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        例談多面體外接球半徑的常見求法

        2019-04-04 06:17:20湖北省荊州市沙市第五中學(xué)張勝言
        數(shù)學(xué)大世界 2019年5期
        關(guān)鍵詞:多面體三棱錐棱柱

        湖北省荊州市沙市第五中學(xué) 張勝言

        方法:首先構(gòu)造簡(jiǎn)單的幾何體,如長(zhǎng)方體、正方體、三棱柱等,易作出這些簡(jiǎn)單幾何體的外接球,從而求解。

        定義:若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上,則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體,這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。

        一、長(zhǎng)方體、正方體外接球的半徑

        1.長(zhǎng)方體:因?yàn)殚L(zhǎng)方體外接球半徑是體對(duì)角線長(zhǎng)的一半,設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,外接球半徑為r,則(如圖1)。

        圖1

        圖2

        二、三棱柱外接球半徑

        1.底面是直角三角形的直三棱柱

        把三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體,易求(如圖3)。設(shè)底面三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,直三棱柱高為c,則外接球半徑為r,則

        圖3

        圖4

        2.正三棱柱

        如圖4,正三棱柱球心O在兩底面中心O1,O2的中點(diǎn)處,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,高為h,外接球半徑為r,構(gòu)造Rt△A1OO1,則

        三、三棱錐外接球半徑

        1.三條棱互相垂直的三棱錐

        如圖5,把它補(bǔ)成以這三條互相垂直的棱為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體,易求。

        2.三組相對(duì)棱分別相等的三棱錐

        圖7

        3.正四面體

        例題1 如圖7,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,EF,F(xiàn)A折成一個(gè)三棱錐B-AEF(使點(diǎn)B,C,D重合于點(diǎn)B),則三棱錐B-AEF的外接球半徑為________。

        圖8

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