮮明的對比，強烈的心理體驗會加速“用符號表征規(guī)律”思維經驗的形成。在解釋驗證階段也可以引導學生借助字母符號展開說理，比如有的學生會根據加法和乘法的意義演繹推理：a個c加b個c肯定等于（a+b）個c。也有的學生會借助長方形的面積模型和字母展開類比推理：

盡管不同形態(tài)的數(shù)學語言在推理活動中有著較強的針對性和適用性，但在實際說理過程中，仍要結合具體內容，強化三種數(shù)學語言的互通互譯，讓學生在多種數(shù)學語言的比較中形成感悟。比如在表達平行四邊形面積計算原理時，既需要圖形語言的直觀，又需要文字語言的闡釋，還需要符號語言的概括，三種語言形式的互補不僅有利于學生對原理的深刻理解，還有利于學生實現(xiàn)對推理過程、形式的豐富認知。強化不同形態(tài)數(shù)學語言的互通互譯，讓數(shù)、形、事、理有機結合，能夠增強數(shù)學說理的解釋力，凸顯形式與內容的一致性，實現(xiàn)對原理內涵的豐富解讀，獲得本質理解。仍以乘法分配律理解為例，從文字語言的概括表達到字母符號表征，再到借助長方形面積圖形解釋說明，這本質上就是一個多種語言形式的互通互譯過程。

在實際教學中，教師既要有以數(shù)學說理培育兒童推理能力的高視角，還要有扎實訓練的低姿態(tài);既要尊重兒童數(shù)學語言發(fā)展的內部機制，還要積極挖掘推理思維訓練點，以融合潤化的方式走出一條踏實而精彩的數(shù)學說理實踐之路。

參考文獻

[1] 維科斯基.思維與語言[M].臺北：桂冠出版社，1998.

[2] 林崇德.發(fā)展心理學[M].北京：人民教育出版社，2009.

[3] 李士琦.RME：數(shù)學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2000.

[責任編輯：陳國慶]