單艷梅

摘 要：在看到一道數(shù)學(xué)題目時，應(yīng)該了解任何數(shù)學(xué)的解題方法都是在正確的數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下完成的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中合理運用分類討論思想，通過對問題的分類，可以節(jié)省很多計算步驟，進而得到正確的解題思路和答案。分類討論自數(shù)學(xué)學(xué)科誕生以來就是其重要組成部分，分類討論思想作為數(shù)學(xué)問題研究與解決的重要思想，對于簡化問題、提供思路、構(gòu)建知識體系具有顯著的作用。在新課標(biāo)的新要求下，初中數(shù)學(xué)應(yīng)將分類討論思想作為教學(xué)的重要工作，充分引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論思想解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將素質(zhì)教育培育人才的基礎(chǔ)目標(biāo)落到實處。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；分類討論；解題應(yīng)用

數(shù)學(xué)的思想方法是我們在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中總結(jié)和歸納出來的，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精華，所以說在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生對于數(shù)學(xué)思想方法的掌握是非常重要的。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常見的數(shù)學(xué)思想方法有圖形結(jié)合法、分類討論法、倒推法等等，分類討論法是一種非常常見的數(shù)學(xué)思想方法。本文從數(shù)學(xué)分類討論的角度出發(fā)，對于分類討論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的使用展開討論。

一、簡述分類討論思想

學(xué)生從小學(xué)步入初中以后，所接受的課程難度也上了一個階梯，數(shù)學(xué)更是如此，它更考驗學(xué)生的邏輯思維能力和抽象立體能力，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有著較高的要求。在我們學(xué)習(xí)和解析一些數(shù)學(xué)題目時，會發(fā)現(xiàn)有許多計算的路徑，而有一類型的題目只能用一種方法解決，甚至還有一些題的答案不止一個。所以說，我們要立足于題目的思維角度，選擇一個思維方向，將整個題目分解成不同的部分加以解決，最后得到整個問題的答案。這就是我們即將學(xué)習(xí)的分類討論思想。數(shù)學(xué)的目標(biāo)并不是以復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題“為難人”，而旨在以問題貫穿相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，這也是數(shù)學(xué)教育應(yīng)把握的關(guān)鍵之處。分類討論思想作為數(shù)學(xué)研究的重要思想方法之一，其本質(zhì)是充分運用數(shù)學(xué)思維、對問題情境進行有效清晰的轉(zhuǎn)換，從而將抽象問題具體化、復(fù)雜問題清晰化，達(dá)到融會貫通、互相輔助的解題效果。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對于代數(shù)與圖形知識已經(jīng)有了一定儲備，此時引入分類討論思想解決問題，對于學(xué)生數(shù)學(xué)能力與思維水平的提高具有重要的引導(dǎo)作用。

分類討論思想是我們在解決數(shù)學(xué)題目中的一個重要路徑，同時也是一種比較巧妙的思維方式。分類討論思想需要學(xué)習(xí)者應(yīng)用較高的邏輯思維能力。這種思維方法有利于促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，可以養(yǎng)成學(xué)生對于數(shù)學(xué)的認(rèn)知能力，在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中是極為重要的一環(huán)。從古至今，我國教育者一直在探索如何改進教學(xué)方法，并且已經(jīng)在教育領(lǐng)域取得了很大的成就，其中分類教學(xué)就是我國教育者在探索過程中研究發(fā)現(xiàn)的。

分類討論思想要求我們在使用過程中對題目類型有較高的掌握程度，否則就會被帶入思維誤區(qū)。對于分類討論，在使用中必須涉及題目的所有解題范圍，保障分類思想的全面性、科學(xué)性，在此基礎(chǔ)上使用分類討論，可以簡化分類討論解題方法的計算環(huán)節(jié)。接下來，我們將從分類討論思想的實際意義、在解題時分類討論思想起到的幫助作用以及分類討論思想在解題中的具體應(yīng)用進行討論。

二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的實際意義

1.有效提升學(xué)生思維活性

在解題過程中，分類討論思想可以將復(fù)雜抽象的問題有效轉(zhuǎn)化為直觀關(guān)系，但這種轉(zhuǎn)化過程要求學(xué)生充分分析問題情境并找到其中的相關(guān)聯(lián)系。這一過程可以鼓勵學(xué)生通過大膽假設(shè)、細(xì)心求證的實踐，探尋出行之有效的解題思路，能有效地提升學(xué)生的思維活性，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)思維聯(lián)系性與敏捷性的培養(yǎng)，推動數(shù)學(xué)素養(yǎng)的成長。

2.克服數(shù)學(xué)問題枯燥難懂的困難

初中生因為自身知識儲備的不足以及學(xué)習(xí)壓力的實際情況，對于數(shù)學(xué)學(xué)科容易產(chǎn)生“枯燥”“困難”的抵觸情緒。通過分類討論思想解決初中數(shù)學(xué)問題，可以有效地打破這一固有思維。通過分類討論可以大大簡化學(xué)生的解題過程，同時增強了解題的趣味性與學(xué)生的探索欲望。這種解題思路的變化，在一定程度上，也可以有效推動學(xué)生由被動學(xué)習(xí)到自主學(xué)習(xí)、積極探索的轉(zhuǎn)化，同時促進了教學(xué)效率與質(zhì)量的提升。

3.激發(fā)多角度看待問題的探索

分類討論思想對于初中學(xué)生來說，是一種嶄新的解題方法。在一開始的解題實踐中可能存在理解困難、不易下手的問題，但這種問題卻為學(xué)生的探索留下了充分的能動空間。數(shù)學(xué)問題的答案雖然通常是單一且精確的，但其解題過程蘊含著形式多樣的方法，在解題過程中，教師通過引導(dǎo)，學(xué)生在分類討論思想的氛圍中可以更深層次、更多角度地看待具體問題，從而實現(xiàn)“一題多解”“難題巧解”的積極效果，這一探索為學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力與發(fā)散性思維的培養(yǎng)提供了充分的條件。

三、實現(xiàn)分類討論思想有效運用于初中數(shù)學(xué)解題的具體方法

1.分類討論思想的應(yīng)用

普通思維問題的展現(xiàn)雖然較為直觀形象，但可能存在不精確的問題，尤其是題目極其簡單的具體問題，只通過條件的判斷很難解決，這時引入分類討論就顯得尤為重要。例如，有些題目給出的條件非常多，就要考慮在不同的條件下得出的結(jié)果。就像在系數(shù)k等于0或者正數(shù)和負(fù)數(shù)時的不同區(qū)別，分類討論可以得出很多不同的結(jié)論。分類討論思想可以很好地鍛煉學(xué)生的多方面考慮能力，讓學(xué)生的思維變得更加全面，讓學(xué)生在做每一道題時都能夠考慮得更加全面。分類討論思想還可以有效彌補圖形不準(zhǔn)確的缺陷，在解題實際中快速有效地得出答案，簡化答題思路。

對于數(shù)量關(guān)系相對抽象的問題，通過直觀圖形方法的引入，可以有效地發(fā)現(xiàn)解決問題的線索。例如，對于初中知識并未明確給出代數(shù)解決方法的一元二次不等式，即可通過將問題轉(zhuǎn)化為直線、拋物線等圖形在坐標(biāo)系中解決問題，此時無需極為精確的圖形即可解決問題，將抽象問題具體化，顯著提升了解題效率。

2.分類討論思想的多樣性

數(shù)學(xué)學(xué)科的奧妙就在于其解題不會僅僅局限于某一思路，而是通過多種方法的引入與融合實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化。在解題過程中，教師要最大限度地發(fā)揮分類討論思想的優(yōu)勢，就要認(rèn)真探索分類討論思想的多樣性。例如在一些發(fā)散型問題中，求解分?jǐn)?shù)等比數(shù)列的和時，由于初中生并不掌握等比數(shù)列的相關(guān)公式，此時將代數(shù)問題變化為分類討論問題就十分關(guān)鍵，可以想想每一個分?jǐn)?shù)是對一張正方形紙片依次剪切去一半的情況，求其單個面積就十分簡單，此時再將圖形轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)求和即可求解。這一分類討論方法的使用，充分發(fā)揮了分類方法的精確、嚴(yán)謹(jǐn)、清晰性，可以促使學(xué)生充分領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的奧妙。

四、運用分類討論思想解題中所需要注意的幾點

分類討論思想作為一個“不走尋常路”的方法，運用起來也是需要注意一些問題的。在學(xué)生運用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題的時候，一定要確保學(xué)生對其定理運用和掌握足夠的靈活。在這樣的前提下，才會很好地利用，否則如果學(xué)生對定理以及概念掌握不深、理解不夠，那么分類討論法將很難以正確的方式呈現(xiàn)。在運用分類討論思想的過程中首先要熟悉數(shù)學(xué)的基本公式定理和定理的運用，分類討論思想需要很強的邏輯性，而如果對公式及定理掌握不深的學(xué)生，很容易誤用了分類討論思想，從而將解題變得復(fù)雜。

分類討論解題方法的實質(zhì)是與直接解題有著同樣的效果，他們共同遵循著一定的格式，在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)換的。

分類討論法的應(yīng)用非?？简瀸W(xué)生的邏輯能力，就是在平常解題的基礎(chǔ)上用相反的思路來解題。從多個方向推理層層遞進，分類討論思想一般遵循著環(huán)環(huán)相扣的主要邏輯，從而一點點推出符合原命題的結(jié)論。然而分類討論思想在學(xué)生做題的時候相較于正常做題時對于格式的要求會更嚴(yán)格、更規(guī)范。需要學(xué)生將分類討論思想的過程和步驟更加有條理地寫出來。學(xué)生在解決實際問題的時候要注意邏輯用語的合理運用。就比如說題目中的結(jié)論有“能”“是”“存在”等等，這些表示肯定語式的語句中，或者出現(xiàn)“沒有”“不存在”“不可能”“非”等詞語，學(xué)生在看到這些標(biāo)志性的詞語的時候，都可以考慮用分類討論思想來對數(shù)學(xué)題進行解答。如果發(fā)現(xiàn)某一問題或者結(jié)論在其他方向更容易被理解接受，也可以用分類討論思想來解決，從而就會在不斷探索和總結(jié)的過程中發(fā)現(xiàn)分類討論思想的奇妙，繼而更好、更合理地運用和掌握分類討論思想。

數(shù)學(xué)相比于其他科目較為特殊，課程內(nèi)容具有很強的抽象思維，因此學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要掌握多種數(shù)學(xué)思想方法，尤其在解析大題時，數(shù)學(xué)思想方法的重要性不言而喻，這對于提升學(xué)生解題的效率有很大作用。總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要革新傳統(tǒng)的教學(xué)方法，注意數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，讓每一個學(xué)生都能在數(shù)學(xué)課堂中找到最適合自己的學(xué)習(xí)方法。對于分類討論思想，我們不僅要在數(shù)學(xué)方面推行，還應(yīng)該融入其他學(xué)科中去。

好的學(xué)習(xí)環(huán)境對于學(xué)生的學(xué)習(xí)所起到的效果是不可預(yù)估的，它能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更加輕松愉快，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到困難時，能夠積極地去解決問題，而不是一味地埋怨。輕松愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境能夠有效地避免學(xué)習(xí)程度較為不好的同學(xué)產(chǎn)生嫉妒等不良心理，當(dāng)然，一些學(xué)習(xí)程度較好的同學(xué)也會積極地為學(xué)習(xí)程度不好的同學(xué)解答疑惑，而不是一味地驕傲自滿。好的學(xué)習(xí)環(huán)境能夠使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中互相理解尊重、互相幫助，增強班級的凝聚力。

總之，分類討論思想這一在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域占據(jù)重要地位的數(shù)學(xué)思想，具有直觀清晰、易于學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，對于初中學(xué)生思考與解決數(shù)學(xué)問題具有顯著的作用。教師應(yīng)鼓勵與引導(dǎo)學(xué)生將分類討論思想與題目很好地結(jié)合起來，在實際問題中運用分類討論思想解決問題，將復(fù)雜問題簡單化，探索問題背后的價值。在這樣的解題過程中，應(yīng)重點培養(yǎng)學(xué)生思維的聯(lián)系性與靈活性，使得分類討論思想成為其解決問題的常用思路，從而為更多、更高層次的數(shù)學(xué)思想的引入奠基。分類討論思想是數(shù)學(xué)學(xué)科解題中一個很重要的問題解決方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常常被同學(xué)們忽視，但又不能被忽視的一個解題方法，只要學(xué)生在平時做題或者是練習(xí)的過程中多運用，不斷鞏固學(xué)過的公式定理定義之類，就可以在不斷的積累和探索中真正做到熟練運用分類討論思想。

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編輯 溫雪蓮