摘 要：分類討論思想應用在高中數(shù)學解題過程中時，需要遵循統(tǒng)一性原則、互斥性原則進行分類，保證所分類別不會出現(xiàn)重復的，也不會出現(xiàn)漏掉的情況，經(jīng)常用到分類討論思想的題型有不等式的比較大小問題，以及函數(shù)的求最值問題、求奇偶性問題，本文分別就這些問題進行了分類討論。

關(guān)鍵詞：分類思想；高中數(shù)學；解題

數(shù)學課程體系是按知識點進行劃分的，比如立體幾何、函數(shù)、不等式等，學生在學習數(shù)學不能只是單純地學習各個零散的知識點，還要學習數(shù)學解題的思路，也就是數(shù)學思想方法，這樣才能使自己頭腦當中的數(shù)學知識體系形成一個有機的整體，也能在高考解題過程中靈活運用各種知識。研究高考數(shù)學的出題趨勢，我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的題目形式上更加新穎，創(chuàng)新脫俗，如果缺乏數(shù)學思想、數(shù)學方法的學習，考生很難應對這樣的試題，所以探究數(shù)學思想是必需的。分類討論思想是一個經(jīng)常用到的數(shù)學思想，無論是學生在解題過程中，還是科學家在科研過程中，都會用到分類討論的思想。進行合理的分類，可以提高學生思維的嚴密性。以下我們分別從進行分類討論時的使用原則及在解題中應用來說明如何合理地進行分類討論。

一、 分類討論思想在高中數(shù)學中的應用原則

分類討論思想需要學生根據(jù)相關(guān)數(shù)學知識的性質(zhì)和特點，將具體數(shù)學問題的已經(jīng)條件進行清晰而準確的分類，分類的標準要做到不重不漏，并根據(jù)各個分類內(nèi)容，分別得出不同答案。所以運用分類討論時，要遵循以下原則：

（一） 統(tǒng)一性原則

在進行分類之前要設(shè)立一個標準，不能同時使用多個標準，使用多個標準，會造成遺漏或重復。比如，將目標人群進行分類討論時，可以按年齡大于20歲的，小于20歲的；或者是按性別，男生或女生。在數(shù)學解題過程進行分類時，可以是分為x小于20時或大于20時。

（二） 互斥原則

我們在日常生活的很多情況需要計數(shù)，而且是準確地計數(shù)，當被計數(shù)的基數(shù)比較大時，我們要對這些對象進行分類，為了保證每個對象都能數(shù)到，而且不遺不重，這就需要我們分類后，每個類別應該互不相容，即要每個類別都相斥，而且分類后不能有一個計數(shù)對象同時屬于兩個或兩個以上的類別。例如，同學中有20個人買了甲乙兩本書，其中買了甲書的人數(shù)是16人，買了乙書的人數(shù)是13人，如果按買了甲書和買了乙書這個原則進行分類的話，那么就會違反了互斥原則，因為有9人兩本書都買了。

二、 分類討論思想在高考解題中的應用

（一） 不等式中的分類討論思想

利用減法性質(zhì)對a，b之間的大小關(guān)系進行分類。將兩個未知數(shù)相減，用差與0進行比較。a-b>0是a>b的充分必要條件；a-b<0是ab，c>0，那么ac>bc；而如果a0，那么ac

例如，比較（a+2）2與a2-2a+4的值的大小。分析：在解這道題的時候，通過將兩個式子相減，通過將差與0進行比較來確定兩個式子的大小關(guān)系。解（a+2）2-（a2-2a+1）=6a，這時需要分類進行討論。

當a>0時，（a+2）2>a2-2a+4，

當a<0，（a+2）2

當a=0時，（a+2）2=a2-2a+4。

（二） 函數(shù)中的分類討論思想

在函數(shù)題中用到分類討論思想的情況主要包括兩種。一是判斷函數(shù)的奇偶性。這個情況下判斷的標準是自變量在關(guān)于原點對稱的兩個點上其函數(shù)值是否相等；或者是自變量在關(guān)于原點對稱的區(qū)間內(nèi)其單調(diào)性是否一致；或者是函數(shù)的自變量取值范圍是否關(guān)于原點對稱。

例如，判斷函數(shù)f（x）=x2，x∈（k，2）。在道題中，如果x的取值是全體實數(shù)時，它一定是偶函數(shù)，關(guān)鍵是看這個函數(shù)的自變量的取值范圍，看它是否關(guān)于原點對稱。這時，就需要對k的取值進行討論，將k分為兩種情況進行討論k=-2和k≠-2，

解：當k=-2時，函數(shù)的自變量的取值范圍關(guān)于原點對稱，f（-x）=f（x）=x2，所以f（x）是偶函數(shù)。

當k<2且k≠-2時，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以f（x）是非奇非偶函數(shù)。

二是求函數(shù)的最值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得到，函數(shù)的最大值就是函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最高點，首先要看在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，如果在自變量的這個取值區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是遞增函數(shù)，那么它的最大值就是當自變量取最大值時的值；如果自變量在這個取值范圍內(nèi)，函數(shù)是遞減函數(shù)，那么它的最大值就是當自變量取最小值時的值。如果給定的區(qū)間是全體實數(shù)，這時就是看函數(shù)是什么函數(shù)，在所學過的函數(shù)中，如果這個函數(shù)是二次函數(shù)時，當二次函數(shù)的開口向上時，這個二次函數(shù)有最小值；當二次函數(shù)的開口向下時，這個二次函數(shù)有最大值。如果這個函數(shù)是正弦函數(shù)，它有最大值是1。如果這個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等時，當自變量的取值范圍是全體實數(shù)時，它是沒有最值的。

例如，求函數(shù)f（x）=x2+1在區(qū)間[-2，a]上的最小值。在解這道題的過程中，最關(guān)鍵的是求自變量的取值范圍，區(qū)間與對稱軸的位置不同，函數(shù)的單調(diào)性不同，那么函數(shù)的最值也不同。這時就需要對a的取值范圍進行分類討論了。

當-2

當a≥0時，f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞減，而在[0，a]上單調(diào)遞增，所以當x=0時函數(shù)值有最小值為1。

分類討論思想在高中數(shù)學的集合、數(shù)列、平面幾何、立體幾何、圓錐曲線、復數(shù)、排列組合和概率中都有應用，但經(jīng)常出現(xiàn)的題型不同。學生多進行分類討論的練習可以增強思維的縝密性。要進行分類討論的練習，需要學生多對所學的知識進行歸納總結(jié)。

參考文獻：

[1]樸希蘭，樸勇杰.分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用[J].教育教學論壇，2015（7）：169-170.

[2]楊淑芳.分類討論思想在高中數(shù)學教學中的滲透策略研究[D].信陽：信陽師范學院，2016.

作者簡介：謝芳，福建省建甌市，福建省建甌第二中學。