摘 要：數(shù)學(xué)是一門具有較強(qiáng)抽象性和邏輯性的科目，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到困難，抓不住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，解題技巧性不強(qiáng)，面對(duì)題目無(wú)從下手，影響了學(xué)習(xí)效果。待定系數(shù)法是一種簡(jiǎn)單易懂的有效數(shù)學(xué)方法，適用于初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容。本文以大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課為例，從實(shí)際例題出發(fā)，探討了大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中待定系數(shù)法的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用；待定系數(shù)法；大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)中，待定系數(shù)法作為一種有效的數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)題目論證和運(yùn)算有著重要作用。所謂待定系數(shù)法簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是在題目已知答案形式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步確定題目所有目標(biāo)的過程，利用引入相應(yīng)的待定系數(shù)，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題演變成代數(shù)方程組，在解方程后得到待定系數(shù)值，最后求得題目問題的表達(dá)式。應(yīng)用待定系數(shù)法解答大學(xué)數(shù)學(xué)題目不僅能提升解題效率和準(zhǔn)確性，還能夠有效培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的能力，加深學(xué)生對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)區(qū)別與聯(lián)系的深刻理解，達(dá)到融會(huì)貫通的學(xué)習(xí)效果，有助于學(xué)生抽象思維能力和綜合分析能力的提升。因此，研究大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中待定系數(shù)法的應(yīng)用十分必要。

一、 待定系數(shù)法在微分方程中的應(yīng)用

在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，微分方程是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，多位的微分方程簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是指含有未知函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)的方程關(guān)系式，學(xué)生解微分方程的過程實(shí)際上就是找出這個(gè)未知函數(shù)的過程。由于微分方程知識(shí)和題目涉及的范圍比較廣，包括物理動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)等，學(xué)生在理解起來(lái)有一定困難，面對(duì)微分方程題目時(shí)，常常無(wú)從下手，不得其解。教師利用待定系數(shù)法教學(xué)，能夠引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用待定系數(shù)方式，降低題目難度，將復(fù)雜的微分方程簡(jiǎn)單化，厘清解答思路，進(jìn)而提升解題效率，得到準(zhǔn)確答案。

例1 已知微分方程y″-5y′+6y=xa2x，求方程的解。

解析：在看到微分方程題目后，分析題目性質(zhì)可知這是一道二階系數(shù)非齊次線性的微分方程。由已知條件可以判定f（x）的型呈現(xiàn)為aλxPm（x）型，（其中Pm（x）=x，λ=2），進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)題目方程的齊次方程式y(tǒng)″-5y′+6y=0，在得到這一方程后可知它的特征方程為

r2-5r+6=0，經(jīng)過計(jì)算得到方程兩個(gè)實(shí)根數(shù)值r1=3，r2=2。計(jì)算到這里可以知道Y=C1a2x+C2a3x是題目方程對(duì)應(yīng)的齊次方程通解。運(yùn)用待定系數(shù)，因?yàn)樘卣鞣匠痰膯胃鶠棣?2，因此可以設(shè)方程y*=x（b0x+b1）a2x。將它代入題目方程，能夠得到x=-2b0x+2b0-b1。接著比較等式兩端同次冪的系數(shù)，可以得到1=-2b0，0=2b0-b1。進(jìn)一步計(jì)算得到b1=-1，b0=-12。由此可知特解是y*=x-12x-1a2x。最終得到本道題的方程解y=C1a2x+C2a3x-12（x2+2x）a2x。

二、 待定系數(shù)法在不定積分中的應(yīng)用

在不定積分?jǐn)?shù)學(xué)題目中，不定積分和定積分間的關(guān)系實(shí)際上是由微積分基本定理來(lái)確定的，實(shí)際解題過程中，運(yùn)用理論基礎(chǔ)知識(shí)加之待定系數(shù)法，能夠降低復(fù)雜的有理函數(shù)積分問題，攻克解題難關(guān)，降低被積函數(shù)分項(xiàng)難度，把題目的有理函數(shù)通過待定系數(shù)的方式分解成為多個(gè)簡(jiǎn)單化分式和，進(jìn)而逐一求解，得到答案。

三、 待定系數(shù)法在空間解析幾何中的應(yīng)用

目前，我國(guó)高等學(xué)校數(shù)學(xué)教材中，空間解析幾何根據(jù)課程大綱主要分為五個(gè)章節(jié)，內(nèi)容主要研究了空間曲線與空間曲面、空間直線與平面、矢量與坐標(biāo)、二次曲線、其他二次曲面等，知識(shí)點(diǎn)討論了矢量的各種運(yùn)算。在教學(xué)中教師有效應(yīng)用待定系數(shù)法引導(dǎo)學(xué)生解答這類問題，能夠提升解題效率，豐富解題方法，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建。

例2 設(shè)x，y和z軸與一平面的交點(diǎn)分別為M（A，0，0）、N（0，B，0）、F（0，0，C），其中A≠0，B≠0，C≠0，求這一平面的方程。

解析：在讀完題目后，根據(jù)已知條件可先設(shè)所求平面方程是ax+by+cz+d=0，由于M（A，0，0）、N（0，B，0）、F（0，0，C）這三個(gè)點(diǎn)均在方程平面上，因此，這三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)均滿足于方程，利用待定系數(shù)法，即可得到Aa+d=0，Bb+d=0，Cc+d=0，在進(jìn)一步計(jì)算后可知a=-dA，b=-dB，c=-dC，在代入后并除以d（d≠0），最終得到本題答案，平面方程式xA+yB+zC=1。

四、 待定系數(shù)法在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用

待定系數(shù)法在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用一般體現(xiàn)在抽象矩陣求逆過程中，通常在解答求逆時(shí)只是利用因式分解加之觀察題目，雖然能夠得到答案，但在面對(duì)題目非常復(fù)雜或者題目等式不能進(jìn)行分解因式時(shí)，就要運(yùn)用待定系數(shù)法，簡(jiǎn)化題目，讓求逆過程不再困難重重。

例3 現(xiàn)有一n階方陣M，設(shè)方陣滿足條件（M-F）3=（M+F）3，求（M-2F）-1的值。

解析：在題目已知條件（M-F）3=（M+F）3下，能夠得到M3-3M2+3M-F=M3+3M2+3M+F，簡(jiǎn)化等式得到3M2+F的值為0。

這時(shí)我們可以令（M-2F）（3M+mF）=pF，將這一等式開展進(jìn)行整理計(jì)算后得到m=6，p=13，最后得到本題答案（M-2F）-1=-313（M+2F）。

五、 結(jié)束語(yǔ)

總而言之，在大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中待定系數(shù)法有重要應(yīng)用作用，有效利用待定系數(shù)法可以解答大學(xué)數(shù)學(xué)微分方程題目、不定積分題目、空間解析幾何題目、矩陣運(yùn)算題目，是一種降低題目難度、簡(jiǎn)化解題過程的有效方法。因此大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教師要在教學(xué)中重視待定系數(shù)法的講解和運(yùn)用，拓展學(xué)生解題思維，打開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和解題水平，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：張娜，寧夏回族自治區(qū)銀川市，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)銀川學(xué)院。