【摘要】線性規(guī)劃（LP）是運(yùn)籌學(xué)中較早發(fā)展起來(lái)并已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的一個(gè)重要數(shù)學(xué)理論和方法。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，線性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解是很重要的一部分，本文研究和討論了線性規(guī)劃最優(yōu)解的幾種情形及其判定，彌補(bǔ)和優(yōu)化了教材和專著在這方面的不足，為用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題提供了理論依據(jù)。同時(shí)，對(duì)高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)如何靈活的運(yùn)用課本素材，以及學(xué)生創(chuàng)新思維的形成及培養(yǎng)方面起到了很好的示范作用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 線性規(guī)劃 最優(yōu)解

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）33-0134-02

一、可行域中最優(yōu)解的確定問(wèn)題

先來(lái)看一道例題：

例1 已知變量x，y滿足下列條件

X≥0，Y≥0，X+3Y≤15，X+Y≤6， 3X+Y≤15

求目標(biāo)函數(shù)Z=3X+2Y的最優(yōu)解。

解：滿足這個(gè)不等式組的（X，Y）所存在的范圍即可行域如下圖所示

∵目標(biāo)函數(shù)為Z=3X+2Y

∴作直線L：3X+2Y=t（t∈R），則是直線在X軸上的截距。

∴L向右平移？圳則變大？圳t變大，但這里的問(wèn)題是將直線3X+2Y=t向右平移時(shí)，它究竟是在經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，還是經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)，t取得最大值呢？這就需要比較目標(biāo)函數(shù)所表示直線的斜率和相關(guān)直線的斜率的大小。

∵目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的斜率是-，而相關(guān)直線3x+y=15的斜率是-3.

x+3y=15的斜率是-. x+y=6的斜率是-1.

又∵-3<-<-1<-.

最優(yōu)點(diǎn)在斜率為-3和斜率為-1的直線的交點(diǎn)M處，聯(lián)立對(duì)應(yīng)的方程得方程組

3x+y=15x+y=6 解得M（）.

Zmax=3×+2×=16.5 ， 顯然Zmax=3×0+2×0

解題反思：目標(biāo)函數(shù)在可行域中最優(yōu)解的位置與目標(biāo)函數(shù)所表示的直線的斜率及其相關(guān)直線的斜率有關(guān)，當(dāng)最優(yōu)解的位置不能從圖形中明顯看出來(lái)時(shí)，可在局部范圍比較它們斜率的大?。ó?dāng)斜率不存在時(shí)可比較其傾斜角的大?。?/p>

二、初始等值線的選擇問(wèn)題

例2 設(shè)z=2y-2x+4 ，式中x，y滿足條件 0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1， 求z的最大值和最小值。

解：作出滿足不等式組0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，的可行域如下圖陰影所示。

再作出一組z=2y-2x+4的平行直線系，即等值線2y-2x=t，我們選t=2，就是說(shuō)讓初始等值線過(guò)M點(diǎn)，即x=1，y=2時(shí)得t=2，作出2y-2x=2，這就是這里所選的初始等值線，有了這條初始等值線作參照，可明顯看出，平行直線過(guò)點(diǎn)A（0，2）時(shí)，t取得最大值，過(guò)點(diǎn)B（1，1）時(shí)，t有最小值，相應(yīng)地Zmin=2×1-2×1+4=4，Zmax=2×2-2×0+4=8。

解題反思：按慣例，作目標(biāo)函數(shù)等值線時(shí)，一般先作Ax+By=0 再作它的平行直線系找出最優(yōu)解，但在實(shí)際問(wèn)題中，究竟哪一點(diǎn)是我們所尋找的最優(yōu)解的位置呢？事實(shí)上，最優(yōu)解的確定與目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的斜率，以及相關(guān)直線的斜率有關(guān)，這在前面已經(jīng)說(shuō)到。這里所說(shuō)的是初始等值線的選擇問(wèn)題，根據(jù)本例可得出結(jié)論：在作目標(biāo)函數(shù)初始等值線時(shí)，可靈活選擇其為Ax+By=Z′，而對(duì)Z′的選擇，原則是Z′與系數(shù)A，B有關(guān)，且在數(shù)形結(jié)合時(shí)，可明顯比較出相關(guān)直線斜率或傾斜角的大小，進(jìn)而直觀的在可行域確定最優(yōu)解的位置，如上例所選Z′=2就是很好的例證。

三、 關(guān)于整數(shù)點(diǎn)的最優(yōu)解

求目標(biāo)函數(shù)整數(shù)最優(yōu)解，可利用可行域中整數(shù)網(wǎng)格的交點(diǎn)，但是利用此法對(duì)作圖要求較高，所以，有時(shí)也利用其它方法調(diào)整最優(yōu)解，如通過(guò)限制一個(gè)變量的范圍，找到橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）中的整數(shù)，再加以比較、驗(yàn)證而得到。

例3 X，Y滿足不等式組x+y≥122x+y≥15x+3y≥27x≥0，y≥0 （x，y∈Z）

求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值。

解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如右圖所示。

比較目標(biāo)函數(shù)與相關(guān)直線的斜率得：

∵ -2<-1<-<， ∴ 由方程組x+y=12x+3y=27得A點(diǎn)坐標(biāo)為（），但x，y∈z，∴A點(diǎn)不是整數(shù)最優(yōu)解，需要調(diào)整。可令x=5，此時(shí)結(jié)合圖形，y的約束條件是x+3y≥27，∴y≥∵y∈z，∴y=8 得一整數(shù)點(diǎn)（5，8），再令y=8，此時(shí)，約束條件為2x≥15x+y≥12？圯 x≥4x≥.∴x=4.又得一整點(diǎn)（4，8），比較（4，8）與（5，8），顯然，可行域中使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的整數(shù)解是（4，8），即Zmin=4+2×8=20.

作者簡(jiǎn)介：

牛郁宇（1971.5-），女，漢族，甘肅省蘭州市人，本科，中教一級(jí)，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育。