范馨月

[摘 要]數(shù)學建模課程是數(shù)學類學科專業(yè)大類選修課。大數(shù)據(jù)時代的發(fā)展，不僅給數(shù)學建模課程帶來了機遇，也帶來了嚴峻的挑戰(zhàn)。教師在有限的課時內組織安排好課堂的教學，進行教學方法和考核方式的改革十分必要，且勢在必行。高校應以培養(yǎng)學生的問題意識、創(chuàng)新意識、分解意識為目的對數(shù)學建模課程進行建設和改革，具體的實施方案有經典例題講解、實行翻轉課堂教學、案例分析教學、上機輔導。實踐表明，其取得了一定的成效。

[關鍵詞]數(shù)學建模;問題意識;創(chuàng)新意識;分解意識;改革

[中圖分類號] G642.3 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）02-0077-03

黨的十九大報告提出，要推動互聯(lián)網、大數(shù)據(jù)、人工智能和實體經濟的深度融合。2017年7月，國務院在印發(fā)的《新一代人工智能發(fā)展規(guī)劃》中，對我國人工智能發(fā)展明確提出了三步走的戰(zhàn)略目標，其中第一步，是到2020年做到總體技術和應用與世界先進水平同步，人工智能產業(yè)成為新的重要經濟增長點，人工智能技術應用成為改善民生的新途徑。這一目標不僅與2020年全面建成小康社會相呼應，而且也是深化供給側結構性改革、推動中國躋身創(chuàng)新型國家前列的重要驅動力之一[1]。自2013年以來，我國真正步入大數(shù)據(jù)時代，而大數(shù)據(jù)時代的動力是數(shù)學建模。大數(shù)據(jù)時代只是一個代名詞，而真正能夠推進大數(shù)據(jù)時代進步的引擎與動力則是數(shù)學建模，因為數(shù)學建模技術是大數(shù)據(jù)時代的數(shù)據(jù)挖掘、用戶行為分析等應用的基礎。在人工智能時代的背景下，數(shù)學建模能力的培養(yǎng)顯得尤為重要。不管是人工智能還是深度學習，都離不開數(shù)學建模。也可以說，人工智能時代給數(shù)學建模帶來了機遇與挑戰(zhàn)。

高校的數(shù)學建模課程是數(shù)學類學科專業(yè)大類選修課。該課程是在數(shù)學分析、高等代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、C語言、離散數(shù)學等專業(yè)基礎課之后開設的一門后續(xù)應用課程。不同于傳統(tǒng)的以傳授數(shù)學理論知識為主的數(shù)學課程，數(shù)學建模課程是一門應用性和實踐性都很強的課程，它的教學應該區(qū)別于其他的數(shù)學類課程的教學，應注重知識的一個整合和應用以及學生動手能力的培養(yǎng)與提升。

一、課程現(xiàn)狀分析

數(shù)學建模這門課程，具有難度大、涉及面廣、形式靈活等特點。本校數(shù)學建模課程有54個學時，其中48個學時為課堂講授，16個學時為上機實踐課。課時遠遠不夠，現(xiàn)在的課程教學模式仍然以教師講授為主，包括網上一些精品課程都是以這種方式進行教學的。傳統(tǒng)的數(shù)學建模教學模式存在如下問題：一是具有較強的封閉性和保守性，采用傳統(tǒng)的講授式方法進行教學。教師講學生聽，忽略了數(shù)學思想的建立、數(shù)學方法的使用和學習能力的培養(yǎng)。學生普遍反映概念難懂，習題難做，方法不易掌握，自己建模存在很大的困難。在現(xiàn)在的教學模式下，要學生真正掌握方法并自己動手建模是幾乎不可能的。二是學生過多地依賴教材中的數(shù)學模型，對建模的過程及利用計算機求解的內容不能通過講解而實際領會和掌握，對所學的知識處于半懂不懂的狀態(tài)，更不用說模型建立能力的培養(yǎng)了。在這種教學模式下培養(yǎng)出來的學生不可能有較強的實際應用能力和創(chuàng)新能力。而又因為數(shù)學建模課程的教學內容是以問題為中心、塊狀編排的，在授課時如果都是采用模型機械的講解，學生學習數(shù)學建模會困難重重。三是考核方式單一，基本都是期末論文定乾坤，不能客觀地評價學生的學習和掌握情況。四是教學和實際問題聯(lián)系不緊密，學生提不起興趣。課堂教學基本都是照本宣科，模型都是書上的經典模型，跟不上發(fā)展的步伐。五是隨著大數(shù)據(jù)時段的發(fā)展，人工智能時代的到來，數(shù)據(jù)量的逐日劇增，學生無法掌握大數(shù)據(jù)的處理技術和應用軟件，就不能適應現(xiàn)代社會的需求，影響將來的發(fā)展。

二、課程改革的理念及思路

數(shù)學建模這門課程越來越受重視，但在教學中存在著一些問題。很多學者在授課的過程中也注意到了這一點，提出了一些改革方案和想法[2-4]。這里所強調的教學改革的理念是堅持“以學生發(fā)展為中心，學習成果為導向，學習效果為標準”，培養(yǎng)“通專兼?zhèn)?、知行合一”的高素質專門人才。因此，在有限的課時內，如何組織安排好課堂的教學，進行教學方法和考核方式的改革十分必要，且勢在必行。教師可以從以下幾個方面進行教學改革。

（一）教學思路的改革

課程主要是培養(yǎng)學生的問題意識、分解意識和檢驗意識。以前，課程主要是讓學生通過學習掌握一些經典的數(shù)學模型。課程改革中應該以學生為主體來組織教學工作，通過教學使學生學會用數(shù)學理論和方法去分析、解決實際問題;通過教學調動學生的主觀能動性，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和應用數(shù)學的意識;通過教學鼓勵學生創(chuàng)新，提高他們解決實際問題的能力。數(shù)學建模面對的是實際問題而不是數(shù)學問題，不能先問用什么模型，再問用什么方法。合適的模型需要合理的假設，做出合理的假設需要把實際問題搞清楚，因此培養(yǎng)學生的問題意識尤為重要。數(shù)學建模需要培養(yǎng)學生的分解意識，將困難的問題分解為可以解決的子問題，使得原問題的難度大大降低，再利用子問題拼湊出原問題的結果，這需要學生深刻理解所學知識的原理并能夠靈活應用。在數(shù)學建模的教學中，還有一點需要我們注意，數(shù)學問題的解答正確與否可以靠邏輯和證明來判定，但是邏輯與證明不能作為實際問題是否得到了解決的唯一標準，必須一開始就考慮檢驗的標準和途徑。因此，在教學的過程中，需要培養(yǎng)學生的檢驗意識，將檢驗意識的培養(yǎng)貫徹始終。

（二）教學方法的改革

在教學過程中，為學生創(chuàng)造獨立的思維情境。數(shù)學建模課程本身的特點就是用數(shù)學方法解決實際問題，因此我們在授課時和貴陽市交管局及企業(yè)合作，提出一些實際問題給學生，讓學生實際地去建模來解決問題。在教學過程中，以學生為主體，充分發(fā)揮學生的主觀能動性。將新知識、新理論、新技術、新方法等學科前沿融入教學內容，積極開展基于問題、基于項目、基于案例的教學方法和學習方式改革，采用問題驅動式、啟發(fā)式和案例式教學方法以及翻轉課堂和大班教學小班討論等手段，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、主動學習，改變傳統(tǒng)的“填鴨式”“滿堂灌”的教學方式，推動課堂教學從句號課堂向問號課堂轉變、從被動學習課堂向主動學習課堂轉變、從封閉課堂向開放課堂轉變、從知識傳授課堂向能力培養(yǎng)課堂轉變。具體措施如下：（1）將傳統(tǒng)的習題課改為討論課，討論課的內容有兩類，一類是全國數(shù)學建模競賽真題，一類是來自實際項目中的問題。學生能力的提高不僅僅是通過教師單純的知識傳授直接得來的，更多的是通過學生自己的體會，探索和實踐。我們希望把課堂教學變成一個小型科研活動場所，以學生為主體，采用啟發(fā)式教學、問題驅動式教學和傳統(tǒng)的講授式相結合來教學。（2）將一部分課時采用翻轉課堂的形式來進行教學，在上一堂課快結束時提出問題，將問題的數(shù)據(jù)或者視頻提前給學生。學生在課下對問題要先進行一定的思考、數(shù)據(jù)分析，還有視頻有效信息的提取，為模型的建立做準備，到下一次課時利用課堂時間進行討論和比較。這樣能充分調動學生的主觀能動性，刺激學生的學習興趣，充分讓他們的思維活躍起來，而不是一味地接受。以此來提高學生的邏輯思維能力、抽象概括能力。（3）加強上機實踐環(huán)節(jié)。通過機理分析是得不到準確的確定性模型的，需要利用已有的數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計和數(shù)據(jù)分析。實驗課要讓學生自己動手，主要的軟件有Matlab、Maple、R、Python等。安排學生三人一組研讀全國大學生數(shù)學建模競賽的獲獎范文，并且在討論課討論模型方法。這些措施有助于他們團結協(xié)作能力的培養(yǎng)，更有助于他們解決問題能力的培養(yǎng)。此外，還需要加強論文寫作訓練。設置幾個題目讓學生以論文的形式交卷，他們在多次的寫作中真切感受到寫作能力的提高。介紹Latex作為論文的排版軟件，為參加數(shù)學建模競賽或者讀研究生做必要的準備。

（三）考核方式的改革

傳統(tǒng)的考核方式是期末論文定乾坤，但這不能作為考核學生能力的唯一標準。考核內容應該分為三部分，即課堂討論占20%、實驗報告占20%、期末論文占60%。課堂討論按小組計分，將學生課堂自己的提問、回答老師的提問以及課堂討論的表現(xiàn)作為平時得分的依據(jù)。上機實驗報告和專題報告均作為論文考核的主要依據(jù)。論文評定根據(jù)為論文格式是否規(guī)范、問題闡述是否清晰、算法是否合理和模擬效果是否好。新的考核方式和成績評定模式更注重學生綜合能力的培養(yǎng)，更有益于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

三、具體實施方案

數(shù)學建模教學方法改革倡導以學生為主，和實際項目相結合，以問題驅動的方式引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論，培養(yǎng)學生主動探索、努力進取的學風，以及團結協(xié)作的精神。教學中廣泛地采用討論方式，學生自己做報告、討論，教師答疑、輔導。發(fā)揮學生的主體地位，使學生每堂課都有所收獲，取得更好的教學效果。課程按照方法分類，可以劃分為初等方法建模、微分方程建模、概率統(tǒng)計建模、數(shù)據(jù)的插值擬合、回歸分析建模、規(guī)劃方法建模、層次分析法建模、決策分析法建模、圖論方法建模、模糊數(shù)學方法[5]。按照這里提出的教學改革的理念，整個教學可以分成四個階段來進行，具體實施方案如下：

[實際項目的翻轉課堂][競賽題案例分析][經典建模方法講解][14個學時，引發(fā)學生的學習興趣

及方法梳理][24個學時，項目驅動建模][10個學時，賽題演練][16個學時，軟件的使用和基本算法實現(xiàn)? ][上機輔導]

（一）第一階段，經典例題講解

在這一階段，主要介紹數(shù)學建模的基本方法。經典模型不能不講，教師可從中挑選出五個經典方法（插值擬合方法、微分方程建模、概率統(tǒng)計方法、回歸分析、數(shù)學規(guī)劃方法、優(yōu)化方法）進行講解，旨在讓學生對數(shù)學建模產生濃厚的興趣，引導學生掌握數(shù)學建模的基本方法和步驟。

教學中教師可采取講授式教學，提出問題，但不能馬上給學生解決的辦法，而是讓學生先進行思考，即啟發(fā)式教學。比如在建模的過程中要進行哪些假設會顯得比較自然而不是生搬硬套。很多現(xiàn)有的模型是直接給出模型的假設再建立模型，實際上，哪些假設是必要的，是需要我們逐步引導學生的，在教學的過程中，教師要培養(yǎng)學生獨立思考的能力和建模的敏感度。

（二）第二階段，實行翻轉課堂教學

將班上學生每三人分成一個團隊進行討論和實踐，這也是此次數(shù)學建模教學改革很重要的一個環(huán)節(jié)，安排八周的時間實施，徹底顛覆傳統(tǒng)的教學模式。（1）我們教師團隊和一些政府機構及大數(shù)據(jù)公司有長期的合作關系，可以從他們那里尋找一些實際的問題，然后進行討論，提煉出四個實際問題用于教學。（2）翻轉課堂設計，提前把問題告訴學生，進行問題驅動，讓學生在課下思考、查閱文獻資料，整理好思路，按組別以小論文的形式提交給我們。通過我們的評選，擇優(yōu)挑選幾組，采用翻轉課堂模式進行討論（被選擇的幾組學生可在平時成績上加十分（百分制），作為期末總評成績的一個依據(jù)）。翻轉課堂的實施中，一些細節(jié)處理上的問題需要教師答疑解惑。（3）此階段中的實驗環(huán)節(jié)會穿插一些對數(shù)據(jù)處理的內容給學生講解，比如如何對數(shù)據(jù)進行提取、探索、清洗、分析;還有一些新方法的引入，比如聚類分析、時間序列分析、神經網絡預測等，這些內容是書本上沒有的，但在當下是比較流行的一些建模方法。對這些內容的講解能提高學生自己動手建模解決實際問題的能力。

（三）第三階段，案例分析教學模式

教師要仔細研讀全國大學生數(shù)學建模競賽題，在課堂上對近幾年賽題的優(yōu)秀論文作解讀，將一些成功的案例引入課堂，分組進行討論。分析建模出現(xiàn)的新方法，學習優(yōu)秀論文的寫作格式和技巧。當然，賽題不僅局限在全國大學生數(shù)學建模競賽，還有美國大學生數(shù)學建模競賽、深圳杯等一些重要比賽的賽題。這能讓學生了解到目前的一些需求和新的建模方法，有效地激發(fā)每個隊伍的積極性和潛能。學生通過上機實驗進行訓練和提升，更能為九月份的全國大學生數(shù)學建模競賽打下堅實的基礎。

（四）第四階段，上機輔導

上機實際是穿插在整個學期的課程之中，每隔一周就有一次上機課程。課堂上教師要先給出上機問題，布置任務讓學生上機動手操作實現(xiàn)各類建模方法。在機房進行程序的輔導和答疑，讓學生理論結合實際，能夠快速掌握一些數(shù)據(jù)分析處理的技巧和模型算法的實現(xiàn)，從而更好地激發(fā)學生學習興趣和提高處理數(shù)據(jù)的能力。

四、結論

通過以上對數(shù)學建模的教學改革實踐與探索，極大地激發(fā)了學生的學習興趣，促使學生主動學習，主動探索。近幾年貴州大學參加數(shù)學建模競賽的學生隊伍急劇增加，其中不乏一些突出的隊伍，也獲得了很好的成績。獲得獎勵不是關鍵，關鍵是在這門課程的學習或者參加比賽的過程中，學生實實在在學到了知識，并且將知識和實際相結合，解決了實際問題，也改變了大多數(shù)大學生認為某些課程學無所用的觀念。在這個過程中，學生獨立進行思考，逐漸形成問題意識、分解意識、創(chuàng)新意識，這對于學生的人生是有利的，不管是在工作中或者在生活中。但數(shù)學建模課程的建設還有很長的路要走，它要求教師實時地掌握目前盛行的大數(shù)據(jù)處理技術，以及學習新的算法，掌握大數(shù)據(jù)處理工具，包括Spark、Hadoop、Python，以及分布式處理技術等。借用姜伯駒院士曾說過的話“別把數(shù)學建模搞成‘建模數(shù)學”，人工智能時代一定是數(shù)學建模的黃金時代，要讓學生在此背景下快速地適應并能夠抓住這樣的機遇，需要我們高校教師的共同努力與付出。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳自富.人工智能，為實體經濟注入新動能[J].人民日報，2017-11-20（05）.

[2] 劉三明.基于創(chuàng)新和應用能力的數(shù)值分析課程教學研究與實踐[J]，大學教育，2016（2）：130-131.

[3] 熊丹，吳傳菊.案例教學法在獨立增量過程教學中的探討[J]，大學教育，2018（5）：56-58.

[4] 魏志淵，毛一平，毛啟帆等.加強數(shù)學建模課程建設，促進高校教學改革[J]，數(shù)學的實踐與認識，2003（5）：120-122.

[5] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2018.

[責任編輯：劉鳳華]