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        淺談不定積分中“湊微分法”的教學(xué)

        2019-05-29 09:48:59黃穗
        文理導(dǎo)航 2019年17期
        關(guān)鍵詞:不定積分數(shù)學(xué)分析

        黃穗

        【摘 要】微積分的不定積分法在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用具有重要作用,其中“湊微分法”(第一類積分法)是三大計(jì)算方法之一,核心思想是通過“湊”微分,把關(guān)于復(fù)合函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的不定積分。

        【關(guān)鍵詞】不定積分;湊微分法;數(shù)學(xué)分析

        微積分中的不定積分法在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)和應(yīng)用中具有舉足輕重的作用。就整個(gè)微積分學(xué)而言,不定積分是從導(dǎo)數(shù)的角度來定義的,因此,在某種程度上可以看成是微分的逆運(yùn)算;其后是在定積分、多重積分、線積分、面積分的計(jì)算基礎(chǔ)。就整個(gè)高等數(shù)學(xué)而言,不定積分的計(jì)算也是微分方程、數(shù)值分析、勒貝格積分等的基本工具。因此,在關(guān)于不定積分法的教學(xué)過程中,為了使學(xué)生能夠理解掌握并熟練應(yīng)用積分法,教材會有針對性地對不同類型的問題提供不同的積分法,教師也會安排較多課時(shí),通過計(jì)算大量的例題、布置較多作業(yè)完成教學(xué)。

        在三大積分法(包括湊微分法、第二類換元法、分部積分法)中,首當(dāng)其沖的即是“湊微分法”,我們也稱之為第一類換元法。相較于其他兩種積分法,湊微分法更為靈活多變,處理的問題也更為廣泛。在湊微分法的教學(xué)過程中,我們首先要確定的是,湊微分法解決的是哪類函數(shù)的不定積分問題;其次是“湊什么”、“怎么湊”的問題;最后需要解決湊微分法與其他積分法的綜合應(yīng)用。

        現(xiàn)在先回答第一個(gè)問題。湊微分法主要解決的是復(fù)合函數(shù)求不定積分節(jié)分的問題。我們通過以下例題進(jìn)行說明。

        湊微分法的使用靈活多變,要求使用者對積分公式表中的積分較為熟悉,可通過觀察分析被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)確定“湊什么”“怎么湊”的問題。此積分法在含三角函數(shù)的不定積分計(jì)算中尤為重要,需要通過大量練習(xí)才能熟悉掌握,從而為更復(fù)雜的計(jì)算打好基礎(chǔ)。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]歐陽光中等.數(shù)學(xué)分析(上冊)第四版[M].高等教育出版社,2018

        [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)第四版[M].高等教育出版社,2010

        [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊)第七版[M].高等教育出版社,2014

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