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        高等代數(shù)課程中抽象思維及方法論教學(xué)探討

        2019-06-05 01:04:59夏春光
        關(guān)鍵詞:高等代數(shù)抽象思維方法論

        夏春光

        摘要:高等代數(shù)課程注重抽象思維的訓(xùn)練,同時(shí)也注重?cái)?shù)學(xué)方法的運(yùn)用。本文以特定內(nèi)容探討抽象思維與數(shù)學(xué)方法在高等代數(shù)課程中的教學(xué)。具體而言,一方面以一些代數(shù)基本概念的漸次演變來(lái)探討抽象思維的教學(xué),另一方面,以化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的幾種典型與非典型方法來(lái)探討數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。

        關(guān)鍵詞:高等代數(shù);抽象思維;方法論

        doi:10.16083/j.cnki.1671-1580.2019.05.023

        中圖分類(lèi)號(hào):G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1671-1580(2019)05-0095-04

        一、前言

        高等代數(shù)是高等院校本科數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一。該課程在國(guó)內(nèi)大多數(shù)教材中通常包含以下主要教學(xué)單元:多項(xiàng)式理論,行列式理論,線(xiàn)性方程組理論,矩陣?yán)碚?,二次型理論,線(xiàn)性空間理論,線(xiàn)性變換理論,歐式空間理論以及若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型理論及雙線(xiàn)性代數(shù)理論。大多數(shù)教材都是穿插安排數(shù)學(xué)方法與計(jì)算及代數(shù)概念的抽象及邏輯思維訓(xùn)練。在席南華院士著的教材《基礎(chǔ)代數(shù)》中,講解的內(nèi)容更加系統(tǒng)和深入,該教材第一卷側(cè)重?cái)?shù)學(xué)方法與計(jì)算,第一卷的第五章及第二卷側(cè)重代數(shù)概念的抽象及邏輯思維訓(xùn)練。

        在高等代數(shù)主要教學(xué)單元中,有的側(cè)重抽象思維及邏輯思維訓(xùn)練,比如:多項(xiàng)式理論中的基礎(chǔ)概念引入部分蘊(yùn)含著域、環(huán)、群的漸次抽象,線(xiàn)性方程組理論中線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表示、線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)等核心概念的敘述,線(xiàn)性空間理論中線(xiàn)性空間概念八條公理的結(jié)構(gòu)性展示,歐式空間中歐式空間概念四條公理的幾何化引入。本文將以域、環(huán)、群的漸次抽象演變來(lái)探討高等代數(shù)課程中代數(shù)概念的抽象思維的教學(xué)。

        高等代數(shù)課程教學(xué)還強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法與計(jì)算。比如:多項(xiàng)式理論中帶余除法及輾轉(zhuǎn)相除法的計(jì)算,行列式計(jì)算中常用計(jì)算方法及特殊行列式的計(jì)算技巧,二次型理論中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的三種典型方法,線(xiàn)性變換理論與矩陣?yán)碚撝芯€(xiàn)性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系。大多數(shù)教材都包括化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的三種典型方法:配方法、合同變換法、正交相似對(duì)角化法。此外,還有一些非典型方法,比如雅克比法、偏導(dǎo)數(shù)法等。本文還將以高等代數(shù)課程中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的典型與非典型方法來(lái)探討數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。

        二、抽象思維的教學(xué)探討

        本節(jié)將以域、環(huán)、群的漸次抽象演變來(lái)探討高等代數(shù)課程中代數(shù)概念的抽象思維的教學(xué)。在多項(xiàng)式理論引入基礎(chǔ)概念時(shí)蘊(yùn)含著域、環(huán)、群的漸次抽象。在席南華院士所著的教材《基礎(chǔ)代數(shù)》第一卷中,專(zhuān)門(mén)有第五章進(jìn)行了講解。

        (一)常見(jiàn)數(shù)集四則運(yùn)算表

        以下我們用字母N、Z、Q、R、C分別表示中學(xué)階段學(xué)過(guò)的自然數(shù)集(含數(shù)字O)、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集??紤]這些集合對(duì)四則運(yùn)算的封閉性,用符號(hào)F及BF分別表示四則運(yùn)算的封閉與否,很容易得出表1。

        (二)第一次抽象

        觀察上述表格,關(guān)注數(shù)集對(duì)四則運(yùn)算的封閉性。可以看出,有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集對(duì)于加、減、乘、除均是封閉的,并且在這三個(gè)數(shù)集中都含有數(shù)字0和1。由此,給大一新生講解數(shù)域概念時(shí),可以自然地稱(chēng)滿(mǎn)足這樣特點(diǎn)的數(shù)集就為“數(shù)域”。同樣地,可以看出整數(shù)集除了除法運(yùn)算都是封閉的,并且也含有數(shù)字0和1,可以自然地稱(chēng)滿(mǎn)足這樣特點(diǎn)的數(shù)集就為“數(shù)環(huán)”。這樣就容易讓學(xué)生從中學(xué)熟悉的知識(shí)過(guò)渡到大學(xué)知識(shí)。這也讓學(xué)生們更容易理解,為什么在高中時(shí)就經(jīng)常聽(tīng)老師說(shuō)有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域了,原因是它們確實(shí)是數(shù)域。當(dāng)然,進(jìn)行概念的抽象時(shí),我們還應(yīng)關(guān)注新的概念是否包含非平凡的例子。事實(shí)上,我們可以構(gòu)造如下的集合。

        從數(shù)域的定義,我們知道復(fù)數(shù)域是最大的數(shù)域,且容易證明有理數(shù)域是最小的數(shù)域,而實(shí)數(shù)域是介于有理數(shù)域與復(fù)數(shù)域之間的常見(jiàn)數(shù)域。上述例1就是一個(gè)介于有理數(shù)域與復(fù)數(shù)域之間的且不同于實(shí)數(shù)域的非平凡的例子,常稱(chēng)為高斯數(shù)域。同樣道理,上述例2是一個(gè)不同于整數(shù)環(huán)的例子,常稱(chēng)為高斯整環(huán)。

        (三)第二次抽象

        在第一次抽象的基礎(chǔ)上,關(guān)注運(yùn)算律及特殊元的存在性。我們注意到,數(shù)域有兩種運(yùn)算,一種是加法“+”,另一種是乘法“×”,加法滿(mǎn)足結(jié)合律,交換律、含有數(shù)字0,每個(gè)數(shù)相對(duì)于加法存在負(fù)數(shù),乘法滿(mǎn)足結(jié)合律、交換律,含有數(shù)字1,每個(gè)非零數(shù)相對(duì)于乘法存在倒數(shù),此外,乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律。將上述特點(diǎn)抽象出來(lái)就可以給出下述一般域的定義,去掉了“數(shù)”這個(gè)定語(yǔ)。

        上述例3是最簡(jiǎn)單而又最重要的有限Galois域,其在密碼編碼學(xué)中具有重要的應(yīng)用。日常生活中也常見(jiàn)其身影,比如計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)使用的二進(jìn)制,還比如全世界都在使用的星期計(jì)時(shí)用的七進(jìn)制。上述例4是高等代數(shù)教學(xué)中需要重點(diǎn)講解的,在整個(gè)高等代數(shù)理論中起著重要作用的數(shù)學(xué)工具。

        (四)第三次抽象

        在第二次抽象的基礎(chǔ)上,關(guān)注運(yùn)算名稱(chēng),我們注意到域的兩種運(yùn)算均滿(mǎn)足相同的運(yùn)算律,均含有平行的特殊元(如加法零元與乘法幺元,加法負(fù)元與乘法逆元)。將這些共性抽象出來(lái)就可以得到群的概念:群含有一種運(yùn)算,常稱(chēng)為乘法“·”,此運(yùn)算封閉,且滿(mǎn)足結(jié)合律,含有單位元,每個(gè)元都有逆元。進(jìn)一步,如果要求群運(yùn)算滿(mǎn)足交換律就稱(chēng)為交換群,即Abel群。另外,如果不要求逆元的存在性,就抽象出了半群的定義。在這一層次,我們可觀察下面的例子。

        上述例5稱(chēng)為4階二面體群,其可看成保持正方形不變的2個(gè)旋轉(zhuǎn)(順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度)和2個(gè)反射(上下反射,左右反射)所組成的非交換群。上述例6是最簡(jiǎn)單的半群,也就是說(shuō),從幼兒園時(shí)期,老師家長(zhǎng)就在口口相傳的1加1等于2這些口訣,實(shí)際上是最基本的代數(shù)單元:半群。

        (五)抽象思維的教學(xué)注意點(diǎn)

        從上述三次具體的抽象過(guò)程可以看出,教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,對(duì)于抽象概念的講解引入應(yīng)當(dāng)注重:1.由淺入深,由學(xué)生熟悉的知識(shí)逐漸過(guò)渡到新的概念;2.抽象過(guò)程應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在一定程度上抓住原始概念某些方面的本質(zhì),并賦予“新的”具有代表性的名稱(chēng);3.抽象過(guò)程應(yīng)當(dāng)是真正意義上的抽象,而不能僅僅是換個(gè)名稱(chēng),應(yīng)當(dāng)舉出實(shí)例讓學(xué)生明白,這一過(guò)程確實(shí)進(jìn)行了抽象,確實(shí)包含了原始概念不能覆蓋的情形,從而將多個(gè)概念放到一個(gè)更大的框架下進(jìn)行認(rèn)識(shí),提升學(xué)生的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的深度。

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