【摘要】本文針對小學(xué)數(shù)學(xué)教師存在的對發(fā)展核心素養(yǎng)“推理能力”的關(guān)注不足，對“推理”認(rèn)識有偏差，沒有掌握有關(guān)推理的理論知識，不能將推理規(guī)則運用于教學(xué)實踐等問題，論述在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)歸納推理與類比推理的策略。

【關(guān)鍵詞】合情推理 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) 推理能力 核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）01A-0028-05

推理能力是各年齡段學(xué)生都要發(fā)展的重要數(shù)學(xué)素質(zhì)之一，但是中小學(xué)生受其心理發(fā)展水平的制約，需在教師的指導(dǎo)下提升推理能力，因此要求教師具備一定的推理知識。近三年來，筆者通過對參加我校組織的“國培”項目培訓(xùn)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師訪談發(fā)現(xiàn)：大部分小學(xué)數(shù)學(xué)教師對發(fā)展核心素養(yǎng)“推理能力”的關(guān)注不足，對“推理”認(rèn)識有偏差，沒有掌握有關(guān)推理的理論知識，特別是不能將推理規(guī)則運用于教學(xué)實踐。針對這些問題，筆者從生活情境、中小學(xué)數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)家的著作和數(shù)學(xué)教學(xué)研究文獻(xiàn)入手，深入學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中廣泛運用的觀察、實驗、歸納、類比等典型思維方法，總結(jié)成文以期引導(dǎo)數(shù)學(xué)教師在體驗中感悟合情推理的規(guī)則及其背后隱含的數(shù)學(xué)思想，并將合情推理的方法和規(guī)則運用于數(shù)學(xué)教學(xué)，成為“講道理”的數(shù)學(xué)教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們在學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。

數(shù)學(xué)家是怎樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的？他們是否有秘訣？十八世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家歐拉告訴我們一個秘訣：數(shù)學(xué)定理是靠觀察得來的。事實上，歐拉自己就是一位善于觀察的數(shù)學(xué)家。十八世紀(jì)法國的另一位著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)指出：在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律的主要工具是歸納和類比。歸納和類比是合情推理的主要規(guī)則，也是對實驗觀察的結(jié)果進(jìn)行去粗取精、去偽存真，厘清事實、概括經(jīng)驗的思維方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們經(jīng)常運用“實驗歸納”“觀察歸納”等方法來尋找規(guī)律。教師在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的過程中，應(yīng)重視自己的經(jīng)驗，學(xué)會觀察、歸納和類比等科學(xué)方法，掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)。筆者主要論述合情推理規(guī)則的教學(xué)。

一、“特殊到一般”的歸納推理

（一）歸納推理概述

由某類事物的部分對象具有某些特征推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。將推理“符號化”，即將具體的對象進(jìn)行抽象、概括，形成了歸納推理的一般結(jié)構(gòu)形式。用文字表達(dá)則是：S1具有（或不具有）性質(zhì)P;S2具有（或不具有）性質(zhì)P;……;Sn具有（或不具有）性質(zhì)P;S1，S2，……，Sn都是S類事物，所以，S類事物都具有（或不具有）性質(zhì)P。

許多人承認(rèn)科學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，如物理學(xué)中的運動定律、化學(xué)中的鏈霉素、生物學(xué)中的遺傳規(guī)律等都是依靠實驗歸納和觀察歸納得到的。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段學(xué)習(xí)的“找規(guī)律”，幾乎都是運用歸納進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)的。歸納推理是從特殊到一般的推理。由于事物的普遍性寓于事物的特殊性之中，歸納可以為我們提出猜想提供基礎(chǔ)與依據(jù)。它是一種重要的思維方法，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的一個重要途徑。圖2列舉了兩個推理案例。

但是我們一定要意識到，歸納推理所得的結(jié)論并不可靠。例如，我們在一個班級任意抽取4名學(xué)生，抽取的第1名學(xué)生是男生，第2名學(xué)生是男生，第3名學(xué)生是男生，第4名學(xué)生還是男生，于是我們就下結(jié)論：這個班上的學(xué)生全是男生。事實上，這個班是有女生的，很顯然，歸納推理得到的結(jié)論并不可靠。我們也常常把這樣的歸納推理稱為“不完全歸納推理”。

教師在指導(dǎo)小學(xué)生用歸納推理“找規(guī)律”時應(yīng)該告訴學(xué)生：發(fā)現(xiàn)規(guī)律還需要弄清其真?zhèn)?，可以繼續(xù)研究一系列的特例，如果有不支持結(jié)論的反例，我們就可以否定之前的規(guī)律;如該規(guī)律在新的特殊情況中仍被證實，結(jié)論就變得更加可靠，同時還得滲透給學(xué)生知道“更加可靠”不等于“一定可靠”，還需要依靠演繹推理去證明。

（二）歸納推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及教學(xué)改進(jìn)

【案例1】長方形的面積公式的“推導(dǎo)”

以下是小學(xué)教育專業(yè)大三師范生在數(shù)學(xué)課堂上與學(xué)生的一段對話。

師：你會求長方形的面積嗎？

生：會呀，用公式呀，長方形的面積=長×寬。

師：為什么長和寬都是長度，“長×寬”就變成面積了呢？

生1：小學(xué)階段學(xué)的，怎么推導(dǎo)沒有印象了。

生2：長與寬雖然都是長度，但它們的乘積是“積”，應(yīng)該就是“面積”吧。

生3（尷尬地說）：是哦，為什么是“長×寬”，記得老師讓我們記住公式，會求長方形面積就行了。好像教師也沒有講過推導(dǎo)。

筆者后來又聽了其他小學(xué)教師、實習(xí)生教學(xué)的“長方形面積的計算”一課，以及師范生“教學(xué)設(shè)計與實施”課程的模擬講課。他們大多是“照本宣科”地“推導(dǎo)”出長方形的面積公式。學(xué)生真的明白“長×寬”的道理了嗎？這樣上課又給學(xué)生留下了什么？

教師依據(jù)教材（如圖3），讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)格子，到借助方格圖發(fā)現(xiàn)長與每行的方格個數(shù)的關(guān)系、寬與行數(shù)之間的關(guān)系，用乘法來計算格子的個數(shù)，即得到長方形的面積。隨后教師可以依次用若干個單位邊長的“小方塊”擺出5個不相同的長方形，而從5個不同的長方形面積都是“長×寬”，得到“所有的長方形的面積=長[×]寬”的結(jié)論。學(xué)生感悟到這恰好是我們找規(guī)律最常用的“歸納推理”，從而明白長方形面積公式形成的道理所在。

為了防止學(xué)生認(rèn)為歸納推理就足以保證公式“可靠”，筆者建議小學(xué)教師此時再加一句話，“今天我們發(fā)現(xiàn)的這個公式到目前為止沒出過反例”或者“當(dāng)我們到中學(xué)或大學(xué)階段，還會學(xué)習(xí)用邏輯推理（必然推理）規(guī)則更加嚴(yán)格地證明這一公式”……

【案例2】圓周率的計算

師：圓的周長與直徑到底有什么關(guān)系呢？這個規(guī)律需要同學(xué)們自己去發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在請同桌二人小組分工，測量一個圓片的直徑并計算出該圓片的周長除以直徑所得的商，得數(shù)保留兩位小數(shù)，把數(shù)據(jù)填寫在相應(yīng)的表格（見表1）中。

（學(xué)生測量、計算、填表，然后小組匯報）

師：從他們匯報的數(shù)據(jù)看，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：我們這個小組每個圓的周長也大約是直徑的3倍多一些。

師：這就說明圓的周長除以直徑的商可能是有規(guī)律的。在我們所測量的這些圓中，每一個圓的周長都是它直徑的3倍多一些，是一個固定不變的數(shù)。

這個探究環(huán)節(jié)有點流于形式，學(xué)生按教師要求充當(dāng)了一回“操作工”。筆者課后訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對圓周率的認(rèn)識太膚淺、不深刻。單純地去觀察可能視而不見。觀察時，一是要有目標(biāo)，處處留心;二是要有方法，觀察和歸納常常聯(lián)系在一起。歸納是一種對經(jīng)驗、實驗觀察結(jié)果進(jìn)行去粗取精、去偽存真的處理方法，我們要用歸納的方法厘清事實、概括經(jīng)驗，從而形成概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

教師在教學(xué)中不妨通過以下語言引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：“我們通過測量不同圓形物品的周長與直徑并計算它們的比值來尋找規(guī)律，在我們所測量的這些圓中，這些圓是不同的、變化的，圓的周長都是它直徑的3倍多一些。如果再換成其他的圓來測量或者計算的話，同學(xué)們還會發(fā)現(xiàn)，它們的周長還是它們直徑的3倍多一些。請用歸納推理的規(guī)則概括‘圓周長與直徑的關(guān)系?！睂W(xué)生通過測量不同圓形物品的周長與直徑并計算它們的比值，發(fā)現(xiàn)千變?nèi)f化的圓的周長與直徑的比是一個固定不變的數(shù)的規(guī)律，體會由具體到抽象、由特殊到一般的歸納方法，感悟歸納思想，積累了探索“變化中的不變”規(guī)律的經(jīng)驗，凸顯了探索規(guī)律的教學(xué)價值。

【案例3】小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“哥德巴赫猜想”的文化價值和教育價值

1742年，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在觀察自然數(shù)時，把大量的自然數(shù)拆成其他自然數(shù)之和，運用歸納推理的方法從一串等式——4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=3+11……概括出一條規(guī)律：任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。

教師在學(xué)生閱讀課本內(nèi)容后通過名言啟發(fā)學(xué)生：高斯說，數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)這位皇后頭上的皇冠，哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠;牛頓說，沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)，鼓勵學(xué)生學(xué)會用“歸納”去大膽地猜想，敢于用“歸納”去猜想。

哥德巴赫猜想一定正確嗎？我們不知道。哥德巴赫本人無法給予證明，就連大名鼎鼎的歐拉也無法給予證明。兩百七十多年來，包括我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚、王元、陳景潤在內(nèi)的世界上的一大批數(shù)學(xué)家付出了巨大的心血，仍不能證明該猜想的正確性，也不能找出否定它的反例。盡管如此，數(shù)學(xué)家們在解決這一難題的過程中創(chuàng)造及發(fā)現(xiàn)了許多嶄新的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論，這些方法和理論的價值遠(yuǎn)比哥德巴赫猜想本身要高。形成的新理論推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，甚至推動了科學(xué)的發(fā)展和社會的進(jìn)步。教師可以借此鼓勵學(xué)生不畏難題、敢于探究。

二、“特殊到特殊”的類比推理

（一）類比推理概述

相傳有一次魯班進(jìn)深山砍樹木時，一不小心，腳下一滑，手被一種野草的葉子劃破了，滲出血來，他摘下葉片輕輕一摸，原來葉子兩邊長著鋒利的齒，他用這些密密的小齒在手背上輕輕一劃，手背居然被割開了一道口子。他想，要是有這樣齒狀的工具，不就能很快地鋸斷樹木了嗎！于是，他經(jīng)過多次試驗，終于發(fā)明了鋒利的鋸子，大大提高了工效。

筆者認(rèn)為，魯班在發(fā)明鋸子的過程中的思路是這樣的：茅草是齒形的、茅草能割破手，需要一種能割斷木頭的工具，這種工具也可以是齒形的。事實上，這就是一個類比推理的過程。所謂類比推理，就是根據(jù)A與B兩個或兩類對象在某些屬性上相同或相似，已知A對象還有另外某種屬性，推出B對象也有這種屬性的推理，其規(guī)則用圖表示如圖5，用簡潔的語言表達(dá)是：對象A和對象B類似，因為對象A具有屬性d，所以對象B具有屬性d。

類比推理是從特殊到特殊的推理。運用類比推理，可以通過對一些類似現(xiàn)象、過程的對比分析，在看似互不關(guān)聯(lián)的偶然信息中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的必然。但是，類比推理得到的結(jié)論有可能是對的，也可能是錯的。例如，張老師和王老師都是湖南人，張老師愛吃辣椒，所以王老師也愛吃辣椒。在生活中，兩個前提是真的，但也許王老師不愛吃辣椒，我們類比推理出來的這個結(jié)論就可能是錯的。類比推理的一般步驟如圖6。

（二）類比推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，新知識一般是舊知識的延伸或組合，兩者之間必有很多共同屬性。新舊知識的共同點越多，越容易實現(xiàn)知識的遷移。在教學(xué)中，教師要努力揭示新舊知識之間的共同點，盡力創(chuàng)設(shè)類比情境，凡是學(xué)生能在已學(xué)的基礎(chǔ)上類推的，盡量引導(dǎo)他們自己類推出應(yīng)學(xué)的新知識。

【案例1】探究圓周率的教學(xué)片段——“類比搭橋，問題鋪路”

教師在教學(xué)“圓周率”一課時，引導(dǎo)學(xué)生通過類比“正方形的周長與其邊長的比值恒等于4”探究圓周率，教學(xué)片段如下。

（媒體演示：在幾何畫板上作一個動態(tài)的正方形，拖動正方形的各個頂點，測量其周長、邊長，計算其周長與邊長的比值）

師：什么在變？（正方形的大小和位置都發(fā)生了變化）什么不變？（正方形的周長與邊長的比值沒有變化，它恒等于4）正方形千變?nèi)f化，但它的周長始終是它的邊長的4倍，從而得到正方形的周長公式為“正方形的周長=邊長×4”。

師：“變化中的不變性”就是規(guī)律，找到了這樣的規(guī)律，就能發(fā)現(xiàn)公式、法則、性質(zhì);尋找不變量不僅是數(shù)學(xué)研究的任務(wù)，也是科學(xué)研究和社會研究的任務(wù);“變化中的不變”也是守恒，守恒是一種美麗，這節(jié)課我們也要去發(fā)現(xiàn)和欣賞這種數(shù)學(xué)之美。

師：現(xiàn)在我們的任務(wù)是尋求一個計算圓周長的方法。我們應(yīng)該先研究什么問題？

生：我們要研究圓的周長與直徑是否存在這樣的倍數(shù)關(guān)系。這樣一來，我們知道直徑就可以計算出圓的周長，從而得到圓的周長公式。

【案例2】“新題舊解”

一名小學(xué)生向老師請教這樣一個問題：媽媽去商店買布，所帶的錢剛好能買花布2米或黃布3米，若打算兩種布都買同樣多的米數(shù)，最多能各買幾米？老師并沒有直接告訴他怎么做，而是要求他比較學(xué)過的工程問題：一項工程，甲隊單獨做要2個月，乙隊單獨做要3個月，兩隊合做要幾個月？學(xué)生發(fā)現(xiàn)原題與熟知的工程問題相似，從而求出了原問題的解，也學(xué)會了類比推理。

學(xué)生在解題過程中，可以找到一道與要解答的題目類似的原型題，通過觀察、比較、聯(lián)想、類比，用原型題的解題方法求解新問題。學(xué)生不再有“遇到生人就害怕”的感覺，反而覺得“舊壺裝新酒”。教師引導(dǎo)學(xué)生類比，有“隨風(fēng)潛入，無聲潤物”的教學(xué)效果。再如，習(xí)題“工地運來長度分別為8米和5米的水管共25根，用它們一共鋪設(shè)了173米長的管道。運來兩種水管各多少根？”可以類比為8條腿的“怪兔”和5條腿的“怪雞”的“雞兔同籠”問題?！坝幸粋€掛鐘，每小時敲1次鐘，幾點鐘就敲幾下，鐘敲7下，6秒鐘敲完;鐘敲11下，幾秒敲完？”可與植樹問題進(jìn)行類比：把鐘點數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時間看作樹距，學(xué)生就能求出正確答案。

【案例3】矩形與長方體類比

人類認(rèn)識的過程是由簡單發(fā)展到復(fù)雜的過程。小學(xué)生學(xué)習(xí)的幾何問題基本限制在平面上：先認(rèn)識點、線，然后是由線段圍成的三角形、四邊形、正方形、長方形、梯形……在低維成立的理論是否可以推廣到高維呢？答案是：有些可以（要促進(jìn)正遷移），如平面上的勾股定理就可以在立體幾何中找到類似的定理;有些不可以（要避免負(fù)遷移），如“平面上兩直線不平行就相交”在三維空間就不成立了。

在學(xué)習(xí)了二維的平面圖形后，教師可引導(dǎo)學(xué)生類比二維平面圖形與三維立體圖形的性質(zhì)，進(jìn)一步明確推理規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。以矩形與長方體的類比為例。矩形與長方體的幾何構(gòu)造十分相似：矩形每相鄰兩邊互相垂直，長方體每相鄰兩面互相垂直，矩形可以看作長方體的高為零的特殊情況，長方體則可以看作是矩形沿著與其所在平面垂直的方向連續(xù)平移而形成的。幾何構(gòu)造上的相似，使我們推想它們在幾何性質(zhì)上也相似，見表2：

【案例4】圓柱體的體積公式的推導(dǎo)類比于圓的面積公式的推導(dǎo)

教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶圓的面積公式的推導(dǎo)：“我們先切，然后再拼一拼。先后把圓分成8等分、16等分……我們所拼得的這些圖形越來越近似平行四邊形?！薄叭绻覀冊偾校@樣無限地切分下去，所拼得的圖形就慢慢地轉(zhuǎn)化成了長方形。轉(zhuǎn)化后長方形的長相當(dāng)于圓的周長的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑?！庇谑?，得出圓的面積公式：S=πr2。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生類比上述推導(dǎo)過程推導(dǎo)圓柱體的體積公式——先切，然后再拼一拼，我們所拼得的這些圖形越來越近似長方體，如果這樣無限地切分下去，所拼得的圖形就慢慢轉(zhuǎn)化成長方體了，于是得出圓柱體的體積公式為V=sh。

教師還可以引導(dǎo)學(xué)生：“長方體和圓柱體都是柱體，因為長方形的體積=底面積×高，所以圓柱體的體積=底面積×高，這樣類比是不是也有些道理呢？”讓學(xué)生自主思考，培養(yǎng)他們的類比思維。

三、合情推理的誤導(dǎo)

在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和探究過程中，合情推理確實讓我們獲得很多結(jié)論。但是合情推理得出的結(jié)論可能是對的，也可能是錯的，合情推理可能誤導(dǎo)我們，甚至一些數(shù)學(xué)大師也曾被“騙”。

數(shù)學(xué)家費馬聲望極高，他對數(shù)論、幾何、分析和概率都做過深入的研究，并有不少重大的發(fā)現(xiàn)。他曾研究形如Fn=[22][n]+1的數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=0，1，2，3，4時，有F0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65537都是質(zhì)數(shù)，于是他歸納推理出一個猜想：一切自然數(shù)n，F(xiàn)n=[22][n]+1都是質(zhì)數(shù)。近百年后，著名數(shù)學(xué)家歐拉卻發(fā)現(xiàn)：F5=641×6700417并非質(zhì)數(shù)，費馬的猜想是錯誤的。由此可見，歸納推理的結(jié)論不一定正確。

再例如，圖7來自美國小學(xué)數(shù)學(xué)課本：先畫個圓的外接正方形，然后按圖示把正方形轉(zhuǎn)化成圓的外接多邊形，認(rèn)為外接多邊形會無限接近圓，于是外接多邊形的周長就和圓的周長相等了。結(jié)果求得π=4。它非?！邦愃啤眲⒒盏摹案顖A術(shù)”的逼近方法，為什么有不一樣的結(jié)果？

在圖7中，無論怎么分解，外接多邊形的周長是不變的，為圓外接正方形的周長。它不能無限逼近圓的周長，這就是錯誤的本質(zhì)所在，它與割圓術(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別。

類比推理屬于合情推理，上面的做法就是一個未恰當(dāng)使用類比推理的例子，在我們的日常生活中，如果只用類比推理來為結(jié)論提供支持，那么這個支持的力度通常會非常弱。類比推理，其實更多時候是起到一個說明的效果，讓大家更容易理解我們想表達(dá)的結(jié)論。我們可以用類比推理來啟發(fā)自己的思考、向他人通俗易懂地說明自己的想法，但最好不要用類比推理來支持自己的結(jié)論，也就是說：類比不是數(shù)學(xué)證明。我們還要通過演繹推理弄清合情推理得到的猜想的真?zhèn)巍?/p>

尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，即數(shù)學(xué)猜想，是數(shù)學(xué)研究的一種常用的科學(xué)方法，又是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要的思維方式。引發(fā)猜想主要有兩種模式：“實驗（觀察）—歸納—猜想”和“聯(lián)想—類比—猜想”。教師學(xué)習(xí)和研究合情推理的規(guī)則和思維方法并將其滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)之中，對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展規(guī)律，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有著重要的意義。

作者簡介：李織蘭（1967— ），女，漢族，廣西百色人，副研究館員，管理學(xué)學(xué)士，曾從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，現(xiàn)擔(dān)任桂林師范高等?？茖W(xué)校師范生教學(xué)技能實踐教學(xué)工作，研究方向：教育管理、數(shù)學(xué)教育、圖書館學(xué)研究。

（責(zé)編 劉小瑗）