杜守強

[摘 要]研究型教學有助于突出學生的學習主導(dǎo)地位，培養(yǎng)實用型創(chuàng)新型人才。數(shù)值優(yōu)化方法課程實用性強，適合開展研究型教學。文章探討了充分利用現(xiàn)代多媒體、網(wǎng)絡(luò)等技術(shù)并結(jié)合專業(yè)軟件開展數(shù)值優(yōu)化方法課程教學模式，同時通過組織與引導(dǎo)學生有效開展課程論文撰寫、課堂研討等活動，激發(fā)學生的自主學習熱情，加深學生對課程學習內(nèi)容的理解與掌握，提升學生解決課程相關(guān)實際問題的能力與創(chuàng)新學習能力。

[關(guān)鍵詞]研究型教學;數(shù)值優(yōu)化方法;課程改革

[中圖分類號] G420.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）04-0093-04

研究型教學也稱為研討式教學，是教師以課程內(nèi)容和學生的知識儲備為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學生創(chuàng)造性地運用知識和能力，自主地發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題，在研討中積累知識、培養(yǎng)能力和鍛煉思維的新型教學模式[1]。開展研究型教學的目的是突出學生的主導(dǎo)地位，改變學生被動學習的方式，讓學生從“讓我學”轉(zhuǎn)變到“我要學”的狀態(tài);結(jié)合當今大學的“雙一流學科”建設(shè)，激發(fā)本科生的創(chuàng)新能力，提高學生綜合運用知識的能力;在現(xiàn)有教學資源的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)教學質(zhì)量的全面提升，培養(yǎng)出具有人格魅力與真知探索精神的當代優(yōu)秀大學生。

數(shù)值優(yōu)化方法課程是數(shù)學專業(yè)本科一門重要的應(yīng)用型課程，主要介紹最優(yōu)化數(shù)值計算方法，討論決策問題的最佳選擇方案，構(gòu)造尋求最優(yōu)解的計算方法[2-5]。近年來，由于計算機技術(shù)的高速發(fā)展以及互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)、人工智能技術(shù)等技術(shù)的進一步成熟，最優(yōu)化數(shù)值計算方法與思想已經(jīng)在科學、工程、國防、交通、經(jīng)濟管理、金融工程、大規(guī)?？茖W計算等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。同時關(guān)于優(yōu)化方法的課程也在全國高校的相關(guān)數(shù)學類本科專業(yè)、工科類專業(yè)、經(jīng)濟管理類專業(yè)得到了廣泛開設(shè)。由于各高校課程內(nèi)容設(shè)置的側(cè)重點不同，該課程名稱也略有區(qū)別，如最優(yōu)化方法、最優(yōu)化理論與方法等[6-7]。該課程的主要內(nèi)容有最優(yōu)化理論與方法數(shù)學基礎(chǔ)、線性規(guī)劃、線搜索與信賴域技術(shù)、無約束優(yōu)化、線性與非線性最小二乘問題、二次規(guī)劃、約束優(yōu)化、非光滑優(yōu)化、特殊優(yōu)化問題介紹等幾個大的知識模塊。其教學內(nèi)容涵蓋了最優(yōu)化領(lǐng)域的最基本、最實用、最有效的現(xiàn)代優(yōu)化方法，課程學習者可以了解最優(yōu)化方法的動機、算法設(shè)計步驟、方法收斂性質(zhì)、收斂速度分析與數(shù)值實驗。

二、改革教學方法，建立創(chuàng)新模式

研究型教學是針對傳統(tǒng)大學教學方式提出的創(chuàng)新型教學改革探索模式，是新時代培養(yǎng)創(chuàng)新型人才、促進大學教育教學模式改革的重要推動力。研究型教學能有力促進人才培養(yǎng)質(zhì)量提高，平衡大學中科研與教學的力量分配，盡最大可能發(fā)揮大學的育人功能，積極回應(yīng)社會公眾對高等教育改革發(fā)展的期盼。數(shù)值優(yōu)化方法課程由于具有極強的應(yīng)用性，學生在學習完相關(guān)的數(shù)學分析、高等代數(shù)、數(shù)學模型等課程的基礎(chǔ)上可以結(jié)合實際問題開展專題學習與研討。教師可以采用啟發(fā)式教學方法，讓學生結(jié)合具體問題，利用教師給出的學習大綱在互聯(lián)網(wǎng)上查找相關(guān)的學習文件、課程講解大綱以及多媒體資源。改變教師既“導(dǎo)”又“演”而學生觀看的傳統(tǒng)教學模式。例如在講授完優(yōu)化基礎(chǔ)知識與線搜索、信賴域等知識點后，可以讓學生結(jié)合學習的無約束優(yōu)化方法設(shè)計框架自主學習無約束優(yōu)化方法設(shè)計部分的梯度類算法、牛頓法。學生通過對梯度類算法、牛頓法、擬牛頓法等知識的自主學習，激發(fā)出設(shè)計優(yōu)化算法的熱情，教師適時通過課堂講授算法收斂性分析、公式推導(dǎo)等理論知識，讓學生領(lǐng)悟算法理論、公式推導(dǎo)等知識點的重要性，避免感到數(shù)學理論推導(dǎo)的枯燥與煩瑣。

充分利用現(xiàn)代多媒體、網(wǎng)絡(luò)等教學手段，結(jié)合Matlab等專業(yè)軟件進行多手段、全方位教學，比如可以利用清華大學雨課堂教學平臺[8]，開展以手機微信平臺為載體的教學。雨課堂是基于MOOC的混合式教學模式，是清華大學于2015年9月啟動建設(shè)、2016年4月正式推出的智慧教學工具，這種工具能在教學過程中充分體現(xiàn)移動互聯(lián)技術(shù)、云計算以及數(shù)據(jù)挖掘等現(xiàn)代信息技術(shù)。雨課堂作為高等教育教學工具，主要分為手機端、電腦端、遠程服務(wù)器三個部分。學生通過登錄教師創(chuàng)建的課程班級可以實現(xiàn)課堂實時課件學習、疑難問答，教師可以利用網(wǎng)絡(luò)平臺開展實時提問、學生學習情況統(tǒng)計等一系列工作。學生通過學習Matlab程序軟件知識，可以完成優(yōu)化算法的實時數(shù)值實驗，從中真正體驗到學習優(yōu)化算法解決實際問題的樂趣。

結(jié)合大學生數(shù)學建模競賽與大學生創(chuàng)新項目立項開展專題式教學，讓學生參與科研教學活動，以促進學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)。數(shù)值優(yōu)化方法課程的專題可以通過優(yōu)化問題的案例式教學開展[9]，設(shè)計具體的優(yōu)化問題如圖像的恢復(fù)與重建優(yōu)化問題[10-15]，主要研究如何通過觀測到的數(shù)據(jù)來恢復(fù)原始圖像。伴隨著相關(guān)科學技術(shù)的發(fā)展以及新的壓縮與采樣方式的出現(xiàn)，在保證圖像重構(gòu)基礎(chǔ)上的少量數(shù)據(jù)恢復(fù)技術(shù)，對應(yīng)的優(yōu)化問題為欠定線性逆問題。對此類優(yōu)化問題的求解研究十分活躍，近年來給出了很多相關(guān)的優(yōu)化算法 （如文獻[10-15]），該問題描述為

通過具體問題的求解分析讓學生提高課堂學習主動性與課下學習研討的動力，通過對實際問題的分析求解，把學習的技能用于大學生數(shù)學建模競賽、大學生“挑戰(zhàn)杯”大賽與大學生創(chuàng)新項目立項等學生的學習創(chuàng)新活動，進一步激發(fā)學生創(chuàng)新學習的熱情。另外，結(jié)合優(yōu)化問題研究進展，不斷更新主題研討優(yōu)化問題算法的研究現(xiàn)狀分析，讓學生接觸到科技發(fā)展的前沿，比如可以結(jié)合梯度類算法的研究進展，讓學生在國內(nèi)外學術(shù)網(wǎng)站上自主檢索最新的研究成果。

二、具體課程教學設(shè)計

此部分結(jié)合文獻[1-9]的理論以及筆者具體的教學實踐，給出數(shù)值優(yōu)化方法課程的具體教學設(shè)計。

（一）課程性質(zhì)與定位

數(shù)值優(yōu)化方法是研究在有限種或無限種可行方案中挑選最優(yōu)方案，構(gòu)造尋求最優(yōu)解的計算方法，其廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，在數(shù)學教學中占有重要地位。數(shù)值優(yōu)化方法課程系統(tǒng)地介紹了數(shù)值求解最優(yōu)化問題的基本方法和基本性質(zhì)，注重最優(yōu)化方法的基礎(chǔ)性與實用性。通過本課程的學習使學生掌握利用優(yōu)化方法解決實際問題，學會用Matlab等數(shù)學軟件求解優(yōu)化問題，鍛煉數(shù)學思維能力和應(yīng)用技巧，培養(yǎng)和增加將數(shù)學應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟管理等方面的興趣，提高科學素養(yǎng)。本課程旨在為提升全體學生的整體數(shù)學素質(zhì)，以及為部分學生進一步考取運籌學與控制論專業(yè)、計算數(shù)學專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學專業(yè)、統(tǒng)計學專業(yè)、管理科學與工程專業(yè)等相關(guān)專業(yè)的研究生奠定基礎(chǔ)。

（二）課程設(shè)計思路

1.全方位參與學習

本課程的教學大綱以學生掌握優(yōu)化理論與方法為重點，提高學生的創(chuàng)新能力為出發(fā)點，實行“三位一體”的教學方法?！叭弧睘榻處煛W生、課下輔導(dǎo)教師，“一體”為以學生小組為主體的研討。結(jié)合學校的大學生創(chuàng)新項目、“挑戰(zhàn)杯”競賽、數(shù)學建模競賽等活動，開展科技論文寫作訓(xùn)練。

2.課堂研討與專家講座結(jié)合

最優(yōu)化數(shù)值方法是一個不斷發(fā)展的學科方向，作為數(shù)學專業(yè)的一門重要專業(yè)課程，教師在課程教學過程中要不斷啟發(fā)學生進行科研學習訓(xùn)練，鼓勵學生獨立開展創(chuàng)新性研究。課堂研討可以及時、有效地體現(xiàn)學生在研究過程中存在的問題，幫助教師高效地指導(dǎo)學生完成科研創(chuàng)新工作。專家講座可以讓學生開闊學術(shù)研究視野，及時了解到本學科前沿的發(fā)展情況，為其日后開展科技論文寫作、畢業(yè)論文寫作、考取研究生、選取研究方向奠定基礎(chǔ)。

（三）教學目標

本課程的教學目標為結(jié)合優(yōu)化理論的發(fā)展，理論與實際相結(jié)合，培養(yǎng)學生解決數(shù)學、工程學、經(jīng)濟管理學問題的能力和創(chuàng)新能力，幫助學生養(yǎng)成初步的科研素養(yǎng)，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生對優(yōu)化理論與方法的學習研究興趣，為相關(guān)學科發(fā)展儲備人才庫。

（四）教學方法與策略

教師教學時結(jié)合課程內(nèi)容，實施多邊的課堂互動。結(jié)合具體優(yōu)化方法的學習，教師介紹方法的發(fā)展歷程、發(fā)展現(xiàn)狀，學生通過資料查找與研習在課堂上發(fā)表自己的研究思路，以教師為主導(dǎo)開展研究型教學。學生結(jié)合課下學習與專家講座，教師在教學內(nèi)容、教學層次、教學方法、作業(yè)練習、課程評價考核等方面將教學內(nèi)容與學科發(fā)展前沿相結(jié)合，鼓勵學生開展逆向思維、發(fā)散思維。

多元化課程考核除了傳統(tǒng)的期中、期末考試以外，增加科技論文撰寫、科技創(chuàng)新答辯、課程參與度評價等手段科學評價每一位學生。

（五）學習要求與方法指導(dǎo)

通過相關(guān)習題的訓(xùn)練加深對課程學習的理解和掌握，提高靈活運用各種知識的能力。在科研小組訓(xùn)練的過程中完成3篇課程研討論文，訓(xùn)練學生的創(chuàng)新能力與綜合歸納能力。結(jié)合學校、學院大學生創(chuàng)新項目立項，發(fā)現(xiàn)一批成績優(yōu)秀、科研能力突出的學生，爭取推薦到合適的高校、科研院所攻讀碩士研究生。

（六）教學資源與教學條件配置

1.配備助教

結(jié)合教師的實際情況，配備2名碩士研究生課外指導(dǎo)學生學習基本科技論文檢索、篩選等方法。

2.網(wǎng)絡(luò)教學條件

學校電子圖書館有中國知網(wǎng)、萬方等多個網(wǎng)站的檢索權(quán)限，方便學生進行科技論文檢索。學生可以到圖書館上網(wǎng)瀏覽學校的各類精品課程網(wǎng)站。

3.實踐性教學條件

學院報告廳周末時間可以讓學生開展學術(shù)論文報告、集中研討等活動。

（七）教材與參考資料

（1）孫文瑜，徐成賢，朱德通.最優(yōu)化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

（2）袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].北京：科學出版社，2019.

（3）CLARKE F H Optimization and Nonsmooth Analysis[M]. New York：John Wiley and Sons， 1983.

（4）NOCEDAL J， WRIGHT S J. Numerical Optimization[M]. New York： Springer， 1999.

（八）課程考核

課程論文、課程作業(yè)占20%，研討發(fā)言占20%，課程考試占閉卷考試的60%。

（九）課程學時分配

（1）優(yōu)化基礎(chǔ)理論與相關(guān)數(shù)學基本概念，4學時

研討主題：優(yōu)化方法課程與以往課程的聯(lián)系

（2）線性規(guī)劃，4學時

研討主題：線性規(guī)劃的應(yīng)用

（3）線搜索與信賴域法，6學時

研討主題：線搜索優(yōu)化方法與計算

（4）無約束最優(yōu)化方法，6學時

研討主題：無約束優(yōu)化方法新發(fā)展

（5）線性與非線性最小二乘問題，6學時

研討主題：最小二乘問題的應(yīng)用

（6）二次規(guī)劃，4學時

研討主題：經(jīng)濟學中的凸優(yōu)化理論

（7）約束最優(yōu)化的理論與方法，6學時

研討主題：約束優(yōu)化的理論與應(yīng)用

（8）非光滑優(yōu)化簡介，4學時

研討主題：非光滑優(yōu)化特征

（9）特殊結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，4學時

研討主題：特殊優(yōu)化問題的算法設(shè)計

（10）課程總結(jié)，4學時

教學內(nèi)容：各研討小組結(jié)合一個學期完成的課程研討論文，匯報課程論文與相關(guān)工作，進行綜合評價。

三、結(jié)語

通過對數(shù)值優(yōu)化方法課程的教學改革與實踐，我們加深了對研究型課程改革的認識，體會到研究型課程教學改革的重要性與必要性，認清教學活動的短板與改進的方向，并認識到因材施教的重要性、學生自主學習的必要性、課外師生交流活動的靈活性以及課業(yè)考核的嚴肅性。

[ 參 考 文 獻 ]

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[2] 袁亞湘，孫文瑜. 最優(yōu)化理論與方法[M].北京：科學出版社，2019.

[3] 孫文瑜，徐成賢，朱德通. 最優(yōu)化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

[4] 袁亞湘. 非線性規(guī)劃數(shù)值方法[M].上海：上海科學技術(shù)出版社，1993.

[5] NOCEDAL J， WRIGHT S J. Numerical Optimization[M].New York： Springer， 1999.

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[責任編輯：龐丹丹]