韓嘯天

摘要：高中立體幾何在我們學(xué)生的高考中占有較大的比重，是高考的必考知識(shí)點(diǎn)，近來(lái)立體幾何已成為各大試題中的新寵。但在具體的試題解析中其題型復(fù)雜多樣，對(duì)于我們學(xué)生來(lái)說(shuō)解題時(shí)具有一定的難度，如何提升立體幾何解題質(zhì)量對(duì)我們學(xué)生來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。因此對(duì)于高中數(shù)學(xué)立體幾何我們要全面掌握其解題技巧，從而提升解題質(zhì)量。本文從函數(shù)思想和空間解題思想出發(fā)對(duì)高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題方法進(jìn)行了全面的分析和探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);立體幾何;解題技巧;法向量

引言

從近年來(lái)的高考試題中分析可以看出，立體幾何在高考試題中的出現(xiàn)的頻率越來(lái)越高，且題型復(fù)多變，難度也在逐年增加，為我們的學(xué)習(xí)增加了一定的難度。立體幾何對(duì)于空間想象能力較強(qiáng)的同學(xué)來(lái)說(shuō)顯得格外容易，但立體幾何中涉及的定義、定理較多，且不同的解題思路，其解題方法存有較大的差距，因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)中一定要充分掌握相關(guān)知識(shí)，勤于練習(xí)，在解題中開(kāi)發(fā)自己想象空間，準(zhǔn)確把握解題技巧，從而實(shí)現(xiàn)立體幾何能力的提升。

一、函數(shù)思想在立體幾何中的運(yùn)用

在立體幾何的題型中常常會(huì)出現(xiàn)求距離的題型，這一類(lèi)型的題屬于立體幾何中較難的題型，因?yàn)榱Ⅲw幾何本身對(duì)我們的學(xué)生的想象能力就有一定的要求，同時(shí)解析幾何方面的知識(shí)也有所涉及，如此在一定的程度上增了難度。我們?cè)诮鉀Q立體幾何中的距離問(wèn)題時(shí)，可借助函數(shù)知識(shí)來(lái)輔助解答，函數(shù)本身與圖形就是與相聯(lián)系的，因此在解析異面直線(xiàn)距離的問(wèn)題時(shí)，我們首先要找出異面直線(xiàn)即面與面之間的最短距離，當(dāng)我們無(wú)法找出這條直線(xiàn)時(shí)就借助函數(shù)來(lái)解決，建立函數(shù)假設(shè)x，列出相關(guān)函數(shù)，然后結(jié)合異面直線(xiàn)的范圍，取最小值的x，如此異面直線(xiàn)的距離問(wèn)題就可輕易解決了[1]。

例如，如圖所示，AB是圓O的直徑，PA是垂直于圓O的所在平面，點(diǎn)C是圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)角BAC為α，PA=AB=2R，求異面直線(xiàn)PA與AC之間的距離。

解析，我們無(wú)法直接構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，那么就無(wú)法直接用法向量的方式來(lái)求解，那么這是就需要我們利用空間思維來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將所求得的PB與AC之間的距離轉(zhuǎn)化為PB上任意一點(diǎn)與直線(xiàn)AC 之間距離，從而設(shè)定設(shè)定變量，構(gòu)建函數(shù)，求出的最小值即為異面直線(xiàn)的距離。

解題步驟：取PB上任意一點(diǎn)M，讓MD與AC垂直，并于點(diǎn)D相交，從而就可得出信息MH垂直于AB，MH也與面ABC垂直，設(shè)置函數(shù)，令MH=x，因此列出函數(shù)關(guān)系式MD2=X2+[（2R-X）sinα]2，對(duì)函數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步解析，求得結(jié)果，取最小值。因此我們?cè)谶M(jìn)行立體幾何解析時(shí)可將距離問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的最大值最小值問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化了解題步驟。

二、利用空間幾何解題思想解析立體幾何問(wèn)題

將高中的空間幾何圖形其平行關(guān)系概括為面與面平行、線(xiàn)與線(xiàn)平行、面與線(xiàn)平行，垂直關(guān)系可概括為面與面垂直、線(xiàn)與線(xiàn)垂直、面與線(xiàn)垂直，這些都可以借助向量的關(guān)系進(jìn)性轉(zhuǎn)化。很多時(shí)候我們采用立體幾何的方法來(lái)證明垂直會(huì)有一定的難度，但通常情況下我們可以建立空間直角坐標(biāo)系。我們可以利用空間坐標(biāo)標(biāo)注立體幾何的位置，如（x1，x1，z1），在試題中如果想要證明線(xiàn)與面的垂直我們可以先分別解出直線(xiàn)的方向向量與面的法向量，通過(guò)證明法向量與方向響亮的平行來(lái)得出面和線(xiàn)的垂直[2]。

例題，平面α的法向量為，直線(xiàn)l的方向向量為，兩條直線(xiàn)l1和l2的方向向量分別為1與2，平面α1與α2的法向量為1與2，那么以上向量關(guān)系可以表示為：l1平行于l2推導(dǎo)出1平行與2推導(dǎo)出n2=k1，k（線(xiàn)與線(xiàn)的平行）、l平行于α推導(dǎo)出垂直于或者是與α內(nèi)的兩個(gè)相交向量1與2（線(xiàn)與面的平行）、α1平行于α2可推導(dǎo)出1平行于2推導(dǎo)出2=k1，k（面面平行）;l垂直于α可推導(dǎo)出平行于推導(dǎo)出=k，k（線(xiàn)面垂直）、l1垂直于l2推導(dǎo)出1垂直于2推導(dǎo)出1·2=0（線(xiàn)與線(xiàn)的垂直）、α1與α2推導(dǎo)出1垂直于2推導(dǎo)出1·2=0（面與面的垂直）

三、利用幾何思想分析空間圖形間的距離和夾角

立體幾何圖形的解題過(guò)程中認(rèn)真審題也是解析的過(guò)程，很多時(shí)候題干中會(huì)隱藏很多信息，如在題目給出的距離和夾角，我們通過(guò)認(rèn)真分析即可發(fā)現(xiàn)其中很多夾角和線(xiàn)段距離都是相等的，很多時(shí)候并不是題干中直接給出的，而是我們通過(guò)已知條件去推理，只要稍作證明即可獲取我們所需的條件。例如，P為平面α外的一點(diǎn)，A為平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)，平面α的法向量為1，那么PA與α之間的夾角β=sinθ=COS（，1），根據(jù)推導(dǎo)可知夾角即為在1上的投影的絕對(duì)值。在高中數(shù)學(xué)空間立體幾何題型中處理距離和夾角的問(wèn)題，首先需通過(guò)計(jì)算平面外的一點(diǎn)與平面之間距離，然后再計(jì)算兩異面直線(xiàn)之前距離，從而轉(zhuǎn)變思想獲得新的解題方法。如果碰到立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，在解析時(shí)首先運(yùn)用函數(shù)的思想來(lái)解決，一旦碰到幾何角度的問(wèn)題就要順著動(dòng)態(tài)的角度來(lái)借助空間幾何思想解題，如此即使幾何中的問(wèn)題由復(fù)雜變得相應(yīng)簡(jiǎn)單起來(lái)。

四、學(xué)會(huì)化曲為直來(lái)解決立體幾何問(wèn)題

在立體幾何的解題中我們常常發(fā)現(xiàn)立體幾何所給題目中的圖形較為復(fù)雜，且其中條件較多，這無(wú)疑增加了立體幾何的題型的難度，但通過(guò)實(shí)際解析過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)某些題型中的一些已知條件可以簡(jiǎn)化，同時(shí)在解題時(shí)要學(xué)會(huì)運(yùn)用化曲為直來(lái)解決立體幾何問(wèn)題。直線(xiàn)上某個(gè)移動(dòng)的點(diǎn)為P，求該點(diǎn)到點(diǎn)0兩點(diǎn)之間的距離和最小值的題型。當(dāng)我們遇到這種題型時(shí)，我們首先要簡(jiǎn)化已知條件和圖形，畫(huà)出其中的直線(xiàn)，然后再根據(jù)簡(jiǎn)化的圖形來(lái)求解。

結(jié)語(yǔ)

高中立體幾何對(duì)我們學(xué)生來(lái)說(shuō)既是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)同時(shí)也是難點(diǎn)，為了在高考中做好充分的準(zhǔn)備我們學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注意技巧的掌握，通過(guò)習(xí)題的練習(xí)從而打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)于簡(jiǎn)單的題型爭(zhēng)取不丟分，對(duì)于較難的題型要合理選擇方式技巧，通過(guò)在解題中運(yùn)用函數(shù)思維、空間幾何思維將一些難題轉(zhuǎn)化為向量、函數(shù)的解析方式，從而簡(jiǎn)化解題方法，提升解題質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]史洪波.高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題的解析方法探討[J].課程教育研究，2014（04）：150-151.

[2]楊涌.高中數(shù)學(xué)中立體幾何問(wèn)題的兩種解析方法[J].中國(guó)新技術(shù)新產(chǎn)品，2009（14）：248.