卓芬波

摘 要：“分數(shù)與除法”一課旨在讓學生發(fā)現(xiàn)分數(shù)與除法的聯(lián)系，理解分數(shù)的“商”的定義，從而進一步掌握分數(shù)的意義。但學生還是難以理解從“一個整體”平均分這一分數(shù)概念。筆者以“分數(shù)與除法”磨課一疑談起，從前測入手改進教學到再次教學，探究借助留痕策略進行有效教學的方法，讓學生更好地明白分數(shù)所表示的意義。

關(guān)鍵詞：留痕策略;數(shù)學課堂;教學思考

一、教材分析

“分數(shù)與除法”一課是“分數(shù)的意義和性質(zhì)”單元中的第二課時內(nèi)容，通過教學，讓學生感受到分數(shù)的數(shù)學來源：計算時往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，常用分數(shù)表示。認識分數(shù)與除法的統(tǒng)一點：對一個整體進行的平均分。把“分數(shù)與除法”這一課安排在“分數(shù)的意義”這一節(jié)課的后面，是通過安排分數(shù)的產(chǎn)生、分數(shù)的意義、分數(shù)與除法的關(guān)系這三個層次的教學，使學生更完整地建立起分數(shù)的概念。

教材通過兩個實例，由計算■和■概括出分數(shù)與除法的關(guān)系。重點從加深和擴展對分數(shù)意義的理解，發(fā)展到還可表示兩個數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商，揭示分數(shù)另一方面的意義。這樣就讓學生很好地理清了分數(shù)的兩種身份：既可表示分率（關(guān)系），也可以表示具體的數(shù)量。表示分率時可以通過運算得到，也可以通過平均分得到，表示量時可以通過度量得到，也可以通過計算得到，使學生對分數(shù)形成一個更清晰而完整的認識。

二、第一次試教及教學反思

基于這樣的教材分析，筆者對“分數(shù)與除法”一課進行了第一次嘗試教學。

（一）教學片段展示

片段一：探究“把3個餅平均分給4人，每人分得多少個？”

學生列出算式，說出答案是■個。

教師追問：你是怎么想的？（學生說不清）

師：四人小組利用桌面上的學具合作來折一折、剪一剪、分一分，親自動手操作驗證。

出示溫馨提示：

1. 想一想：你們打算怎么分？

2. 分一分：看看每人分得多少個？

3. 說一說：小組內(nèi)交流你們的想法。

（學生匯報，集體探究。）

生1：一個一個分，把1個餅平均分成4份，3個餅平均分成12份，每人可分得3份，就是■。

生2：不對，一個一個分，把1個餅平均分成4份，每人得到■個，3個餅就有3個■，是■個。

生3：把3個餅疊在一起分，平均分成4份，共分成12份，每人分得3份就是■。

看似熱鬧有效的操作，學生卻得出一個錯誤的“■”，而且一再說“共分成了12份”。筆者思考，這是因為學生在剪開后，不管是一個一個剪還是三個一起剪，他們都是直觀地看到了把3個餅平均分成了12份這個結(jié)果，很難看著自己剪開的結(jié)果并說出自己思考的過程。剪開后，學生更容易看到的是操作后的結(jié)果：把3個餅平均分成了12塊。所以學生在操作中分不清到底是把1個餅看作單位1，還是把3個餅看作單位1，進入了課堂操作的誤區(qū)，顧此失彼，這樣的探究實際上是低效的，阻礙了學生思維的發(fā)展。

片段二：課件演示分餅過程，進行學法的指導(dǎo)。

師：剛才幾個小組為我們展示了兩種不同的分法，我們一起來看看。第一種方法：一個一個分，把每個餅平均分成4份，每1份就是1個餅的■，每人可分得3個■個餅，就是■個;第2種方法：把3個餅疊在一起，平均分成4份，每人分得其中的1份，每份占這三個餅的■，就是■個。

面對學生的困惑，教師及時組織了課件進行演示，盡管課件動態(tài)演示一個個推進，但是還是有一部分的學生還是處在懵懂狀態(tài)，難以理解。而且動態(tài)畫面一晃而過，學生難留下印象。所以在跟進練習，描述把3個餅平均分給5個人，每人分得多少個時，學生總是很難把兩種分法表述清楚，教學效果欠佳。

（二）教學反思

課后對學生進行了后測評估：把5米長的繩子平均分成7段，每段是這條繩子的■，每段長是■米。發(fā)現(xiàn)有64.2%的學生填成“每段是這條繩子的■”。學生量率難以區(qū)分，出錯率較高，只能用除法模仿求出5÷7=■，并不明白這■米其實就是把5米看做單位1平均分成7份，表示的是5米的■。

那么，能不能讓學生不剪，直接讓學生畫出來？還是剪、畫一起上更合理？學生到底認知起點在哪里？于是，對另一個班學生進行了前測分析。

把3個餅平均分給4個人，每人分得多少個？請把你的想法詳細地寫下來，你可以畫圖，可以列式，也可以文字描述。

反饋如下：

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這道題學生基本都能畫圖表征，部分學生還是能用“平均分”的方法，感悟到每人可以分到這樣的3個小份。但是要把這三個小份再次合并成一個圓的■，也就是說要得出■個這個結(jié)果，對于學生來說還是有點困難的。

五年級的學生正處于具象思維過渡到抽象思維的階段。對于處在這階段的學生，教師應(yīng)當采用多種學習方式幫助他們進行思考，應(yīng)當順應(yīng)兒童的視角，采用多元的表征方式，以圖形、文字、符號等多種數(shù)學語言為橋梁。而留痕則讓他們有足夠時間和空間去觀察、推理和驗證。通過留痕，學生不僅能看到“原來的‘1，現(xiàn)在的每份”，整個分的過程也能被清晰呈現(xiàn)，而且還能看到同伴是怎么想的，又是怎么做的，進而使數(shù)學思考過程清晰可見、條理分明，從而提高課堂探究的成效。

三、第二次試教及其教學策略

筆者改進了教學策略，進行了第二次試教。

（一）同桌合作，剪、畫同步表征

1. 探究步驟

（1）想一想：你們打算怎么分？

（2）通過分一分、畫一畫等方式，研究每人分得多少個？

（3）與其他小組交流你們的想法。

2. 反饋交流

為學生準備了剪的圓片和畫的探究單兩種材料，可以任選其中的一種進行操作，給學生廣闊的空間，更利于學生的自主探究，從全班收集的探究單來看，有將近一半的學生選擇了畫一畫來探究，有一小部分學生是既剪又畫，只有15個學生選擇剪一剪來分。學生選擇畫出分餅的過程，讓圖形作為橋梁，架起學生具象思維和抽象思維之間的聯(lián)系，有利于學生把自己的想法有條理地表述出來，通過多個學生對■的質(zhì)疑分析，讓學生對分得的結(jié)果——3份就是3個■個合起來就是■個有了一個清晰正確的認識，發(fā)展了學生的思維。同時，在相互的辨析交流中，學生形成了一個正確的認知：一個一個分，或是3個一起分，都是把這些餅平均分成4份，每份都是這些餅的■，3份就是■。

（二）手動演示，留痕深刻思維

在學生展示分餅過程后，教師適時小結(jié)。

變課件演示為手動演示分餅過程，引領(lǐng)深化，形成正確認知。在學生分餅或畫餅過程展示完后，還有部分學生處于懵懂的狀態(tài)，似懂非懂，這時急需教師進行知識引領(lǐng)。而教師的手動演示更能帶動學生更多的視覺、聽覺感官的參與，特別是在第二種分法中，3個餅的■也就是■個，這里有一個分率與具體量之間的轉(zhuǎn)化過程，讓學生看得更清晰，喚醒學生的再現(xiàn)性思維，并且板貼在黑板上，讓學生印象深刻。這樣的留痕，成了學生數(shù)學思維生長的推進器，幫助學生更好地理清思維的過程，更容易理解數(shù)學新知識，提升思維的深刻性。

（三）文字記錄，充分落實意義

1. 文字記錄（與教師演示同步進行）。

2. 聯(lián)想：如果把3個餅平均分給5人，每人分得多少個？

把兩種分餅的過程用文字記錄呈現(xiàn)，有利于學生知識的再構(gòu)建。在教師演示完后，用簡短的文字記錄兩種分餅的過程，引導(dǎo)學生用準確簡煉的語言來回顧重現(xiàn)，充分落實了分數(shù)的兩種意義。同時也給學生一個支架，在學生講述“如果把3個餅平均分給5人，每人分得多少個？”時，都能借文字來表述，效果明顯。既加深了學生對分數(shù)意義的理解，又有助于培養(yǎng)學生的抽象概括能力。

本節(jié)課經(jīng)歷了直觀操作→畫圖表征→演示深化→文字內(nèi)化這些過程，學生對分數(shù)的兩種意義有了深刻的感悟。從意義展開，讓學生明白3個餅的■是3個■個是■個，它們的本質(zhì)是一樣的，然后用意義結(jié)束，讓學生感受“把一個具體量平均分成若干份，表示這樣一份的量也是分數(shù)”。沿著這條主線，得到了分數(shù)與除法的關(guān)系，并用符號表征，建立數(shù)學模型，水到渠成。同時也把這節(jié)課的教學研究拓展到6÷6=■，7÷6=■以及（ ）÷6=■，為學習真分數(shù)、假分數(shù)等知識奠定了良好的基礎(chǔ)。

由此可見，留痕策略能讓教師更好地了解學生、讀懂學生，基于學情，讓教學設(shè)計的方向更準確，讓學生的探究活動更有效，讓課堂教學更厚實豐滿，進而提升學生思維的深刻性。