李蕊 任雪雪 盧衛(wèi)君

摘要：數(shù)學(xué)競(jìng)賽思想是在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的一種思維意識(shí)，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本觀點(diǎn)。教師在這種思想的熏陶下逐步轉(zhuǎn)變教育理念和教學(xué)方式，在學(xué)習(xí)中逐步擴(kuò)充自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，深化思維層次和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從而，在中學(xué)教學(xué)中注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。本文基于數(shù)學(xué)競(jìng)賽是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的延伸的事實(shí)基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題中的數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，展示了數(shù)學(xué)競(jìng)賽可為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注入新的活力，從而促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)競(jìng)賽 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法 探索意識(shí) 數(shù)學(xué)素養(yǎng)

0引言

數(shù)學(xué)教育家杜羅夫斯亞曾給被試者提出這樣的問(wèn)題：“用六根火柴棒作出四個(gè)等邊三角形，使三角形每邊都由一根火柴組成。”在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，大多被試者都在平面上作種種嘗試，但都已失敗告終，有的被試者經(jīng)歷失敗之后，再次嘗試分析問(wèn)題的條件，找出它們之間的聯(lián)系，最終從立體方面解決以上問(wèn)題。這充分說(shuō)明了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程是不斷嘗試、探索的一個(gè)過(guò)程。這也啟發(fā)了教師在日常的教學(xué)中注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。教師要做到很好的引導(dǎo)學(xué)生，課堂教學(xué)中做到深入淺出，觸類旁通，也需要教師有深厚的解題功底和較高的思維水平，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)習(xí)研究恰好可以促使教師不斷發(fā)展，促進(jìn)自身的成長(zhǎng)與進(jìn)步。數(shù)學(xué)競(jìng)賽重視培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，促使教師加快知識(shí)更新速度，提高自身素養(yǎng)，在一定程度上起普及現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想方法的作用。

1數(shù)學(xué)競(jìng)賽的解題思想方法及應(yīng)用

G·波利亞提出數(shù)學(xué)解題過(guò)程的四個(gè)階段，即弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這表明了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要從理解問(wèn)題開(kāi)始，經(jīng)過(guò)探索思路、轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題。在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，由于命題新穎且靈活，數(shù)學(xué)思想方法相當(dāng)于競(jìng)賽解題中的“導(dǎo)航儀”，引領(lǐng)我們?nèi)ソ鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題的解決更加凸顯了數(shù)學(xué)思想方法的重要性，它的研究和學(xué)習(xí)一方面可以提升教師的解題能力，提升教師的思維層次和數(shù)學(xué)素養(yǎng);另一方面深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)能力。

1.1分類討論思想及應(yīng)用

在解題過(guò)程中，根據(jù)題設(shè)中的已知信息，把要求解的問(wèn)題細(xì)分為幾類小問(wèn)題、或分為幾種可能的情況?；谝陨系姆诸?，再依次進(jìn)行研究和解決的數(shù)學(xué)思想，我們稱之為分類討論思想。在進(jìn)行分類時(shí)要“確定對(duì)象的全體、明確分類標(biāo)準(zhǔn)，要做到“不重不漏”。按某一標(biāo)準(zhǔn)所進(jìn)行的分類也為我們解決問(wèn)題提供了又一個(gè)非常有用的已知條件，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有助于我們有效地解決問(wèn)題。

例1：已知：的半徑為5cm，它的兩條平行弦的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，求平行弦間的距離。

兩條平行線間的距離為1cm或7cm。

這道題是典型的分類討論問(wèn)題，在中學(xué)日常教學(xué)中，遇到類似的問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生考慮到不同的情況，在教學(xué)中逐步培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識(shí)。在中學(xué)教學(xué)中，教師在教學(xué)中要做到觸類旁通，適當(dāng)拓展教學(xué)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)圓的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，把例1作為拓展訓(xùn)練題或者組織學(xué)生分組討論。在這個(gè)過(guò)程中，教師很好的引導(dǎo)與鼓勵(lì)學(xué)生，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)去探究，提示學(xué)生用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)思想方法嘗試去求解。關(guān)于幾何圖形的證明或者求解問(wèn)題，在沒(méi)有給定圖形的情況下，一般需要分類討論。

1.2轉(zhuǎn)化與化歸思想及應(yīng)用

轉(zhuǎn)化與化歸，即是在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究和解決時(shí)，利用某種方法對(duì)問(wèn)題的形式進(jìn)行變形從而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法。即是復(fù)雜向簡(jiǎn)單、未知向已知、一般向特殊、抽象向具體、實(shí)際向模型的轉(zhuǎn)化。

例2：設(shè)，都是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值是5，求在上的最小值。

解：由是奇函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，

為奇函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值是3，依據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，在上有最小值為3，

在上的最小值為1。

此題把要求解代數(shù)式轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)，利用“轉(zhuǎn)化”這種思想是解決此數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵。轉(zhuǎn)化的策略思想就是變“正面強(qiáng)攻”為“側(cè)翼進(jìn)攻”的思維方法。此題在教學(xué)中學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)可作為拓展訓(xùn)練，加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的了解，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用。在做中學(xué)的學(xué)習(xí)中將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式以及恒等變換中的“和差化積”等都是應(yīng)用的轉(zhuǎn)化的思想方法。

2數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響

2.1激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題方法具有巧妙性、新穎性，有它獨(dú)特的數(shù)學(xué)魅力。它是學(xué)生之間智力的博弈，學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需要具備洞察全局的觀察力，嘗試不同的求解路徑。學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲驅(qū)動(dòng)他們?nèi)L試，當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的努力，解決一道數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，會(huì)有一種強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)成就感，體驗(yàn)探索知識(shí)的快樂(lè)。因此，他們想要探尋更多的問(wèn)題，擴(kuò)寬知識(shí)，積極主動(dòng)的參與多種數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)未知的東西更加感興趣，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.2注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)

解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題關(guān)鍵在于如何尋找出特殊的解題路徑，解題的過(guò)程是不斷試錯(cuò)的過(guò)程，需要學(xué)生充分發(fā)揮自己的聰明才智，嘗試不同的切入點(diǎn)，運(yùn)用不同的解題方法。在這個(gè)學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新型思維。其中，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力量，是支撐起數(shù)學(xué)知識(shí)的骨架。數(shù)學(xué)競(jìng)賽巧妙的解法依賴于數(shù)學(xué)思想方法的合適選取和應(yīng)用，教師可選取適當(dāng)?shù)母?jìng)賽題目作為學(xué)生的拓展訓(xùn)練，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的理解，讓學(xué)生體會(huì)到它們的強(qiáng)大輻射。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生注重積累數(shù)學(xué)思想方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。

2.3提高教師和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題考察綜合性較強(qiáng)，對(duì)師生的計(jì)算能力、數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力以及圖形的觀察要求較高。中學(xué)數(shù)學(xué)教師不僅應(yīng)當(dāng)具備較強(qiáng)的解題力，而且還應(yīng)當(dāng)能夠指導(dǎo)學(xué)生解題。學(xué)生在嘗試解決數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，要做到清晰的分析題干信息，并且調(diào)動(dòng)自身已有的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的積累嘗試求解。不管最終是否妥善的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都會(huì)有所收獲。數(shù)學(xué)競(jìng)賽可以增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，培養(yǎng)其創(chuàng)造性思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。同時(shí)，教師借助數(shù)學(xué)競(jìng)賽可以了解到當(dāng)前社會(huì)最新的數(shù)學(xué)研究結(jié)論、成果，更新自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)競(jìng)賽的相關(guān)理念可以轉(zhuǎn)變教師的培養(yǎng)理念，增強(qiáng)教師對(duì)課堂教學(xué)的整體設(shè)計(jì)能力和課堂駕馭能力。

2.4促進(jìn)中學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)理念的更新

數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培養(yǎng)理念和素質(zhì)教育的理念是一致的，都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維能力培養(yǎng)。數(shù)學(xué)競(jìng)賽有很大的開(kāi)放性和發(fā)展性，其內(nèi)容不斷更新，部分?jǐn)?shù)學(xué)競(jìng)賽題目是由現(xiàn)代數(shù)學(xué)結(jié)論改編形成的，它能為中學(xué)教學(xué)注入新的活力。教師轉(zhuǎn)變教育理念，在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生，給予學(xué)生自由思考，主動(dòng)探索的機(jī)會(huì)，注重對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)。學(xué)生知識(shí)視野更加開(kāi)闊，思維更加靈活。數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合這四部分內(nèi)容，蘊(yùn)含著現(xiàn)代的新的內(nèi)容、新的方法、新的思想，進(jìn)一步充實(shí)了中學(xué)教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教育理念也在一定程度上影響著中學(xué)生的培養(yǎng)理念，它把一線教學(xué)者目光引向創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)，促進(jìn)教學(xué)理念的更新。

3結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)競(jìng)賽是中學(xué)教育的一部分，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的開(kāi)展以中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)，同時(shí)又是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的外延。從學(xué)生層面來(lái)看，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽可以鞏固自己已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的探究能力，活躍學(xué)生的思維，提升學(xué)生種綜合能力。從教師層面來(lái)看，教師在開(kāi)展學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)競(jìng)賽的過(guò)程中，不斷更新自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加深對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的理解，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和研究能力，并以數(shù)學(xué)競(jìng)賽為媒介更好的吸收現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容和思想方法。教師在教學(xué)過(guò)程中能更好的調(diào)動(dòng)施教對(duì)象的學(xué)習(xí)熱情，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，自覺(jué)提高教學(xué)水準(zhǔn)。在中學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)競(jìng)賽內(nèi)容可促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，其主要體現(xiàn)在注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力;提高教師的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng);促進(jìn)中學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)理念的更新。

基金項(xiàng)目：廣西民族大學(xué)2018年研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)：gxun-chxps201814）。

作者簡(jiǎn)介：李蕊（1994.11—），女，河南滑縣人，廣西民族大學(xué)理學(xué)院學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士生，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1] 曹瑞彬.中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽教學(xué)的實(shí)踐與思考[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2014（12）：19-23.

[2] 卞金來(lái).運(yùn)用分類討論的思想方法解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版）， 2010（04）：27-30.

[3] 羅濤.活用化歸與轉(zhuǎn)化思想，破解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)難題[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（12）：40-42.

[4] 澤西.數(shù)學(xué)競(jìng)賽與素質(zhì)教育[J].西藏科技， 2002（10）：37-39.

[5] 李保臻，孫名符.數(shù)學(xué)教師繼續(xù)教育課程建設(shè)相關(guān)因素分析[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007（02）：110-113.