曾凡霖 吳 威

（1.福建省福州三牧中學(xué)，福建福州 350001；2.福建省福州第一中學(xué)，福建福州 350001）

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)：在初中階段，學(xué)生將進(jìn)一步參與綜合實(shí)踐活動(dòng)，探討一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，學(xué)生需要經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的基本過(guò)程；體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步形成對(duì)數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí)；獲得一些研究問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力，加深理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)；通過(guò)獲得成功的體驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心[1]。

一、建構(gòu)主義學(xué)習(xí)環(huán)境下的學(xué)習(xí)和指導(dǎo)

在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生需要對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探索，清晰表述自身已具備的知識(shí)以及學(xué)到的內(nèi)容，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行推測(cè)猜想，建構(gòu)和檢驗(yàn)自身的理論與模型，反思建模行為的全過(guò)程，分析自己的行為，這些都是建模學(xué)習(xí)過(guò)程不可或缺的[2]。

教師在進(jìn)行適時(shí)的指導(dǎo)過(guò)程中，需要向?qū)W生教授知識(shí)，并進(jìn)行示范，幫助學(xué)生模仿、練習(xí)，讓學(xué)生能夠解釋自己所使用的策略，支持學(xué)生知識(shí)的建構(gòu)和元認(rèn)知[3]。教師的示范是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)環(huán)境中最簡(jiǎn)單的教學(xué)策略，能夠?yàn)閷W(xué)生提供一種希望達(dá)到的實(shí)作案例，呈現(xiàn)出有經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題解決者是如何解決問(wèn)題的，讓學(xué)生將學(xué)習(xí)注意力從關(guān)注問(wèn)題的解決方法轉(zhuǎn)向關(guān)注問(wèn)題的狀態(tài)結(jié)構(gòu)和相關(guān)步驟，對(duì)認(rèn)知過(guò)程進(jìn)行分析和理解，掌握為何要這樣做以及怎樣做。

為了學(xué)習(xí)，學(xué)生一般會(huì)嘗試先模仿教師或某些材料中的示范，慢慢由最初的粗糙模仿，到將過(guò)程清晰化并習(xí)慣該行為方式，最后成為熟練的建模者。

好的指導(dǎo)者能向?qū)W生提供足夠的動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，會(huì)讓學(xué)生知道建模學(xué)習(xí)的重要性。當(dāng)學(xué)生開(kāi)始解決問(wèn)題時(shí)，可能對(duì)建模任務(wù)的興趣不高，教師應(yīng)不斷提高學(xué)生的自信心，為學(xué)生提供積極參與建模的動(dòng)力，在問(wèn)題解決的初期更應(yīng)如此。當(dāng)學(xué)生投入解決問(wèn)題時(shí)，教師還需要向?qū)W生提供另外的、間斷性的驅(qū)動(dòng)。

因此，在本文的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)研究中，學(xué)生選定了“洗發(fā)水定價(jià)問(wèn)題”進(jìn)行研究，教師具體的行為如下：（1）調(diào)整任務(wù)難度，通過(guò)調(diào)整腳手架，設(shè)置適合學(xué)習(xí)者完成的任務(wù)；（2）重構(gòu)任務(wù)以代替知識(shí)，即重新設(shè)計(jì)任務(wù)，當(dāng)學(xué)生不能獨(dú)立完成建模任務(wù)時(shí)，幫助他們重新設(shè)計(jì)任務(wù)或幫助他們學(xué)習(xí)需要具備的技能；（3）提供新評(píng)價(jià)，當(dāng)學(xué)生在建模過(guò)程中遭遇失敗時(shí)，教師通過(guò)典型案例幫助學(xué)生分析問(wèn)題的本質(zhì)，使學(xué)生大致理解問(wèn)題的解決方案，從而設(shè)計(jì)問(wèn)題的表征和問(wèn)題的分解過(guò)程。

二、“洗發(fā)水定價(jià)問(wèn)題”建模及指導(dǎo)

（一）原始問(wèn)題

我們知道，在日常生活中購(gòu)買(mǎi)一種商品時(shí)，往往買(mǎi)大包裝比買(mǎi)小包裝的商品更劃算，這是由商品的出廠價(jià)決定的。

在商場(chǎng)中往往會(huì)出現(xiàn)這樣的情形：同種商品有不同大小的型號(hào)，價(jià)格也各不相同，如某品牌的牙膏有40 克、120 克、165 克三種包裝，價(jià)格也各不相同。此時(shí)，可安排學(xué)生以小組為單位嘗試研究包裝大小和價(jià)格的規(guī)律。目的是確定某種規(guī)格的產(chǎn)品的出廠價(jià)格，并幫助顧客在選擇包裝時(shí)，判斷購(gòu)買(mǎi)商品是否劃算。

（二）實(shí)施過(guò)程

（1）學(xué)生：小組成員需要討論調(diào)查目標(biāo)、調(diào)查范圍（地點(diǎn)）、方式、分工，充分做好市場(chǎng)調(diào)查，有能力的學(xué)生可以更深入地研究?jī)r(jià)格規(guī)律。

（2）教師：指導(dǎo)學(xué)生查閱資料，并到不同地區(qū)的市場(chǎng)和超市采集數(shù)據(jù)，了解不同型號(hào)的相關(guān)產(chǎn)品價(jià)格，并借助函數(shù)來(lái)研究?jī)r(jià)格和型號(hào)之間的關(guān)系；鼓勵(lì)學(xué)生分工合作完成調(diào)查和統(tǒng)計(jì)；在操作過(guò)程中，對(duì)不合理的方法和做法，要進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自主尋求解決問(wèn)題的方法，也可以將其作為反思的案例；在學(xué)生完成任務(wù)后，組織各小組進(jìn)行討論交流，讓學(xué)生將調(diào)查結(jié)果、分析方法、猜想規(guī)律等進(jìn)行交流，分享自己的收獲。

（三）模型的建立和分析總結(jié)報(bào)告

鑒于該課題以初等函數(shù)模型為背景，與所采集的數(shù)據(jù)密切相關(guān)，適合采用 “數(shù)據(jù)擬合法”進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，結(jié)合“理論分析法”選擇適合的函數(shù)模型。

例如，“飄柔”洗發(fā)水的凈含量和價(jià)格的關(guān)系，這一模型的建立比較容易，對(duì)大眾常用的 “飄柔”洗發(fā)水進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查，也能使建模結(jié)果的模擬更有應(yīng)用空間。

通過(guò)調(diào)查，得到表1。

表1 飄柔洗發(fā)水價(jià)格表

模型一：一次函數(shù)模型

部分小組成員認(rèn)為，商品價(jià)格與凈含量可以近似為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)每瓶洗發(fā)水的凈含量為x毫升，價(jià)格為y元，關(guān)系為一次函數(shù)y=kx+b(k≠ 0)。

將數(shù)據(jù)代入我們發(fā)現(xiàn)：

當(dāng) 750x= 時(shí)，與實(shí)際價(jià)格差別較大。

同理，人參滋養(yǎng)功能與杏仁長(zhǎng)效柔順功能的洗發(fā)水估計(jì)價(jià)格與實(shí)際價(jià)格相比都高出許多。

經(jīng)過(guò)分析，很容易得出：如果將一次函數(shù)作為擬合函數(shù)，其實(shí)是一種假設(shè)，價(jià)格隨著洗發(fā)水凈含量的增加而提高，即每增加毫升量的洗發(fā)水，價(jià)格增加是一定的，顯然市場(chǎng)的定價(jià)與這一規(guī)律不相符。

模型二：多因素線性模型

由上文分析可知，只考慮單一的因素是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。除了生產(chǎn)成本外，商品的銷(xiāo)售價(jià)格還受到很多因素的影響，如包裝、運(yùn)輸、消費(fèi)者心理等。如果綜合考慮所有的因素，模型可能非常復(fù)雜，無(wú)法建立，因此，學(xué)生可以選擇對(duì)商品價(jià)格變化影響較大，且方便研究的因素進(jìn)行分析。

模型假設(shè)：（1）洗發(fā)水的生產(chǎn)成本1y和包裝成本2y決定洗發(fā)水的價(jià)格y；（2）洗發(fā)水的生產(chǎn)成本與洗發(fā)水的凈含量成正比，且每瓶洗發(fā)水裝滿；（3）洗發(fā)水的包裝成本與洗發(fā)水包裝殼的表面積成正比。

模型建立：設(shè)每瓶洗發(fā)水的凈含量為x毫升，價(jià)格為y元，每毫升洗發(fā)水的成本為a元，則洗發(fā)水的生產(chǎn)成本為ax元；由于洗發(fā)水的包裝表面積與洗發(fā)水體積的次冪成正比，因此包裝成本為于是洗發(fā)水的價(jià)格為

模型檢驗(yàn)：

把x= 750代入，驗(yàn)證得：yA≈ 34.49，與原始調(diào)查數(shù)據(jù)比較接近。

檢驗(yàn)結(jié)果分析：

（1）洗發(fā)水的實(shí)際出廠價(jià)格除了洗發(fā)水成本和包裝成本外，還有其他成本（如外包裝），另外，由于需要以營(yíng)利為目的，因此模擬的價(jià)格與實(shí)際情況有一定的差距；

（2）此模型假設(shè)成本與洗發(fā)水凈含量以及與表面積成正比，都是理想中的簡(jiǎn)化模型，當(dāng)考慮因素更多或者調(diào)查數(shù)據(jù)更充分時(shí)，可以得到更準(zhǔn)確的關(guān)系；

（3）在此模型相對(duì)合理的基礎(chǔ)上，我們還可以考查運(yùn)輸成本以及商品的利潤(rùn)等因素，進(jìn)一步改進(jìn)模型，讓市場(chǎng)價(jià)格變得更加合理；

（4）由分析結(jié)果可知，對(duì)于包裝費(fèi)、運(yùn)輸費(fèi)等，小包裝洗發(fā)水的每毫升平均費(fèi)用比大包裝洗發(fā)水更高，因此在實(shí)際生活中，應(yīng)選擇大包裝洗發(fā)水更合算；

（5）在建模過(guò)程中研究的洗發(fā)水模型有著廣泛的適用性，當(dāng)考慮包裝相似的產(chǎn)品，如牙膏、飲料、奶粉等都可以使用，但如果包裝不同或產(chǎn)品的具體類(lèi)型不同，就不適合采用此模型估計(jì)價(jià)格。

以上案例包含多種典型初等數(shù)學(xué)模型，是初等函數(shù)模型在價(jià)格估算方面的應(yīng)用案例。解決該案例的數(shù)學(xué)模型主要在中學(xué)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上進(jìn)行，是在初等數(shù)學(xué)的原理上建立起來(lái)的。

結(jié) 語(yǔ)

在本文中的初中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)案例是具有“問(wèn)題引領(lǐng)、操作實(shí)踐”特征的建模實(shí)踐活動(dòng)。在建模過(guò)程中綜合采用了多種典型的建模方法，如理論分析法、類(lèi)比分析法、模擬方法、理想化方法、函數(shù)擬合法等，并在實(shí)踐研究中證明它們適合在初中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中應(yīng)用。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，能夠基于中學(xué)數(shù)學(xué)系統(tǒng)知識(shí)，盡量使用初等數(shù)學(xué)原理、法則刻畫(huà)出數(shù)學(xué)模型，完整地解決生活中的實(shí)際問(wèn)題?；顒?dòng)使學(xué)生做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的經(jīng)驗(yàn)得到積累，對(duì)數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)價(jià)值有了新的認(rèn)知，也提升了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。